X:2=A:,2+... + A:,A:Jy(M,MJ4-y(M,M

le signe que l'on donne à k fixe le sens de M {voir aussi n** 77). La même marche a donné y(MN) au n** 26, et on a eu, en particulier, la relation <f = i. Si les points composants se confondent, on a A" = A", + . . . . De même, etc.

44. Les points M,M,, . . . , affectés des coefficients A", A",, . . ., sont dits en équilibre lorsque le point M, affecté du coefficient — k, est le point résultant des autres points affectés de leurs coefficients : le point résultant est indéterminé avec un coefficient nul; ou a pour o) quelconque A*, A,H- . . . = o, et pour O quelconque, etc.

Lorsque l'on a seulement A* = o, le point résultant est sur l'équationnelle double S; le A de ce point et d'un trope co est infini. De même, etc.

45. Éléments dérivés. — Nous allons définir les éléments MJ(/?H- y = /i). Soient q tropes m' ml' ..., et supposons qu'il n'existe pas une même relation linéaire et homogène entre les coordonnées u'iu]^ ... quel que soit /, l'un au moins des déterminants d'ordre q de la matrice des u étant différent de o. Les points M communs à ces tropes vérifient q conditions distinctes et dépendent de jD — I paramètres; prenons parmi eux p points M'M'' . . ., tels etc. : les coordonnées du point courant M sont données par les formules

les k étant variables. En outre, tous les points M sont dans tous les tropes m dont les coordonnées sont données ^par les formules

kxi=^ k'x'i

ces tropes dépendent Aq q — i paramètres, et vérifient p conditions qui sont de passer par p points M. On aurait pu prendre p points, etc.

Nous appellerons élément M^ l'ensemble de tous ces points par lesquels passent tous ces tropes; c'est à la fois :

I® Un élément-lieu M^,, Heu de points dépendant de /> — i paramètres et vérifiant q conditions;

1^ Un élément-enveloppe M^, enveloppe de tropes dépendant de y — I paramètres et vérifiant /> conditions.

Un élément MJ dépend de pq paramètres.

Un point courant de l'élément a pour équation ~ — ' , ' " = o^

de même, etc.

Deux éléments tels que M^ et M^ sont dits associables.

L'élément M2 est le rayon : il est déterminé par deux points, et ses points dépendent d'un paramètre; l'élément M^ est l'acre.* il est déterminé par deux tropes, et ses tropes dépendent d'un paramètre. L'élément Mj|,^ est le trope qui peut être défini par n — \ points : les points d'un trope dépendent de /î — 2 paramètres, d'après les formules ci-dessus; de même, etc.

Pour [j=^n on a tous les points de l'hyperespace M^; pour y = n on a tous les tropes, que l'on peut considérer comme situés autour d'un élément fictif M'^J.

Un polytrope donne des éléments M^; à chaque M^ est opposé unM^.

46. Coordonnées homogènes d'un M^. — Etant donné un élément M^ :

I® Si l'on considère jD points de cet élément, les déterminants d'ordre p fournis par la matrice des coordonnées ^', et dont un au moins est supposé différent de o, ont des valeurs dont les rapports sont indépendants des p points qu'on a choisis parmi les points de l'élément pour le définir;

a° Si l'on considère q tropes de ce même élément, les déterminants d'ordre q fournis par la matrice des coordonnées X^ ont des valeurs proportionnelles indépendantes des q tropes qu'on a choisis parmi les tropes de l'élément.

En outre, les déterminants de la seconde matrice sont proportionnels aux déterminants d'indices complémentaires de la première, affectés du signe ( — i)''*'^; pour le démontrer, on écrit que le point M, est dans les q tropes et on élimine q — i coordonnées x^ ce qui en laisse p -\- i\ on fait de même pour chaque point, et

des p relations obtenues on tire les rapports des coefficients. Alors, en tenant compte des formules du n** 6, on voit que les

quantités des deux sj'stèmes -^ et !— ^ sont proportionnelles : ce

seront les coordonnées homogènes x\ de l'élément M^. Ces coordonnées sont surabondantes. Ajoutons que, si la coordonnée x\ est nulle, Télément M^ et l'élément AJ de référence qui est A,; sont associés, c'est-à-dire que ces deux éléments ont un point commun et un trope commun (n° 53).

