Rayons à paramètre -• — Les rajons dont le paramètre est

égal à - forment un complexe du premier degré dont on a l'équation en faisant cosO == o dans la formule du n" 79. Sur un pareil rayon, on a

par suite

c'est-à-dire que les points U et N sont un même point dirigé des

deux façons : le trope primitif et le trope transformé d'un point

5o CHAPITRE V.

du raj'on coupent le ravon au même point ; on a alors

et cela résulte de ce qu'on a avec

V Oit -h OlL N = T..

Observons d'ailleurs que l'hypothèse

équivaut à l'hypothèse

H(MNi2L2') = — I :

les points Al et N sont alors conjugués harmoniques par rapport aux points Qù'. De chaque point M de l'hyperespace parlent des

rayons à paramètre--» lesquels vérifient une condition : ce sont

les rayons associés à l'axe qui est l'intersection du trope primitif et du trope transformé du point M ; ils sont dans un même trope, parce que le complexe est du premier degré. De même, etc. Dans le cas d'une corrélation plane, dans Tespace réel, les

rayons* n paramètre - passent par un point fixe F dont les coordonnées homogènes ûc sont les quantités cosO^s, cosOai, cos8|2 : ce point est le pôle de la corde de contact des deux coniques du duplex ; en efïet, la droite primitive et la droite transformée d'un point M coupent le rayon FM en un même point N, et le rapport anharmonique des deux points M et N et des deux points où le rayon MN rencontre la conique S est égal à — i , ce qui donne

bien - pour la pseudo-distance MN. D'après la formule du n° 79,

le cosinus du paramètre d'un rayon est proportionnel au A du point F et du rayon ; le facteur qui multiplie A est le facteur normalisant des coordonnées du point F : on verra (n°* 89, 90) que ce facteur est le cosinus du paramètre du plan. De même, les axes

ou points à paramètre - sont sur une droite fixe cp, qui est la corde

de contact des deux coniques du duplex, et le cosinus du para-

PSEUDO-DISTANCE, ETC. 5l

mèlre d'un point est proportionnel au A de ce point et de la droite co.

Nous ajouterons la remarque suivante : La formule du n" 79, écrite en coordonnées homogènes, montre que cosO est indéterminé pour les rayons R qui font partie à la fois du complexe des rajons conjugués d'eux-mêmes et du complexe des rayons à para-

mètre -• Si l'on considère les rayons pour lesquels a une valeur

donnée, le complexe de ces rayons contient les rayons R; cela a lieu en particulier dans Tliypothèse 6 = 0, c'est-à-dire lorsque le rayon est tangent à l'équationnelle S ; il en résulte que les rayons R sont des rayons tangents à l'équationnelle S.

88. Équationnelles remarquables du second deg^é. — Je signalerai ici le lieu des points dont le o- avec un point fixe a une valeur constante. Le point fixe étant désigné par M et le point mobile par OR, on doit avoir c- = k- ou

Y(MOR).Y(OrLM) = (i — X:»)y(MM).y(OROR);

le lieu est une équationnelle du second degré passant par les points comnïuns à l'équationnelle double S et aux deux Iropes primitif et transformé du point M : cela tient à ce que le o* de deux points conjugués dont l'un est sur S est indéterminé. Pour A* = o, on a l'équationnelle conique signalée au n" 86. On aurait à considérer également l'enveloppe des tropes dont le S avec un trope fixe a une valeur constante.

Le lieu des points dont le A avec un trope fixe a une valeur constante est une équationnelle du second degré circonscrite à S, le trope de contact étant le trope donné ; le lieu des points dont le y avec un point fixe a une valeur constante est une équationnelle du second degré circonscrite à S, le trope de contact étant le primitif ou le transformé du point fixe. L'enveloppe des tropes dont le A avec un point fixe a une valeur constante est une équationnelle du second degré circonscrite à s ; etc.