Partie préliminaire

Lorsqu'une surface développable roule sur un plan, son arête de rebroussement roule de telle manière que le plan osculateur de cette arête coïncide continuellement avec le plan fixe. Comme ce roulement est parfaitement défini, on dira qiïune courbe gauche roule sur un plan, lorsqu'elle roule de telle sorte que la surface développable correspondante roule sans glissement sur le plan, lorsqu'elle est entraînée dans le mouvement.

On peut alors au point de vue du roulement remplacer la courbe gauche par la surface et vice- versa.

On dira qu'un plan roule sur une courbe gauche, lorsque ce plan roule sur la surface développable dont la courbe gauche est l'arête de rebroussement.

On est ainsi conduit à considérer une courbe gauche quelconque comme engendrée soit par le roulement d'un plan mobile sur une courbe gauche (ou sur une surface développable) fixe, soit par le roulement d'une courbe gauche (ou surface développable) mobile sur un plan fixe.

Cette génération étant tout-à-fait analogue à celle des courbes planes, il est inutile d'en recommencer la discus-

sion qui se ferait par les mêmes procédés et il suffit d'en rappeler les résultats :

1° Etant donnée une courbe gauche E, un plan fixe D et un point m sur la courbe JE?, il existe une certaine courbe gauche G (ou une certaine surface développable 8) et une seule, telle que le point m engendre la courbe don» née, lorsque le plan D roule sur la courbe O(ou sur la surface S).

Le point m peut être choisi arbitrairement excepté à l'un des points d'intersection du plan D avec la courbe donnée.

Lorsque le plan D est astreint à rester constamment normal à la courbe donnée, le point générateur m est forcément dans le plan D et la courbe G correspondante est appelée la développée de la courbe donnée. (La surface S dont G est l'arête de rebroussement sera dite surface développée de la courbe donnée; cette surface est aussi l'enveloppe des plans normaux à la courbe E).

2° Etant donnée une courbe E et un plan quelconque D il existe une certaine courbe G (ou une certaine surface développable 8) et une seule, telle qu'un point m de l'espace engendre la courbe donnée E lorsque la courbe G (ou la surface S) roule sur le plan fixe D.

Lorsque la courbe G roule sur le plan D, le point générateur ne peut jamais traverser le plan quoiqu'il puisse s'en rapprocher autant que l'on veut ; donc, lorsque le plan donné rencontre la courbe E, la courbe G se compose de deux spirales gauches ayant un point asymptotique commun, à moins que le plan donné ne rencontre la courbe E qu'orthogonalement. Dans ce cas, on dira que le plan D est une hase de la courbe E et que la courbe G correspondante en est la déroulée ; (la surface S dont G est l'arête

de rebroussement sera aussi appelée surface déroulée de la courbe E).

Il est nécessaire pour étudier analytiquement la généra» tion des courbes gauches, d'établir une théorie des roulettes gauches analogue à celle des roulettes planes.

Sur la théorie des roulettes gaughes

On donnera le nom de roulette gauche à la courbe engendrée par un point quelconque de l'espace entraîné dans le roulement d'une surface développable mobile sur un plan fixe, ou d'un plan mobile sur une surface développa» ble fixe.

Lorsqu'une courbe plane roule sur une autre courbe plane non située dans le même plan, pour que le mouvement soit déterminé, il faut se donner la loi de variation de l'angle dièdre compris entre les plans des deux courbes. On appellera roulette tournante la courbe gauche engendrée par un point de l'espace entraîné dans le roulement d'une courbe plane mobile sur une autre courbe plane fixe, l'angle des plans des deux courbes planes variant de plus suivant une loi déterminée.

Nous arriverons à la détermination des roulettes gauches par la considération des roulettes tournantes; nous parlerons donc d'abord de ces dernières.

Des roulettes tournantes.

On se donne une courbe plane B fixe et une courbe plane A mobile qui touche la courbe B en un point 0' et a de plus la même tangente en ce point que la courbe fixe» L'angle des plans des deux courbes est 9. On demande la

roulette décrite par un point donné de l'espace lorsque A roule sur B et que l'angle varie suivant une loi donnée. On prendra comme axe des x la tangente commune aux deux courbes dans leur position initiale (fîg. 18), l'origine étant un point quelconque de cette tangente. L'axe des z sera la droite perpendiculaire à Ox située dans le plan de la courbe B ) et enfin l'axe des y sera la perpendiculaire au point sur le plan xOz> Soient

x sin go — s cos co = cp(&>) | x cos go -f- z sin ça = cp'(w) y =

les équations de la courbe B. Cette courbe est tangente à Ox, on a donc cp(0) = et cp'(O) = OU.