47. Équations d'un élément M^. — Les déterminants d'ordre /? -h I de la matrice formée avec les coordonnées d'un point courant M de l'élément et des p points qui le déterminent sont tous nuls; chacune de ces relations représente un trope remarquable, passant par l'élément et par q — i sommets de référence. Si l'on considère p + i tropes de référence comme formant un système comparable à un polytrope, on a les dernières formules du n° 9 et l'équation du trope remarquable prend la forme

Les équations obtenues sont d'ailleurs surabondantes; on a un système suffisant en maintenant fixes/? des indices /, ce qui laisse q valeurs possibles pour le (/> -|- i)""«.

Un élément MJ a aussi des équations tangentielles.

48. Les premières relations du n°47 expriment que)t?+ i points sont à un MJ ; elles démontrent que la fonction ponctuelle de p -f- i points est nulle lorsqu'ils sont à un M^. De même, la fonction tangentielle de gr + i tropes est nulle lorsqu'ils sont à un MJ.

§ in.

49. Interprétation des coefficients k, — On peut interpréter les coefficients A", dans le cas du n° 45, c'est-à-dire lorsque le nombre des éléments composants est au plus égal à n. Reprenons les /> H- 1 relations qui ont servi à calculer le coefficient résultant (n" 43);

si l'on calcule -77 en laissant de côté d'abord la première relation,

puis la seconde, et si l'on multiplie les deux relations ainsi obtenues, on voit que, en prenant pour A^ le carré de la fonction ponctuelle des p points composants, kj sera le carré de la fonction ponctuelle des p points MM,,M,„ ... ; si l'on prend pour k la fonction ponctuelle des p points composants M,M^, . . . avec un signe arbitraire, A", sera la fonction ponctuelle des p points MM^^M,,,..., le signe de cette fonction ponctuelle étant ainsi déterminé; /c,, sera la fonction ponctuelle des/? points M,MM,„ • . . , la lettre M remplaçant M,, dans la suite naturelle M,M^^M,,, . . . (cette règle se comprend bien en supposant kf= o, A",„= o, . . . , d'où résulte k = Ar^,). On aurait des résultats analogues pour la composition des tropes.

Dans le Cds p = n — i, si l'on prend n — i des formules du n*^4S, et qu'on en tire les rapports A, I A", . . . , en tenant compte des formules du n° 33, on a une vérification. Le cas p = n en fournit une semblable. Une vérification générale peut être faite avec les formules du n° 53.

Lorsque le nombre des points composants est /î, on peut donner une autre démonstration que nous exposerons en supposant que les points composants sont les sommets de référence; un point quelconque M de coordonnées ^, affecté du coefficient i, est le point résultant des sommets de référence affectés des coefficients X*, X^, . . . , comme on le voit en prenant les A par rapport aux

tropes de référence; or on peut remplacer ces coefficients par >

*^ 9 ••., en sorte que, si l'on affecte le point M du coeffi-

cient Sq, il sera le point résultant des sommets de référence affectés de coefficients qui représentent en grandeur et en signe les fonctions ponctuelles des poljtropes MA2 A3 . . . A„, Ai MA2 . . . A«, .... De même, etc.

50. Transformation du théorème des A, etc. — Soient p points M,M„... et un(/>+ iy^"^point M situé dans l'élément M]^ que définissent les p premiers points; désignons par a- la fonction ponctuelle des jD premiers points, et paro-^o-,,. . . les fonctions ponctuelles des systèmes de points MM,,M,„. . . , M,M M,,,. . . , ..., avec les signes définis précédemment : nous pourrons considérer le point M affecté du coefficient o* comme le point résultant des points M,M^,..., affectés des coefficients o-,t,, Le théorème des A donne alors.

3o CHAPITRE IV

poar on trope a> quelconque

jA = T A.

et le théorème des y donne pour un point O quelconque

(r/(OM)=ir,Y(OM,)-H..., cr;(MO)=:r,Y(M,0)^....

On a

ff«=(j«-h...-h(j,a,[7(M,M,)-i-7(M,M,)]H-...

(î;o/r aussi n* 77). On remarquera que ces formules concernent P'\-\ points dans un MJ; par exemple, dans l'espace réel, elles peuvent concerner quatre points dans un plan.

