FONCTIONS PONCTUELLES ET TANGENTIELLES

31. Étant donnés deux polytropes P et P' dont les points sont désignés par M et N, les tropes par m et /i, on a

.5'=[y(M,N,)], SS'=[r(m'/i')].

(B). 32. Fonction ponctuelle pour 71 — I points^etc. — Le carré de la fonction ponctuelle d'un sjstème de ai — i points est

^' = [[îil]].[[xnL

le crochet double indiquant une matrice à n colonnes ; lorsque les n — I points sont dans un même axe, tous les déterminants de ces deux matrices sont nuls (n** 47) et la fonction ponctuelle est nulle ; elle est encore nulle lorsque le trope des n — i points appartient à Téquationnelle s (n** 34).

Pour avoir o-^ en fonction des seules coordonnées x^ on évalue les déterminants de la première matrice en fonction de ceux de la seconde ; on a, par exemple,

[^] = [[x;]].[[ïi,]];

nous reviendrons, dans un instant, sur ce calcul. Nous donnerons enfin la formule

dont le second membre est un déterminant d'ordre in — i; on arrive à cette formule en mettant la première sous une forme analogue et multipliant par SJ mis sous la forme d'un déterminant d'ordre 2/i — i.

On aurait des formules analogues pour le S de n — i tropes \ cette fonction est nulle quand les tropes ont un rayon commun, etc.

33. Trope déterminé par des points, etc. — Les coordonnées du trope de /? — i points sont données par les formules

Xi X, I ^

on en tire

Ut

XSo'

et comme on a ^X.< w< = i, on a X^ = t*. Dès lors, en prenant

X = <7, les coordonnées normales du trope dirigé défini par /i — i points et par le signe de leur <t (l'ordre des points étant connu) sont données par les formules

(tSi

La fonction ponctuelle de n — i points dans un trope dirigé a un signe lorsqu'on fixe l'ordre des points; on vérifierait 5, = S|, . . ., et on aurait la règle du n® 28 pour le signe. On a des résultats analogues pour le point de n — i tropes.

Le facteur normalisant du n° 14 pour l'équation du trope de n — I points est <tSo ; il est nul quand le trope appartient à l'équalionnelle s. Le facteur normalisant pour l'équation du point de n — I tropes est S^q.

34. Les formules précédentes éclairent les calculs du n^ 32 relatifs à 0-2 : la première formule équivaut à la relation entre les coordonnées d'un trope, écrite avec u et u ; les formules de transformation équivalent aux formules qui donnent les coordonnées u d'un trope en fonction des coordonnées u ; la formule qui donnerait 0-2 en fonction des seules coordonnées x peut s'obtenir en remplaçant dans ^ = i les coordonnées u par leurs valeurs cidessus, et si l'on écrit cette relation par un déterminant égal à o, on obtient o-^ par un déterminant égal à o. On peut écrire

SJcT2 = *[(a7>3...), -(:r/^3...), ...];

(j est nul quand le trope des points appartient à l'équationnelle s. De même, etc.

On pourrait considérer deux systèmes de (n — i) points, et obtenir des formules donnant la valeur de l'expression

dd' r(m, n).

3o. Théorème des déterminants de A pour n — i points et n — i tropes, etc. — Etant donnés n — i points qui déterminent un trope m, et n — i tropes qui déterminent un point M, on a

FONCTIONS PONCTUELLES ET TANGENTIELLES. a3

tous les éléments étant dirigés. Ce déterminant est nul dans trois cas : lorsque les points sont à un même axe, lorsque les tropes passent par un même rayon, enfin lorsque le trope des points et le point des tropes sont associés.

Lorsque le trope des points est conjugué de lui-même, le déterminant n'est généralement pas nul, bien qu'on ait <j= o, parce que le A du second membre est alors infini ; si le point des tropes est en outre associé au trope des points, le déterminant est nul, le A est indéterminé. De même, etc.

36. Si l'on considère maintenant n — i points M qui déterminent un trope m, et n — i autres points N qui déterminent un

trope /i, on a

[Y(M,N,)] = (Ta'r(/nn);

le déterminant est nul dans trois cas et on a une remarque comme ci-dessus. En supposant les deux systèmes de points identiques, on retrouve des faits connus. On développerait le premier membre de cette formule comme le premier membre de celle qui donne 0-2 ; la dernière formule du n" 32 serait remplacée par une autre dont le premier membre serait SJ (T^'T(mn). De même, etc.

37. Extension des formules ^o = *i^S So = Si Ai. — Si l'on considère un point M et le trope de n — i points, l'équation normale du trope donne s = a- A (M m), o- étant la fonction ponctuelle des n — I derniers points. De même, etc. On peut encore partir de la formule (n** 29) qui donne ^Sq.

(G). 38. Fonction ponctuelle de p points, etc. — Le carré de la fonction ponctuelle de p points a pour expression

<^'- = [[îi[]].[[xn];

cette quantité est nulle lorsque les p points sont dans un même élément M^| (n° 47) et, plus généralement, lorsque l'élément déterminé par les p points est conjugué de lui-même (n°" 54, 63). Pour avoir o-^ en fonction des seules coordonnées x, on a les formules de transformation

iM'S^t'M^^

24 CHAPITRE III. — FONCTIONS PONCTUELLES ET TANGENT lELLES.

on a alors

dans Tétude d'un élément M^, nous reviendrons sur ces calculs qui se rattachent à la relation entre les coordonnées normales d'un élément MJ. Je donnerai encore pour o-^ la formule suivante analogue à la dernière formule du n** 32, et dont le second membre est un déterminant d'ordre /i -h/> :

pour/? = I, on a la relation entre les coordonnées d'un point. De même, etc.