Soient de même :

0Sin«— yCOS« = f(a) ^ Q

] x cos a + 2/ sin « = /"'(«) avec j = -^,

Les équations étant données de la courbe A dans sa position initiale , on supposera d'abord que dans cette position, le plan de la courbe A coïncide avec le plan xOy, c'est-à-dire

que e o = ~ S étant la valeur initiale de l'angle compris

entre les plans des deux courbes.

Si m est le point de la courbe A qui vient coïncider avec le point n de la courbe J5, les arcs O'm et On sont égaux; on a donc toujours entre les angles « et oo la relation :

} ft«)da

:« -f- f( a ) = ?( M )cfc) 4- <p'( w ) (21 bis)

Kemarquons maintenant que lorsque Parc O'm roule sur l'arc 0% en entraînant un point quelconque de l'espace, la position finale de ce point ne dépend pas de la loi de variation de l'angle 9 entre 0' et n, mais seulement de la valeur de l'angle 9 au point n. Ainsi pour trouver la position du point entraîné qui correspond à un point de contact quelconque n, on peut supposer que pendant le roulementale plan de la courbe A reste perpendiculaire à celui de la courbe B jusqu'à ce que le point m vienne en n, et qu'alors seulement ce plan s'incline en tournant autour de la tangente en n } jusqu'à ce qu'il fasse avec le plan^O^ l'angle B (qui correspond au point n).

De plus on arrivera encore au même résultat si, au lieu de faire rouler l'arc O'm, sur l'arc 0% on suppose que la courbe A roule sur l'axe Ox jusqu'à ce que le point m devienne point de contact en p et que la courbe prenne la position A' 7 et qu'ensuite l'axe Ox roule sur la courbe B en entraînant A', car alors le points deviendra point de contact en n, puisque l'arc O'm = O'p = arc On.

Ainsi le mouvement de la courbe A peut se décomposer en trois autres : 1° un roulement de la courbe A sur une droite Ox située dans son plan; 2° un roulement de la droite Ox sur la courbe B qui est encore un roulement

/tt \

plan; 3° une rotation d'un angle I — — 9 I du plan vertical passant par la tangente en n, autour de cette tangente.

Soient donc u, v, iv les coordonnées initiales d'un point quelconque de l'espace invariablement relié à la courbe mobile A. Après le premier roulement ce point vient en un point de coordonnées u A , v A , w i ; ces coordonnées sont fournies par les équations (3) relatives au roulement d'une courbe plane sur une droite :

U A = U COS a + V Sill a -j- I /(a)cîû

fl 4 = — ■ W Sin a + ^ COS a -f- /(a)

la coordonnée w ne change pas puisque ce premier roulement est parallèle au plan xOy.

Après le second roulement, le point u A9 v^ w i7 vient en u^ v^ w„ cette nouvelle position étant déterminée par les équations (13) relatives au roulement d'une droite sur une courbe plane :

u, sin w — w % cos w -- 9(00) — w A

, u^ cos &> -j- w 2 sin w = --- I cp(cd)d&) + «^ (23)

la coordonnée v A ne change pas puisque le roulement est maintenant parallèle au plan xOz.

Reste la rotation de l'angle ( ~ — 8 ) autour de la tangente au point n. Soit Nie point de coordonnées u^ v^ w s ,(fig. 19); abaissons de ce point une perpendiculaire JVPsur Taxe de rotation nP. Si Ton élève en P la perpendiculaire PS sur la tangente nP et dans le plan xOz, la rotation du point N a lieu dans le plan NPS et si M est la position finale du point N, on a PN = PM et angle

NPM =^ — B.

Soient X, Z, Z les coordonnées du point If ; Q et B

les projections de ilf et de N sur le plan xOz, lesquelles projections se trouvent sur PS; prolongeons NM et soit (i l'angle ilf/SP. Comme P# fait avec Cte un angle égal à

w , on a les relations :

t X— u^ = — MN cos p sin co

^ ^ s = JOT COS J/. COS CO

F — ^ 2 - — M2V sin ^ relations que l'on peut écrire :

X sin to — Z cos co = u^ sin oo — w 2 cos go — MN cos p. X cos co -f- Z sin co = ^ 2 cos co -f- w 2 sin oo 7 =*;, - M^ sin pi

ou encore, à cause des équations (23) :

X sin oo — Z cos oo = cp(oo) — ■ w, — MN cos p X cos oo -f- Z sin oo = — I cp(oo)c?w + ^1 F — v 9 —MN sin ^

