VI

65. Identité des A pour n + i points, n + i tropes; etc. -7- On peut toujours mettre n + i points ou n -\- i tropes en équilibre avec des coefficients convenables; il en résulte pour /i -f- 1 points MM, . . . , et n-\- i tropes mm' . . . l'identité [A]= o. Pour deux systèmes de /i -h 1 points, on a une identité analogue avec des y; etc.

66. Relation pour n points dans un trope, etc. — Pour n points et n tropes, on a vu que le déterminant des A est nul quand les points sont dans un même Irope ou quand les tropes passent par un même point. Cela lient à ce que n points dans un trope peuvent être mis en équilibre, etc. Dans le premier cas, la relation linéaire et homogène qui lie les éléments d'une colonne a pour coefficients les coefficients d'équilibre; pour la relation entre les éléments d'une rangée, on peut considérer le trope des points M comme le trope résultant des tropes m, et appliquer le théorème des A par rapport à chacun des points M, lesquels sont dans le trope résultant (n" 41). C'est ainsi que, dans la relation qui exprime, au n° 14, que n points sont dans un même trope, les coefficients d'une rangée sont X^ ,X2, • . . , c'est-à-dire les coefficients du trope des n points considéré comme le résultant des tropes a.

67. Pour deux systèmes de n points, le déterminant des y est nul lorsque les points de l'un des systèmes sont dans un mênie trope : on expliquerait ce fait comme le précédent; en particulier, la fonction ponctuelle de n points est nulle lorsque les n points sont dans un même trope. De même, etc.

68. Relation pour (/? -h 1) points dans un M^, etc. — Si l'on considère/? -h 1 points et/? + 1 tropes, le déterminant des A est nul

dans Irois cas : en premier lieu, lorsque les ^ + i points sont dans un même élément MJ; en second lieu, lorsque les y? -f- 1 tropes passent par un même élément MJ;en troisième lieu, lorsque l'élément Mp^i déterminé par les points et l'élément M'''^* déterminé par les tropes sont associés. Dans ce dernier cas, n° 37, le déterminant est nul, parce que le point commun peut être considéré comme le point résultant des p -f- i points affectés de coefficients convenables et doit se trouver dans les /?-f- i tropes; on aurait une explication analogue en considérant le trope commun. En particulier, lorsqu'un élément M^ est associé à un élément de référence A^, on a [:c^*]= o; la relation linéaire et homogène entre les éléments d'une rangée est l'équation du trope remarquable qui passe par les deux éléments.

Lorsqu'on a/> + i points appartenant à un élément M^ et/? -h i tropes quelconques, le déterminant des A est nul parce qu'on peut mettre les points en équilibre à l'aide de coefficien ts convenables : ce fait donne la relation linéaire et homogène entre les éléments d'une colonne. Pour obtenir la relation entre les éléments d'une rangée, on remarque qu'un certain trope de l'élément M^;^! défini par les /? 4- 1 tropes passe par les/? + i points (/? conditions) : on considère ce trope comme le trope résultant des/? + i premiers, et l'on applique le théorème des A par rapport à chacun des p + i points, lesquels sont dans le trope résultant; en somme, les deux éléments ont un trope commun. C'est ainsi que, dans les relations qui expriment que p -H i points appartiennent à un élément M^, les coefficients des rangées sont des X.

Lorsqu'on a /;-f- i points dont l'élément My^+i est conjugué de lui-même et/? + i tropes quelconques, le déterminant des A n'est généralement pas nul, bien qu'on ait o- =:= o, parce que le moment des deux éléments est alors infini; si l'élément M^"*"* des tropes est alors associé à l'élément des points, le déterminant est nul, le moment est indéterminé.

69. Si l'on considère deux systèmes de/^H- i points, le déterminant des Y est nul, soit lorsque les points de l'un des systèmes appartiennent à un même élément MjJ, soit lorsque les deux éléments M^^, définis par les points sont conjugués l'un de l'autre; on ferait des remarques analogues aux précédentes. En supposant

ÉLÉMENTS M^. MOMENTS ET COMOMENTS. Sq

les deux systèmes de points identiques, on retrouverait des faits connus. De même, etc.

