Fonctions y et l\ — On a

' sinB

Si deux points M et N sont conjugués sur le rayon, on a y(MN) = o, MlN = 9 ou 9 + 71, selon le sens dans lequel le point N est dirigé, et nous supposerons dans ce qui suit MM ::^9; on peut dire alors que le paramètre 9 d'un rayon est la pseudo-distance d'un point M à son conjugué N sur le rayon considéré, et l'on a a-(MN) = I . On a encore

!j(4:m) == Y(M;)rc) = Œ(;)rL N)

avec J^Tc == M\ rr= ^. Si Ton écrit

avec L'M = MN == 6, on voit que Ja différence entre les deux y tient à ce que U et N sont distincts.

Sur un rayon, il y a homographie entre deux points M et N dont le second est conjugué du premier : les points doubles sont

les points û etû'; et en effet, la pseudo-distance MN est constante, le rapport anharnionique (ÛQ'MN) est constant, et cela correspond bien à une homographie dont les points doubles sont Û et Q'.

83. Rayons conjugués d^eux-mômes. — Un rayon est conjugué de lui-même s'il est associé à l'axe transformé, et par suite à l'axe primitif: les deux points d'association sont les points ùù' où le rayon rencontre l'équationnelle double S, attendu que ces points sont conjugués d'eux-mêmes. Un axe est conjugué de lui-même, etc. Si l'on considère un rayon conjugué de lui-même et l'axe transformé qui est aussi conjugué de lui-même, le point d'association Q est sur l'équationnelle S, le trope d'association a> est tangent à l'équationnelle s.

Un rayon conjugué de lui-même a un paramètre 6 dont le sinus et le cosinus sont infinis, ce qui revient à ceci : tango = ±: /. En effet, si l'on prend un point M sur le rayon, le trope transformé qui doit contenir l'axe transformé passe par l'un des points ûû', le conjugué N de M sur le rayon est l'un des points ÛQ', et la quantité sinMN ou sin8 est infinie. Il en résulte que, sur un pareil rayon, le <t de deux points est nul, comme valeur d'une fraction dont le dénominateur est infini, pourvu qu'aucun des deux points ne soit Q ou Q'; c'est un cas particulier d'un fait général relatif à la fonction ponctuelle dey? points dans un élément M^ conjugué de lui-même.

Le y de deux points M et Oïl sur un rajon conjugué de lui-même

a pour valeur

ros(M;)rL) — cotesin(Mè)rL), c'est-à-dire

cos(]M0rL)-4-isiii(M0rL) ou /h,

en supposant tango = «*; on a de même

Y(OrcM)= —

P si: U DO-DISTANCE, ETC. 47

Dans le cas particulier où l'on considère sur un rayon conjugué de lui-même deux poinls M et N dont Tun, M, appartient à l'équationnelle double S, le o* est indéterminé. (On verra plus loin que les deux points M et N sont conjugués : en particulier, si l'on se donne M, le rayon est dans le trope transformé ou dans le trope primitif de M; on peut dire que le o- de deux, points conjugués, lequel est généralement égal à i, est indéterminé quand l'un des points est sur S.)

Nous devons ajouter ici que la pseudo-distance de deux points confondus en un point de S est indéterminée; il en est de même du 0-.

84. Les rayons conjugués d'eux-mêmes donnent une définition géométrique du trope transformé et du trope primitif d'un point M. En effet, si l'on considère un rayon conjugué de lui-même issu du point M, et qui perce l'équatiounelle double S aux deux points Ù et û', l'axe transformé du rayon le rencontre par exemple en ù : comme le point M est sur le rayon, le trope transformé n doit passer par l'axe et en particulier par le point Û; il en résulte que les rayons conjugués d'eux-mêmes issus du point M rencontrent l'équatiounelle double S en des points situés dans deux tropes qui sont le primitif et le transformé du point M. Cette définition suppose seulement que l'on connaît le complexe des rayons conjugués d'eux-mêmes. En Géométrie plane, dans l'espace réel, les rayons ne sont autre chose que les tropes qui sont d'ailleurs des lignes droites; on a deux coniques doubles S et 5, doublement tangentes et formant ce qu'on peut appeler un duplex (faire la figure pour des contacts imaginaires) : étant donné un point M, on mène de ce point les deux tangentes à la conique s, elles coupent la conique S en quatre points 00' ÛQ', et si Où sont les points transformés des tangentes, la droite 00 est la droite n transformée du point M tandis que la droite O'Q' est la droite primitive /.