De plus jlVJB = # s et PB = ^ ; de sorte qu'on trouve facilement les relations :

MNcos f* = £> 2 cos 6 — ^ (1 — sin S) ïfiV sin fz = ^ cos 6 -)- # t (1 — sin 0)

Reportant ces valeurs dans les équations précédentes, il vient :

[ X sin oo — Z cos oj> = cp(oo) — v 2 cos B — w, sin 6

X COS co -f- ^ Sin co — — I cp(oo)6?oo -f- U A

Y = v^ sin e — w, cos 8

Or v 2 = ^ , il ne reste donc plus qu'à remplacer ^ , ^ , w A par leur valeur tirée des équations (22) pour obtenir l'équation générale des roulettes tournantes (en tenant compte de l'équation 21 bis) :

Xsinoo-Zcosoo=[^sina-^cosa-f(a)]cos8+cp(ût))-^sme XcoSûL>+Zsinoo= ^cosa-f^sina+cp / ( w ) rW (24)

Y=[-U8ma+VC08a+f(a)']&mQ--WC08Q

équations dans lesquelles X,Y,Z sont des coordonnées cou» rantes d'un point quelconque de la roulette engendrée par le point initial u,v,w; est un angle variant suivant une loi donnée par exemple = F(m) et enfin a dépendant de go par la relation (21 bis).

On voit que les équations (24) constituent une généralisation des équations (15) relatives au roulement plan d'une courbe sur une autre ; il suffit en effet de poser 9=0 pour retrouver les équations (15).

On a supposé que dans leur position initiale les plans des deux courbes AetB étaient perpendiculaires l'un sur l'autre. S'il en était autrement on commencerait par faire tourner le plan de la courbe A autour de Ox jusqu'à ce qu'il coïncide avec le plan xOz\ c'est-à-dire que si 6 est l'angle initial des plans des deux courbes, il faut faire tourner le plan de la courbe A autour de Ox d'un angle

~ — 6 ). Cette rotation a pour effet de transporter un

point quelconque u^v^w^ au point u v w donné par les relations :

| v = v Q sin 6> -j- w Q cos e o (25)

w = —v û cos Q -f- w sin 9

Le reste du problème se traite comme précédemment; si donc u v w sont les coordonnées initiales d'un point entraîné, les équations (24) représentent toujours la roulette engendrée par ce point, à condition de remplacer u,v,w par leur valeur tirée des équations (25) ; mais l'on

voit que les quantités u,v y w sont des constantes; il n'est donc pas nécessaire de faire la substitution, et l'on peut considérer les équations (24) comme la formule la plus générale des roulettes tournantes, les quantités u 9 v,w n'étant seulement plus les coordonnées initiales du point entraîné, mais trois constantes qui en dépendent par les équations (25).

Pour avoir l'équation de la surface engendrée par une courbe quelconque de l'espace entraînée dans le mouvement de J., et dont l'équation est :

dans sa position initiale, il suffit d'écrire que le point u Q v Q w Q se trouve sur cette courbe :

Les équations (25) donnent alors up^w en fonction de t- 9 on remplacera dans les équations (24) u,v,w par les valeurs obtenues et l'on éliminera t.

Nous avons traité le cas le plus général, mais dans la plupart des problèmes particuliers on peut simplifier les équations. Ainsi, si l'on cherche la roulette engendrée par un point de la courbe J., on prendra comme position initiale, celle où le point considéré est le point de contact ; on peut aussi prendre l'origine en ce point de contact, on

a alors :

d'où : ^ = v = w =

et les équations (24) se réduisent à :

X Sin où — Z COS co = cp(co) — f(a) cos S

X cos (jo -j- Z sin co = cp'(w) — f'(oc)

Y = f( a ) sin 6

Exemple: Supposons que les courbes A et B soient des cercles ; la roulette engendrée par un point quelconque de l'espace est alors une ligne trochoïdale tournante et la roulette décrite par un point du cercle mobile A est une ligne cycloïdale tournante.

On a vu que dans le cas de deux cercles :

f( a ) = r (1 — COS a) cp(to) = B (1 — COS co)

et que la relation (21 bis) se réduit à : Ta = Bco,

La ligne cycloïdale tournante décrite par l'origine a donc

pour équation :

X sin co - Z cos co = B (1 - cos co) - r (1 - cos — co) cos 6

X cos co -f- Z sin co = B sin co - r sin — co

B Y= r (1 - cos- co) sin S \ r J

Pendant le mouvement, les normales G Cet G G aux plans des cercles, qui passent par leur centre, se rencontrent toujours (figo 20) » Quelle que soit la position du cercle mobile, on peut toujours faire passer une sphère par les deux circonférences A et B; le centre de cette sphère est le point G dont les coordonnées sont :

r — B cos 6

■ J sin

Si donc on maintient l'angle constant pendant le roulement du cercle mobile, le centre G reste fixe, c'est-à-dire

que la circonférence A reste constamment sur la surface

(Tune sphère fixe dont le centre est en G et dont le rayon S = f/cc'* + B*.