70. Si l'on fait p=^ n — a, au n° 68, on a /z — i points et /i — i tropes : le déterminant des A est nul dans trois cas, dont le plus important est l'association du trope des /i — i points et du point des n — I tropes.

Pour deux systèmes de /i — i points, n** 69, le déterminant des y est nul en particulier si les deux tropes déterminés par ces points sont conjugués; etc.

§ VII

71. Formes compagnes d'une forme quadratique. — Soit la forme quadratique

dans laquelle c\i et ci\ sont différents. Considérons le déterminant d des coefficients c supposé différent de o, et ses mineurs [cx/], les indices étant dans Tordre naturel. Les formes compagnes seront les formes quadratiques

la lettre/? indiquant le nombre des indices /ou X; les deux formes pf ^^ ^/seront dites associées. Pour/? = n — i , on a une forme qui ne diffère de la forme adjointe que par les signes des coefficients : c'est ainsi que la forme ax'^{b -\- b')xy -\- cy^ a pour forme compagne cm^4-(6 + 6')m^ H- a^^, tandis que la forme adjointe est cU^ — (6 + 6')UV-+- aV^. Pour/? = o, on a

pour/? = /i, on a

Posons, comme au n° 21, f{z,z„)= ^c\iz]5[ = ^zlfi{z,)\

on a

■aBc:n:.

ÉLÉMENTS M^. MOMENTS ET COMOMENTS. Sg

les deux systèmes de points identiques, on retrouverait des faits connus. De même, etc.

70. Si l'on fait p = n ^ 2, au n° 68, on a n — 1 points et « — 1 Iropes : le déterminant des A est nul dans troi.s cas, dont le plus important est l'association du trope des n — 1 points el du point des n — I tropes.

Pour deux systèmes de « — 1 points, n" 69, le déterminant des y est nul en particulier si les deux tropes déterminés par ces points sont conjugués; etc.

§ VII

71. Formes compagaes d'une forme quadratique. — Soit la forme quadratique

dans laquelle cxi et ca sont différents. Considérons le détermi* nant d des coefficients c supposé différent de o, et ses mineurs [c)f], les indices étant dans l'ordre naturel. Les formes compagnes seront les formes quadratiques

la lettre/) indiquant le nombre des indices l ou X; les deux formes p/ et j/ seront dites associées. Pour jo = n — 1 , on a une forme qui ne diffère de la forme adjointe que par les signes des coefficients : c'est ainsi que la forme aœ'^(b-\- b')xy-\-cy' a pour forme compagne cu'-\-(b + b')uv -i- ai>*, tandis que la forme adjointe est cU" — (i + b')UV ~\- aV'-'. Pour/) — o, on a

pour/* =: n, on a

Posons,

iirae .u n- 21, /(.-,3,)= S^l'-N'-' = 2»-V'(--.) i

dans Irois cas : en premier lieu, lorsque les /? -f- i points sont dans un même élément M^; en second lieu, lorsque les y? + i tropes passent par un même élément MJ; en troisième lieu, lorsque l'élément M^+^ déterminé par les points et l'élément Mp"^* déterminé par les tropes sont associés. Dans ce dernier cas, n° 57, le déterminant est nul, parce que le point commun peut être considéré comme le point résultant des p -h i points affectés de coefficients convenables et doit se trouver dans les /?-|- i tropes; on aurait une explication analogue en considérant le trope commun. En particulier, lorsqu'un élément M^ est associé à un élément de référence A^, on a [:c*]= o; la relation linéaire et homogène entre les éléments d'une rangée est l'équation du trope remarquable qui passe par les deux éléments.

Lorsqu'on a^ + i points appartenant à un élément IVK et/? + i tropes quelconques, le déterminant des A est nul parce qu'on peut mettre les points en équilibre à l'aide de coefficients convenables : ce fait donne la relation linéaire et homogène entre les éléments d'une colonne. Pour obtenir la relation entre les éléments d'une rangée, on remarque qu'un certain trope de l'élément M^^^J défini par les /? H- 1 tropes passe par les/? + i points (/? conditions) : on considère ce trope comme le trope résultant des/? + i premiers, et l'on applique le théorème des A par rapport à chacun des p -h i points, lesquels sont dans le trope résultant; en somme, les deux éléments ont un trope commun. C'est ainsi que, dans les relations qui expriment que /? -H i points appartiennent à un élément MJ, les coefficients des rangées sont des X.