Si l'on suppose /? = /i -f- i , et si les w points M,M^. . . sont les sommets de référence, la formule

jA = (j,A,-h<x,A,-i-...

est identique à la formule

A(/nM)= X* a?t H- X*arj -+-...;

la formule qui donne la valeur de a-^ est identique à la relation entre les coordonnées d'un point, et l'on pourrait l'écrire avec un déterminant. On aurait pu d'ailleurs, dans le cas de n points composants, écrire la valeur du coefficient résultant à l'aide d'un déterminant.

De même, etc.

51. Moments. Théorème des déterminants de A. — Soient deux éléments associables. L'élément MJ étant défini avec son sens par p points dirigés M, . . . et par le signe de leur fonction ponctuelle o-, et l'élément MJ étant défini avec son sens par p tropes dirigés m'. .. et par le signe de leur fonction tangentielle S, nous définirons ici le moment des deux éléments par la relation

ces A étant des A(M/n) parce que l'élément défini par des points est placé le premier; si l'on met M^ le premier, les A sont des A(mM), le moment des deux éléments étant multiplié par ( — \)P^

ÉLÉMENTS M^. MOMENTS ET COMOMENTS. 3l

quand on change l'ordre. Il est facile de montrer que le moment est indépendant des points pris dans le premier élément, etc. Il faut encore prouver que le moment reste le même quel que soit celui des deux éléments que l'on définit par des points, l'autre étant défini par des tropes; ce fait sera démontré directement (n® o4)pour les moments qui seront les coordonnées d'un élément M^, et le fait général résultera alors de la formule (n** 55) qui donne le moment de deux éléments en fonction de leurs coordonnées. Lorsque le. moment aura reçu sa définition véritable (n° 107), la relation qui le définit ici constituera le théorème des déterminants de A (n** 110). Pour /? = /i — I, le théorème a été démontré (n** 35), le moment d'un trope et d'un point étant leur A.

On aurait en particulier la formule du n® 8 pour un polytrope quelconque.

On trouvera plus loin (n° 56) une autre propriété du moment de deux éléments associables, relative au cas où ces éléments sont définis tous deux par des points, ou tous deux par des tropes, ce qui donne un système de n points ou un système de n tropes; cette propriété est celle du n** 7 étendue à un polytrope quelconque.

52. Les 7i des n*^* 7 et 8 sont des moments dans le polytrope de référence.

53. Coordonnées normales d'un M^. — Les coordonnées normales X d'un M^ dirigé seront les moments de cet élément et des éléments de référence A^ ; les coordonnées u seront les moments des éléments de référence et de l'élément. Si l'élément dirigé est défini par p points dirigés M, . . . avec le signe de leur t, on aura

<r Sl ff 2l

Si l'élément est défini par q tropes dirigés m! . . , avec le signe de leur S, on aura

et Ton va voir que ces dernières quantités sont égales aux premières en disposant du signe de S.

54. Relation entre les coordonnées normales. — Les coordonnées X d'un élément AJ du polylrope P sont les quantités r*"C Si l'on rapporte un élément M^ à P, on a

wL

en tenant compte de la valeur de <x^ au n° 38 et en posant X''= —^^ on a la relation entre les coordonnées normales

or des formules du n° 38 donnent les formules de transformation et la relation devient

i.if~

X^Yi^r = I.

^■Cî

Si l'élément est défini par des tropes, on aura avec des coordonnées Xi la même relation \ comme l'on sait déjà que les coordonnées x^ et les coordonnées x^ sont proportionnelles, cela prouve que les dernières sont égales aux premières en disposant du signe de S. On a ainsi les coordonnées x\ ; les coordonnées Wy sont égales aux premières multipliées par ( — \)P^ ,

La relation entre les coordonnées normales d'un MJ sera désignée par

lKXLXL)=I, ou 2XL^L = 1,

en posant

on peut écrire

u) — iJ^L.

La relation entre les coordonnées d'un élément M^ sera W(XlXl)= I, ^}i et ^ ne différant que par le changement de ypL

en Y^.