Un point quelconque de l'espace invariablement relié au cercle A se meut sur une sphère fixe de centre G: on dit qu'il décrit une ligne trochoïdale sphérique ; un point quelconque du cercle A décrit une ligne cycloïclale sphêri» que représentée par les équations (26) dans lesquelles 9 est un angle donné constant.

Nous parlerons plus loin des roulettes sphériques en général ; il n'est donc pas nécessaire de s'arrêter longuement sur les lignes cycloïdales sphériques, qui n'en sont qu'un cas particulier. Remarquons seulement que le roulement du cercle A sur le cercle B revient au roulement d'un cône de révolution dont le sommet est en G et dont la base est la circonférence A, sur un autre cône de révolution ayant même sommet et dont la base est la circonférence JS. Si Ton considère une droite quelconque passant par le sommet commun des deux cônes et entraînée dans le roulement du cône A^ cette droite engendre un cône trochoïdal; si la droite considérée est une génératrice du cône A, on dira qu'elle engendre un cône cycloïdah

On obtient facilement l'équation de ces cônes en exprimant Téquation de la droite donnée au moyen d'un paramètre t et en éliminant ce paramètre comme il a été dit plus haut.

On peut diviser les lignes cycloïdales sphériques en épi» cycloïdes sphériques et en hypocycloïdes sphériques, suivant que les deux cônes sont de côtés différents ou du même côté de leur plan tangent commun.

Lorsque r = B cos 9, le centre G coïncide avec le centre G'; la circonférence fixe B est un grand cercle de la sphère et le cône correspondant se réduit à un plan. Lors-

que le cercle A roule ainsi sur un grand cercle de la sphère on dit que l'un quelconque de ses points engendre une cycloïde sphérique, dont l'équation s'obtient en posant r — B cos 8 dans les formules (26).

Lorsque B = r cos 5 le centre G coïncide avec le centre C" ; la circonférence A est un grand cercle de la sphère et le cône correspondant se réduit à un plan.

On a donc un plan qui roule sur un cône de révolution ; la droite de contact du plan mobile engendre alors un cône développant d'un cône de révolution. Ainsi lorsqu'un grand cercle d'une sphère roule sur un petit cercle, un point quelconque du grand cercle engendre une courbe sphérique qu'on peut appeler la développante sphérique du cercle.

En posant B = r cos 9 dans les équations (26) on obtient pour équation delà développante sphérique:

X — B sin co cos — &> — r cos « sin — w

1 Z = B — B cos go cos — go — r sin &> sin — &>

Y= i/r'—M* (1— cos- w )

On peut facilement transporter l'origine au centre de sphère et trouver l'équation des lignes cycloïdales sphériques en fonction du rayon S de la sphère et des demi-angles A et 5 au sommet des cônes de révolution, en remarquant que :

, B= S sin A

)r =8 sin §

Lorsque B — 2 r cos 9, le cercle A passe constamment par l'un des pôles du cercle fixe B, de sorte que toutes les

boucles de la ligne cycloïdale correspondante passent par ce pôle. On retrouve donc ici toutes les différentes espèces de lignes cycloïdales excepté les paracycloïdes.

Passons maintenant à l'étude des roulettes gauches et voyons comment on peut en trouver toutes les formules par la considération des roulettes tournantes.

Nous considérons d'abord les surfaces cylindriques, puis les surfaces coniques, enfin les surfaces développables quelconques.

1° Surfaces cylindriques.

Lorsqu'un point de l'espace est entraîné dans le roulement d'un cylindre sur un autre cylindre, ce point décrit une roulette plane .

Si Ton prend l'axe des z parallèle aux génératrices des cylindres. Les formules sont les mêmes que pour le roulement dans un plan ; on peut remarquer seulement que pour obtenir l'équation de la surface engendrée par une courbe entraînée :

on remplace u,v,w dans les équations des roulettes par leur valeur en fonction de t et l'on élimine £.

II Surfaces coniques,

En procédant comme pour les courbes planes, on est conduit à étudier d'abord le roulement d'un cône sur un plan, puis le roulement d'un plan sur un cône, enfin le roulement d'un cône sur un cône»

Lorsqu'un cône roule sur un cône, un point quelconque de l'espace décrit une roulette sphérique. Toute courbe

sphérique peut être considérée comme engendrée par le roulement d'un cône sur un plan ou celui d'un plan sur un cône, (dans les deux cas le plan passe par le centre fixe de la sphère).

