FONCTIONS PONCTUELLES ET TANGENTIELLES

Bien que ce Chapitre précède toute étude des éléments MJ, on devra concevoir ici qu'une figure composée de p points est dans un élément MJ, et qu'une figure composée de p tropes est formée autour d'un élément MJ.

27. Fonctions ponctuelles et tangentielles. — La fonction ponctuelle d'un système de points M,M^^. . ., dont le nombre ne surpasse pas /i, est une quantité o* dont le carré est le déterminant des y de ces points considérés deux à deux. Pour/? points dirigés, dans un élément M^ dirigé, l'ordre des points étant donné, la fonction ponctuelle a un signe relatif au théorème des déterminants de A (n° 51) et que nous définirons; inversement, on peut déterminer un élément M^ dirigé en donnant p points dirigés, avec le signe de la fonction ponctuelle des points pris dans un ordre déterminé; si l'on change le sens de l'élément, on change le signe de la fonction ponctuelle.

La fonction tangentielle d'un système de tropes m'm". .., dont le nombre ne surpasse pas n, est de même une quantité 2 dont le carré est le déterminant des F de ces tropes considérés deux à deux.

La fonction ponctuelle de/? points est nulle lorsqu'ils appartiennent à un même élément M^< ; la fonction tangentielle de p tropes est nulle lorsqu'ils passent par un même élément M/*"*. Plus généralement, la fonction ponctuelle de p points est nulle lorsque l'élément MJ qu'ils déterminent fait partie du complexe des éléments M^ conjugués d'eux-mêmes; par exemple, la fonction ponctuelle de /i — I points est nulle, lorsque le trope qu'ils déterminent appartient à l'équationnelle double s. Ces faits seront démontrés.

28. Si l'on considère un système de points dans un élément dirigé, et le système des tropes transformés autour de l'élément

dirigé qui est le transformé du premier, ou inversement, la fonction ponctuelle du système de points est égale à la fonction tangentielle du système de tropes; le signe sera vérifié. On a, par exemple, pour le polytrope P, S, = o-^; et comme on a

on a pour le polytrope P les mêmes formules que pour P.

(A). 29. Les deux fonctions d'un polytrope. — Nous appellerons fonction ponctuelle s d'un polytrope la fonction ponctuelle des n sommets; la fonction tangentielle S du polytrope sera la fonction tangentielle des n faces. On a

et comme le premier déterminant est le produit du second par le déterminant $1, on a facilement la formule

qui définit le signe de s quand l'ordre des points est donné (celui des colonnes du déterminant); la fonction ponctuelle de n points est nulle quand les points sont dans un même trope. On a de même pour n tropes

qui définit le signe de S; S est nulle quand les n tropes passent par un même point. On vérifie ^0=: So, etc.; on obtient la règle du n° 28 pour le signe.

30. Théorème des déterminants de A pour n points et n tropes, etc. — Étant donnés deux polytropes quelconques, si l'on considère les points du premier M^ . . , et les tropes du second m' . . . , en multipliant membre à membre les formules qui donnent s et S, on a la formule

en prenant indifTéremment A(M/w) ou A(mM); le déterminant des A est nul lorsque les n points sont dans un même trope, et aussi lorsque les n tropes passent par un même point. Si les deux polytropes sont confondus, on a l'extension à un polytrope quelconque de la dernière formule du n" 5.