Gomme la relation entre les coordonnées normales a pour premier membre une fonction homogène du second degré, on peut

ÉLÉMENTS mJÎ- MOMENTS ET COMOMENTS. 33

changer les signes de toutes les coordonnées : changer ces signes, c'est changer le sens positif de réléinent; ce sens étant choisi, c'est-à-dire l'élément étant dirigé, les formules du n** o3 donnent des signes à o- et à S pour jd points dirigés de cet élément ou q tropes dirigés passant par cet élément.

Signalons le facteui* normalisant des coordonnées homogènes.

On peut écrire pour/? points

cette fonction est nulle lorsque Télément MjJ des/? points est conjugué de lui-même (n"* 63).

5o. Expression du moment» Théorème des moments. — La formule qui définit le moment devient d'abord

et ensuite

On peut considérer M^ affecté du coefficient i comme le résultant des A^ de référence affectés des coefficients Xl relatifs aux éléments opposés, et regarder la formule comme la traduction d'un théorème des moments.

56. Autre propriété du moment. — La fonction ponctuelle s des n sommets d'un polytrope est donnée par la formule 5So= [-^f ]j ^^ ^^ *^ire facilement

T étant la fonction ponctuelle des points d'indices L, etc., M^ et M^ étant les deux éléments déterminés par les deux systèmes de points. On a de même pour n tropes

S = (i)L.T2r(MÇMp.

57. Association de deux éléments. — Les éléments MJ et MJ sont associés lorsqu'ils ont un point commun et, par suite, un trope commun. Le premier étant défini par p points, le second par p tropes, la condition d'association est [A'] z= o: le moment

34 CHAPITRE tV.

est nul ; on peut écrire

Xi^x^ = o.

Si les deux éléments sont définis par des points, on a

[xf]=o; etc.

En supposant les Xl fixes et les x^ variables, la relation ci-dessus

est l'équation normale de l'élément MJ en éléments M J associés ;

'les coefficients ne sont pas quelconques.

58. Élément NÇ transformé d'un élément M^. — Considérons p points M, M,, ... et leurs tropes transformés n'w". . . ; les p points définissent un élément MJ, les p tropes définissent un élément N^, et tout point du premier élément a pour transformé un trope passant par le second; tout trope du premier élément a, d'ailleurs, pour transformé un point du second; le second élément sera le transformé du premier, qui sera son primitif. Un point quelconque du premier élémentet un point quelconque du second sont conjugués; on peut définir le second élément par q points dont chacun sera conjugué des/? points qui définissent le premier; le second élément est le lieu des points qui sont conjugués de tous les points du premier; on aurait des remarques analogues en considérant les tropes des deux éléments. Les coordonnées ç^l du second élément sont données par les formules

Les coordonnées des éléments Aj du polytrope P sont les quantités y?Lî ce qui définit le sens de ces éléments; on en conclut o-j=: St, ... et l'on a la règle du n° 28 au point de vue du signe.

59. Comoments; théorème des déterminants de y ou de r. — Le moment de deux éléments associables est égal à celui de leurs transformés : cela résulte du théorème des déterminants de A^ si

l'on considère alors deux éléments de même espèce MJ, NJ, et si l'on forme la suite M^MJNJNJ, on peut appeler comoment

des deux éléments M^, NJ le moment des deux premiers éléments de la suite, ou le moment des deux derniers; nous désignerons ce comoment par la notation ((MJ, N^)).

Si Ton considère deux systèmes de/? points M, M^, ..., N,N„ ..., qui définissent les deux éléments M^, N^, on a le théorème des déterminants de y,

aa'((M^N/;))±=[Y(M,N,)].

De même, etc. Le comoment de deux éléments identiques est i ; le moment d'un élément et' de son transformé est égal à i. Le comoment de deux éléments est égal à celui de leurs transformés.

Les quantités Ylp sont des comoments. Si l'on considère un

élément M^ et un élément de référence AJ, on a la suite A^, MJ,

AJ, N^; le moment des deux premiers éléments, pris dans l'ordre où ils sont écrits, est la quantité w'^; le moment des deux premiers est la quantité égale v^] l'une ou l'autre de ces quantités est le comoment des deux éléments M^, A^; on a

- ((M^,A?:))=2x-*-Yja = -}'i.-

60. Expression du comoment; théorème des comoments. — Les deux éléments étant définis par/? points, on a

a^'((M,^,N7,))=[K']].[[Y;]l; on en déduit

les formules de transformation donnent