Lorsqu'on astreint un plan mobile à être constamment normal à une courbe sphérique donnée, le cône sur lequel doit rouler ce plan pour engendrer la courbe donnée est le cône développé de cette courbe.

Lorsqu'on se donne une courbe sphérique et un plan passant par le centre de la sphère, qui ne rencontre la courbe sphérique qu'orthogonalement, le cône qui engendre la courbe donnée en roulant sur le plan fixe est le cône déroulé de cette courbe.

Du reste l'arête de rebroussement d'un cône quelconque est un point ; on ne parlera donc pas des développées ou des déroulées des lignes sphériques.

VHonlemeni dhmcôncmr im plan : Prenons le plan sur lequel a lieu le roulement comme plan des xz et Porigine au sommet du cône (fig, 21).

En coupant le cône par le plan 2 = 1 on obtient une certaine courbe A dont l'équation peut se mettre sous la forme :

fxmi oc~y COS a = f(a) \ X COS a + V SÎll a = f(a) \ Z= 1

Dans cette équation f{a) est la distance du point 0' (00' = 1) à la tangente mP à la courbe A, qui fait avec O'X' un angle a dans le plan # = 1. Comme la courbe A est tangente à O'X on a toujours f(0) = O.et f(0)= 0'0'\ De plus f(a) est la distance mP du point de contact à la perpendiculaire O'P.

L'équation du cône (OA) est alors évidemment:

( X Sin a — Y COS a ---- Z f(a)

puisque ces équations représentent l'enveloppe d'un plan mobile qui passe constamment par l'origine et que de plus en posant z = 1, on retrouve l'équation de la courbe A.

Lorsque le cône (OA) roule sur le plan des##, la courbe plane A roule sur une certaine courbe B située dans le plan xOz et pendant ce roulement, l'angle dièdre compris entre le plan de la courbe A et celui de la courbe B varie suivant une loi déterminée ; si donc, connaissant l'équation de la courbe A, nous savons trouver l'équation de la courbe B (qui n'est que le développement de la section plane A) et si de plus nous savons exprimer la loi de variation de l'angle 9 en fonction de a par exemple, on pourra remplacer le roulement du cône sur le plan par le roulement de la courbe plane A sur la courbe plane B et appliquer les formules relatives aux roulettes tournantes.

Sur le développement de la section plane d'wi cône : On se propose, étant donné la section plane A, c'est-à-dire la fonction /(a), de trouver l'équation du développement B de cette section plane sur le plan tangent xOz (fig. 22), c'està-dire sur un plan perpendiculaire au plan de la section plane A.

Si Ton suppose que l'équation de la courbe B relativement aux axes Ox et 0% est :

( x sin oo -f- 2 cos oo = <p (go) ( x cos oo ■ — 2 sin oo = <p ' (oo) .

le problème revient à trouver oo et cp (oo) en fonction de a et fia). Il suffit pour cela de remarquer que oo est l'angle

que la tangente nQ à la courbe B fait avec Taxe O'X' ; que cp (go) est la distance Q de l'origine à cette tangente et cp'(oo) la distance nQ du point de contact n à la perpendiculaire OQ.

Ceci posé, la tangente mP à la courbe A est perpendiculaire sur O'P; cette tangente est aussi perpendiculaire sur 00' puisqu'elle est située dans le plan X'O'Y'; donc elle est perpendiculaire au plan OOP et par suite à la droite OP qui est dans ce plan, c'est-à-dire que l'angle mPO est droit.

Or le plan mPO est le plan tangent au cône le long de la génératrice Om ; lorsque, par suite du roulement, ce plan tangent vient coïncider avec le plan XOZ, le point m vient en un certain point n de la courbe B; la tangente mP à la courbe A coïncide alors avec la tangente nQ à la courbe I?, puisque les courbes A et B ont toujours même tangente au point de contact; et comme V angle mPO est droit (et que Om coïncide avec On), il en résulte que le point P vient coïncider avec le point Q. On a donc : OP = OQ = cp(w) et mP = nQ = cp'(co).

