Y (OÏL, M) I

on l'évaluerait par rapport à P cl P, ou à P seul (n" 32). La fonction tangentielle de deux Iropes wi et [x a une définition analogue. Pour deux points dont l'un est conjugué de l'autre, l'un des y est nul et l'on a généralement <j'-=zi. On peut remarquer à ce propos que, pour la fonction ponctuelle de p points, dont le carré est défini par un déterminant de y, si les éléments situés d'un côté de la diagonale principale sont nuls, on a a--i= i.

75. Rayons et axes. — Un rajon est un lieu de points dépendant d'un paramètre; un rayon dirigé est défini par deux points dirigés M et 011 avec le signe du o- de ces deux points; ses coordonnées (n'' o3) sont des quantités dont le type est

Un axe, etc.

riz— ^ ^

4^ CHAPITIlli: V.

76. Composition de deux points, etc. — Si Ton considère trois points M, M M,, situés sur un même rayon, le point M peut être considéré comme le point résultant des deux points M,, et M^ affectés des coefficients ^(M^M) et o"(MM„) et on doit raffecter luimême du coefficient <t(M, M,^).

Nous ferons d'abord la remarque suivante; étant pris sur un rayon dirigé deux points conjugués M et N que Ton dirige pour avoir o"(M, N) = i et un point DÏL du rayon, en écrivant MOILN on voit que le point D\L affecté du coefficient i est le point résultant des points N et M affectés des coefficients (t(M, DYl) et<j(OII,N) : en prenant les y par rapport au point M, on trouve y (M OU.) = o'(OliN); on a de même ^{^f M) := y (M, Oli), les points ^et DÏL étant conjugués sur le rayon et dirigés pour que 3-(4^, DXi) = i. En résumé, on a

(1(4;^, M) = y(M, i^lL) = (j(;)rL, N) avec (j(J^, OFl) = i, œ(M, N) = i.

Cette remarque étant faite, si nous considérons sur un rayon deux points M, et M^, affectés des coefficients A', et A",, et le point résultant M affecté de son coefficient k, en prenant les y par rapport au point DZ> du rayon qui est conjugué d'un point DM. de ce rayon, on

trouve

k7{D\L, M) = k,<j(D\Ly M,) -4- A-,(j(01V, M„) :

c'est le théorème des t. En prenant A' =: i , on peut écrire la formule

qui rappelle l'expression de A. Le théorème des déterminants de y pour deux couples de points à un même rayon donne

(j(M,01i) <t(M,M) Œ(.M,OlL) (i(M„M)

= j(M,M,)t(01VM).

Ces deux relations équivalent à celle-ci

(j(;)]iM)cT(M,Mj4- ... -h ... -:o

en permutant M M, M,,.

Les coefficients des trois points MM M,, étant (t(M,M,,), etc., en prenant les y par rapport au point M, on a encore, comme au

a(M,M;) = a(M,IVl)Y(MMj+cx(MM/)Y(MM,);

si l'on prend aussi les y par rapport à M,, et à M,, on arrive à la formule

a2(M,MJ = (t2(M,M) -h œ2(MMJ

^(M,M) cr(MMJ[Y(M/MJ -+- y(M,M,)].

77. Pseudo-distance M ^ II, etc. — Pour deux points dirigés, nous définirons la pseudo-distance M DÏL au signe près, et à 2/01 près, par la relation

si Ton change le sens de l'un des points, cos(;Vl, t)rt) change de signe. On a

cos(MOIV) = X»Si4- ... -4-XiS2cos(AiA2)h- ....

La relation <j> = i est cos(MM) = i, et l'on a l'équation de S en remplaçant i par o. On pourrait calculer sin^ M 0)1^ et examiner les cas où ce sinus est nul.

On a pour la composition des points

^cos(ÔM) = A:, cos(OM,)-h

On a encore (n** SO)

<j2 = (T 2 j- , . . -f. 2 d, d^ cos ( M, M^) -h

De même, etc.

78. Un cosinus est un y relatif à une correspondance par polaires réciproques dont l'équationnelle double serait S (Chap. IX). Cherchons la liaison entre iVl^lo et S. Étant donnés deux points M et Oit, le rayon MDXL rencontre l'équationnelle double © = o en deux points 12 et ù' ; évaluons le rapport anharmonique

^ ^'^ ^ cr(i2,,m)-<T(ii',orL)

Posons ^^ "\'., ^ r= /{ : le point il est le point résultant des points

M et D\L affectés des coefGcients i et — k, ce qui donne pour les coordonnées homogènes de ce point les valeurs :r* — /:$*, etc.; écrivons que ces coordonnées vérifient la relation <p = o, nous aurons

k^ — aA^cosMorC-l- i = o, qui donne les valeurs de A: pour les deux points ù et û'; appelons k celle qui répond au point û, l'autre

sera j > et nous aurons R = A"^ . nous prendrons y/K = k\ on peut

écrire

en disposant du signe de M 011. On a finalement

que Ton doit regarder comme donnant la définition de la pseudodistance; on en conclut JV1,M -f- MM^,= M,M„. Quand on change l'ordre des deux points, la pseudo-distance change de signe; quand on change le sens de l'un des deux points, la pseudo-distance augmente de t:.

79. Paramètre d'un rayon, etc. — Soit un ravon dirigé; pour deux points M et OXL de ce rayon, on a facilement

Y(M.m.)--v(,m.M) ^^.,1,^» ^...^-eose,

et nous dirons que 9 est le paramètre du rajon dirigé; on a

cosÔ = — — cos6i2 -+-...,

en appelant 812 le paramètre du rajon A|A2. Un rayon dirigé est défini par deux points dirigés M et 011, avec le signe du a-; 6 est alors déterminé au signe près; on change le signe du o- eu remplaçant 9 par 9 -f- TT, et ce fait se comprendra dans un instant : il en résulte que, quand on parle d'un ravon dirigé, il s'agit du choix à faire entre 9 et 7: + 9.

On obtiendra de même le paramètre B d'un axe dirigé.