De même, si l'on considère dans un trope les axes conjugués d'eux-mêmes, par chacun de ces axes on peut mener à l'équatiounelle s deux tropes tangents w et w' : si l'on appelle to le trope d'association de l'axe et du rayon primitif, l'enveloppe des tropes 10 est le point primitif du trope donné.

Si l'on considère un point M et le trope transformé n, les rayons

conjugués d'eux-méincs issus de M avec leurs points Ù dans le trope n, elles axes conjugués d'eux-mêmes dans le irope n avec leurs Iropes w passant par M, les points Ù sont les points d'association des rayons et des axes, les tropes w sont leurs tropes d'association. Par exemple, dans l'espace réel, on a un point M et lin plan n : les rayons conjugués d'eux-mêmes issus de M forment un cône du second degré, dont la trace sur le plan n est une conique Q lieu des points conjugués d'eux-mêmes dans le plan n; les axes conjugués d'eux-mêmes dans le plan n forment une conique, et le cône o) de sommet M qui a c.ette conique pour base est l'enveloppe des plans tangents conjugués d'eux-mêmes issus de M ; les deux coniques dans le plan n forment un duplex ; à chaque rayon issu de M et faisant partie du cône des rayons conjugués d'eux-mêmes, correspond dans le plan n un axe transformé qui lui est associé : 1/î point d'association est sur la conique û, le plan d'association est tangent au cône o).

Lorsque le point M est sur l'équationnelle double S, les rayons conjugués d'eux-mêmes issas de ce point sont ceux des deux tropes qui sont le transformé et le primitif du point M, et qui passent en M ; on peut le voir directement : en effet, un rayon conjugué de lui-même issu de M est associé à l'axe primitif, le point d'association étant M, ou à l'axe transformé, le point d'association étant M; dans le premier cas, le point M étant sur l'axe primitif du rayon, le trope transformé n passe par le rayon ; dans le second cas, etc.

80. Les faits précédents peuvent être généralisés. On vient de voir que, si l'on considère un point M et son trope transformé, les rayons conjugués d'eux-mêmes issus de M donnent, par intersection avec le trope transformé, des points conjugués d'eux-mêmes. Si l'on considère un point M et son trope transformé, les éléments Mp,i conjugués d'eux-mêmes qui sont issus du point donnent, par intersection avec le trope transformé, des éléments Mj"^* conjugués d'eux-mêmes. Lorsque le point M est en Q sur l'équationnelle double S, on remarque que tout élément M|»^, mené par Q dans le trope transformé, ou dans le trope primitif, est conjugué de lui-même; mais on n'a pas là tous les éléments Mp^i conjugués d'eux-mêmes et passant par Q. De même, etc. Plus généralement,

on pourrait considérer un élément Ma et son transformé M*^ : les éléments M^+p conjugués d'eux-mêmes et passant par Ma donnent, par intersection avec M", des éléments Mp"^^ conjugués d'eux-mêmes ; la figure relative au cas de la Géométrie plane dans l'espace réel donne un schéma qui peut aider à l'intelligence de ces faits.

On a employé ici les notations du Chapitre VIII.

86. Étant donné un point M, le lieu des points N qui donnent Y(MN) = o ou y(NM) =^ o se compose du trope transformé et du trope primitif de M ; or, on a vu que, parmi ces points, se trouvent les points où les rayons conjugués d'eux-mêmes issus de M rencontrent Téquationnelle S : l'accord de ces deux faits résulte de ce que les rayons conjugués d'eux-mêmes issus de M vont passer par les points où l'équationnelle S est coupée par le trope transformé et par le trope primitif du point M.

Étant donné un point M, on peut considérer le lieu des points DTU tels que l'on ait o"(MDli) = o : ce lieu est l'ensemble des rayons conjugués d'eux-mêmes issus de M, o- étant nul parce que le sinus du paramètre est infini ; ce doit donc être Téquationnelle conique du second degré, passant par les points communs à l'équationnelle double S et aux deux Iropes qui sont le primitif et le transformé du point M. Et, en effet, on a pour les points du lieu I — Y(M0Ji)y(01iM) = o, d'où l'équation du lieu

9(X, X) cp(S, S) - 'f (X, S) cp(S, X) :- o,