Enfin ~UF = (HP + OT 2 - 1 + f («), de sorte qu'on trouve les relations très simples :

En différentiant îa première on a :

cp cp' du* — ff doc

et comme cp' = f : cp^oo = /Sa, ou en remplaçant cp par sa valeur et intégrant :

** f{*)da

Cette équation fournit la relation entre &> et « ; et en remplaçant a en fonction de oo clans l'équation (27) on obtient la fonction cpfV) 1 »

Il ne reste plus pour pouvoir appliquer les formules des roulettes tournantes qu'à trouver la loi de variation de l'angle que fait à chaque instant le plan de la courbe mobile A avec celui de la courbe fixe J5 ? c'est-à-dire avec le plan xOz, Or puisqu'au point n 3 le plan tangent au cône le long de Om vient coïncider avec le plan^O^, l'angle

n'est pas autre chose que l'angle de la section plane A (c'est-à-dire du plan z = 1) avec le plan tangent au cône le long de la génératrice Om. Ces deux plans se coupent suivant la tangente mP, et l'angle de ces deux plans est évidemment l'angle OPO' puisque O'P est perpendiculaire sur mPdans le plan de la courbe A; et que OP est perpendiculaire sur mP dans le plan tangent.

~ôâ or

Or on a : sin (OPO') = =yp et cos (OPO') = = donc

sin = t-v ou cos = '-}^ (29)

cp(o)) cptco)

Maintenant que la loi de variation de l'angle 6 est connue on peut se servir des formules trouvées pour les roulettes tournantes» Mais ces formules ont été établies en prenant O'X' comme axe des x, O'O comme axe des z et O'Y comme axe des y.

Pour avoir l'équation des roulettes tournantes relative

1 D'après un théorème connu, le point 0" est un point d'inflexion de courbe B, développement de la section plane A* Ce théorème peut se démontrer en remarquant que au point 0", f(a) = ; donc en ce point

1 -f- f\a\ c'est-à-dire q>(co\ passe par un minimum, ce qui prouve le théorème puisque <p(co) = 0§,

aux axes OZ, OY } OZ, il faut, dans les équations (24), remplacer % par — {p — 1) et w par — (w • — 1). De plus dans ces mêmes équations, cp(co) représente la distance du point O à la tangente n Q ; cette distance est égale à ~ÔQ — 00' cos w, il faut donc aussi remplacer cp(oo) par : cp(&>) — cos w et par conséquent </(&>) par çp'(&>) + sin go» Les équations (24) deviennent, après ces substitutions :

X sin w -f Zcosw = (^ sin^ -vco$a - f) cos9 +- cp -h (w - 1 ) sin 9 XcOSgo-^SHIgo-^ COSa -f VSiïïa -f 9'-/''

F= (- w sina 4- v cos« +■ f ) sin 9 -f (w~ 1) cos 9

Ces équations sont les équations générales des roulettes tournantes relativement aux nouveaux axes et u 7 v, w, désignent bien les coordonnées initiales du point entraîné, puisque le plan de la courbe A est perpendiculaire à celui de la courbe B dans sa position initiale.

Il ne reste plus qu'à remplacer cp(oo), cp'(oo), sin 9 et cos 9 par leurs valeurs en fonction de /(«) tirées des équations (27) et (29). On trouve que le résultat se simplifie et Ton obtient pour équation générale des roulettes engendrées par le roulement d'un cône

X sin a — Y cos ex = Z f(<x)

sur le plan xO$.

X SillGO -f Z COSgo = [w + f(a) (u Sina - V COSa)]

X cosgo - Zsin go = u cos a+v sin«

Y= [- ^^Sin a -f V COS a -f W f\a)\

avec go

f(a)da

équations dans lesquelles u, v, w, sont les coordonnées initiales du point entraîné et qui ne contiennent plus la fonction cp(«), mais dépendent seulement de f(a), c'est-àdire de l'équation du cône donné.

En particulier, la roulette décrite par un point de l'axe Oz{u = 0, v = 0) a pour équation, en résolvant par rapport à X et Z :

?TTrw f(a) ^ 31 )

La surface engendrée par la droite 0# supposée invariablement reliée au cône mobile, est un cône dont l'équation s'obtient en éliminant w entre les équations (31). L'équation de ce cône est donc simplement :

sin w '" " f(a) cos o

Exemple : On donne le cône :

X sin a — F cos a = Z tang a

on demande l'équation de la roulette sphérique engendrée par un point w de Oz lorsque le cône donné roule sur le plan xOz.

On a ici f(a) == tang <*, la formule (28) est donc :

f * tang a da f a • ? i

w = =— = sin a doc = 1 — cos a

J o j/l + tang 2 * J o

La roulette cherchée est donc d'après les équations (31):

/ X = w cosa sin (1 — cosa) \ Y= w sin ^

" Z = W COSa COS (1 — COSa)

L'équation du cône engendré par Oz est :

sin ( 1 — cosa) tanga cos (1 — cosa)

Les formules relatives au roulement d'un cône sur un plan ne dépendent que de /*(«), c'est-à-dire de l'équation du cône donné. On n'a donc plus à se préoccuper de la courbe B développement de la section plane J., et dont on s'est seulement servi pour établir les formules.