Lorsqu'on a /^ -f- i points dont l'élément M^^^ est conjugué de lui-même et/? + i tropes quelconques, le déterminant des A n'est généralement pas nul, bien qu'on ait o* = o, parce que le moment des deux éléments est alors infini; si l'élément M''+* des tropes est alors associé à l'élément des points, le déterminant est nul, le moment est indéterminé.

69. Si l'on considère deux systèmes de p -\- i points, le déterminant des Y est nul, soit lorsque les points de l'un des systèmes appartiennent à un même élément M^^, soit lorsque les deux éléments Mp^i définis par les points sont conjugués l'un de l'autre; on ferait des remarques analogues aux précédentes. En supposant

ÉLÉMENTS M^. MOMENTS ET COMOMENTS. Sq

les deux systèmes de points identiques, on retrouverait des faits connus. De même, etc.

70. Si l'on fait p=z n — 2, au n° 68, on a /i — i points et /i — i tropes : le déterminant des A est nul dans trois cas, dont le plus important est l'association du trope des /i — i points et du point des n — I tropes.

Pour deux systèmes de /i — i points, n® 69, le déterminant des y est nul en particulier si les deux tropes déterminés par ces points sont conjugués; etc.

§ VII

71. Formes compagnes d'une forme quadratique. — Soit la forme quadratique

dans laquelle cxt et ci\ sont différents. Considérons le déterminant d des coefficients c supposé différent de o, et ses mineurs [ex/], les indices étant dans Tordre naturel. Les formes compagnes seront les formes quadratiques

la lettre/» indiquant le nombre des indices / ou X; les deux formes pf ^^ ç/ seront dites associées. Pour/» = /i — i , on a une forme qui ne diffère de la forme adjointe que par les signes des coefficients : c'est ainsi que la forme ax'^{b ~\- y)xy -\' cy^ a pour forme compagne cu^-^-^b -\-b')uv -\- a{^^^^ tandis que la forme adjointe est cU^ — (6+ b')\]W -h aY^. Pour/? = o, on a

pour/? = /i, on a

Posons, comme au n« 21, f{z,z^,)=^cxiz]zl = ^z[fi{z^)\ on a

\}; 4]='^ît^'lf^'îi'

40 CHAPITRK IV. — ÉLÉMENTS M^. MOMENTS ET COMOMENTS.

le premier déterminant étant d'ordre /?, le second d'ordre n 4-/>, et les quantités F étant celles qui ont été définies au n** 1 ; en laissant de côté l'expression intermédiaire qui sert seulement à la démonstration, on a une identité remarquable. Cette identité se simplifie quand on suppose ca nul pour / difl'érent de À. Pour p z= n^ on peut dire que le premier membre est égal au produit [^/*][^"^/' "^ <^2<'2f-t-« • «]> qui devient rf[5*]- ; une démonstration analogue peut se faire dans le cas général.

72. Formes compagnes d'une forme bilinéaire. — Considérons une forme bilinéaire dont les deux systèmes de variables seront désignés par z et t^ savoir :

Nous appellerons/o/v72e5 compagnes les formes bilinéaires

parmi lesquelles on doit remarquer la forme bilinéaire adjointe. On a une identité analogue à l'identité ci-dessus, les seconds z étant remplacés par des t,

73. Remarque sur la forme adjointe. — Considérons les deux déterminants inverses d et A, rf n'étant pas nul : les deux formes

sont entièrement réciproques. La forme ^ est le quotient par d de la forme «i/, si la variable Z/ est identique à la variable ^'•••""'^ multipliée par ( — i)'; la forme compagne ç<ï> est le quotient par d de la forme ,,/, si l'on a 7jj^-z(^ — i)'*^:;''.

Le 0- de deux points est un cas particulier du momenf de deux éléments M^, MJ (Chap. VII) : pour cette raison nous désignerons ici deux points par M et D\L] en Géométrie linéaire, A(M, m) deviendrait ^(M, DïL). Cette notation est encore en harmonie avec ce fait que le t de deux points est un cas particulier de la fonction ponctuelle de p points.

74. Fonction ponctuelle de deux points, etc. — La fonction ponctuelle de deux points M et Olu est définie par la relation

(t2(M, Oli)