Cependant il y a quelquefois avantage à prendre l'angle w comme variable indépendante au lieu de l'angle a.

Exemple : Un cône a pour base une ligne cycloïdale plane et pour sommet un point delà perpendiculaire élevée au centre de la ligne cycloïdale sur le plan de cette dernière.

On demande l'équation du cône engendré par cette perpendiculaire, lorsque le cône donné roule sur un plan passant par l'axe de ce cône et l'un des points de rebrousse» ment de la ligne cycloïdale.

En rendant homogènes les équations des lignes cycloïdales planes trouvées précédemment (éq. 18), on obtient de suite pour équation du cône donné :

Z sin a — Fcos a = Z(2r — B) sin '

X cos a + F sin a = Z B cos

Le roulement a lieu sur le plan %Oz et l'axe du cône coïncide avec Oz.

La formule (28) donne en posant B=pet ^ p = a :

- sin a a cla

1 A-—* sin s aa 1 a -

Cette quadrature s'effectue facilement et Ton trouve :

- cos cia = - cos «w — sin au

On a donc aussi : fia) = - sin a<x, en fonction de « et d'après la formule (32), le cône cherché a pour équation :

sin w | //y \ . , j9 . ~~ cos w

1/ ( S — ■ 1 ) sin - aw -f- 2 - sin a w cos a «

Des cowes déroulés des courbes spliériques : Etant donnée une courbe sphérique, il faut pour pouvoir trouver son cône .déroulé, résoudre d'abord le problème inverse de celui que Ton vient de traiter, c'est-à-dire qu'il faut savoir trouver quel est le cône qui, en roulant sur un plan donné, engendre une courbe sphérique donnée (on sous-entend que le plan passe par le centre de la sphère).

La méthode dont nous nous sommes servi pour trouver la déroulée d'une courbe plane ne s'applique plus ici, mais on se servira toujours pour résoudre le problème de la forme particulière sous laquelle se présente l'équation des roulettes sphériques.

Une courbe sphérique est généralement considérée comme l'intersection d'une sphère avec un cône ayant son sommet au centre de la sphère ; les équations de cette courbe sont donc données sous la forme :

On prendra toujours le plan fixe donné comme plan des xz et l'origine au centre de la sphère ; on prendra de plus comme axe des z une des droites d'intersection du plan donné avec le cône F (X, Y, Z) = 0. Le cône cherché est alors un cône tel que lorsqu'il roule sur le plan des xz, un point de l'axe des z engendre la courbe sphérique donnée, et par suite l'axe des z lui-même engendre le cône F. Soit : X cos a — Y sin a = Z f(a) l'équation du cône cherché ; il s'agit de trouver la fonction f(a)>

Lorsque ce cône roule sur ce plan xOz, l'axe des z engendre le cône :

sin go ~~ f{a) ~ COS oo

ou en remplaçant f(a) par sa valeur en fonction de cp(w) tirée des équations (27) :

sin go ~~ t/V(V) — 1 ~~ cos oo

Ce cône doit coïncider avec le cône F(X, Z, Z) = 0. Or .Fest une fonction homogène, on a donc en identifiant les deux cônes :

F (sin oo ? j/y (oo) — 1, cos oo) = (33)

équation qui détermine la fonction cp(oo). Connaissant cp(oo) 9 on a f(a) par la relation :

f\ a ) = cp 2 ( w ) — i

à condition de connaître oo en fonction de a. Or on a vu que fcla = cp^oo, d'où :

cp(w) doù

On a donc tous les éléments nécessaires pour trouver f(a) en fonction de a, et le problème est résolu.

Lorsqu'on prend comme plan des xz un des plans de base de la courbe sphérique, la méthode précédente permet de trouver le cône déroulé de cette courbe sphérique.

Exemple: Quel est le cône déroulé des coniques sphériques ? Une conique sphérique est la courbe d'intersection d'une sphère avec un cône du second degré, ayant son sommet au centre de la sphère. En prenant pour axe des z une des droites d'intersection du cône du second degré avec l'un de ses plans de base (ou plans principaux), la section plane du cône dans le plan z = 1 est une conique rapportée à l'un de ses sommets et dont l'équation est par conséquent de la forme: y* — + a~x~ + 2jp#. En rendant cette équation homogène, on obtient pour équations de la conique sphérique :

^Z 2 = ± a' X 2 + 2pXZ

La formule (33) donne alors :

cp 2 (w) — ■ 1 = ± a" sin 2 w + 2 p sin &> cos &>

d'où: «= Ç° i/îr^sin^-h ^sincocosg

J o y +a" sin 2 w + 2p sinw cosw

Cette quadrature conduit en général à des intégrales elliptiques ; nous ne considérons donc que le cas où a 2 = p* — 1. On a alors :

(*<» {p sin w -f cos &>) d&> / sinoo\

^ = // • , \o , -arc cos cosoj-

J o y (j? sin w -f- cos wT — 1 \ p J

avec : f\a) = cp 2 (w) — 1 = {p sin w -f cos w ) 2 — 1 .

En tirant &> en fonction de a de la première équation et substituant dans la seconde, on trouve :

f( a ) = p Sin a

Ainsi le cône déroulé des coniques sphériques :

( T = (f— 1)X 2 + 2pXZ ! X 2 -f T 2 + Z* = B*

a pour équations :

\ x sin a — y cos a = p z sin a

[ X CO$ a -j- y $m a = p Z COS a

Ces équations représentent une droite située dans le xOz ; cela tient à ce que, lorsque it = p* — 1, le cône du second degré est un cône de révolution et par suite la conique sphérique est simplement un cercle ; son cône déroulé se réduit donc à une droite passant par le centre du cercle; mais comme les équations obtenues rentrent dans la forme générale des lignes cycloïdales, il est probable que le cône déroulé d'une conique sphérique quelconque est un cône cycloïdal. Si l'on n'a pas obtenu l'équation complète de ce cône, ce cône est néanmoins déterminé puisqu'on connaît la fonction cp(&>), c'est-à-dire l'équation du développement de sa section plane.

2° Roulement d'un plan sur un cône : En raisonnant comme nous Pavons fait pour les courbes planes, on démontre facilement, qu'étant donné un cône

Xsin/3— Zcos(3 = Z F @)

l'équation de la roulette décrite par un point quelconque UyVjW, de l'espace, lorsque le plan des xz roule sur le cône donné, se déduit des formules relatives au roulement d'un

cône sur un plan, en permutant les lettres X,Z,Zavec les lettres u,v,w.

En effectuant cette permutation clans les formules (30) et résolvant par rapport à X,Y,Z, on obtient:

Zsin|3 - Fcos j3 = [(u sin ©+ w cos cp) F(/3) - v] - , -

Zcos(3-f Fshij3= wcosç-wsincp

Z= [u sin cp -i- w cos cp +- v F (fi)]

Telles sont les formules générales relatives au roulement d'un plan sur un cône jP(|3), l'angle cp désignant l'angle appelé précédemment w, c'est-à-dire l'angle de la tangente au développement de la section du cône F par le plan z = 1 . Cet angle cp dépend donc de |3 par la relation :

__ ne F(p)d(5

En particulier, la roulette décrite par un point de l'axe OY(u = 0, w = 0) a pour équation, en résolvant par rapport aux coordonnées :

x = yi + r(f>) sin|3

équations que l'on obtient directement de celles du cône F puisqu'elles ne contiennent plus cp„

En éliminant v, on obtient l'équation du cône engendré par la droite OY..

sin j3 ~~ -cos/3 ~" -F$)

Ce cône est évidemment le cône supplémentaire du cône sur lequel roule le plan.

Des cônes développés des courtes sphêriques : On sait que le cône développé est l'enveloppe des plans normaux à la courbe sphérique. On peut donc trouver Péquation du cône développé par les procédés ordinaires de la théorie des enveloppes.

3° Roulement d'un cône sur un cône. Etant donné un cône

X Sin a — 1' COS a = f(a) Z

roulant sur un cône fixe :

X sin /3 — Z cos /3 = F (/3) Z

on sait qu'on peut remplacer le roulement par deux autres savoir 1° le roulement du cône /"sur le plan des xz 2° le roulement du plan des xz sur le cône F.

Il suffit donc, pour avoir les formules relatives au roulement d'un cône sur un autre cône, de combiner les formules (30) avec les formules (34) comme on l'a fait dans le cas des courbes planes.

Dans ce qui précède, on n'a parlé que des roulettes décrites par un point ; pour avoir l'équation de la roulette surface engendrée par une courbe entraînée, on exprime l'équation de cette courbe en fonction d'un paramètre t; on écrit que le point u,v,w, se trouve sur cette courbe et on élimine t entre les trois équations de la roulette décrite par ce point, comme on l'a vu plus haut.