M ET D\L QUELCONQUES

M ou Ole SUR S.

Rayon quelconque.

Rayon tangent à S.

Pour le dernier cas on peut dire que le cr de deux points conjugués, lequel est généralement égal à i, est indéterminé quand un des deux points est sur S.

§ II

89. Développement remarquable de 55. — Considérons le déterminant si du n** 4, c'est-à-dire le déterminant des y fournis par les points de référence. D'après le n" 80 on a Yi2=cosi2 — Âr,2 et Y2* = cos 12 4- A*! 2 en posant /c^2= '^\2 cosO<2; dans le déterminant transformé avec cette écriture, les éléments sont les sommes des éléments correspondants d'un déterminant symétrique et d'un déterminant gauche : comme il ne change pas quand on change simultanément les signes de tous les A*, son développement ne contient que des termes où le nombre des k est pair (voir Salmon, Algèbre supérieure, n° 40). Pour effectuer ce développement, nous désignerons par k\2' - -^P le Pfaffîen A*i 2^*34 . . . ^2^0-4, 2/? H" •• • qui est la racine carrée du déterminant gauche d'ordre 2/?

le nombre des termes du Pfaffien est I.3.5...2/? — i. On a par exemple

Cela posé, on considère le déterminant A d'ordre n formé avec les cosinus, et les formes compagnes relatives à ce déterminant,

en notant les variables comme au n*' 73 : />/= ^I^'J'^tZS) le nombre des indices /étant/?; et Ton a

si n est |)air, le dernier terme est un carré.

Pour n = 3 (Géométrie plane) on a facilement

cosOi3 cosOja

/il

COS023 COs6i3 '1 — — — r^r— COS 1 2

Al

or, les quantités cosÔos... sont alors les coordonnées homogènes^ du pôle F de la corde de contact des deux coniques du duplex; il en résulte que le facteur normalisant de ces coordonnées est

90. Paramètres d'un élément M^, — J'indique ici une idée qui s'est présentée à moi quand ce travail était près d'être terminé, et dont je n'ai pu profiter pour l'ensemble de l'Ouvrage.

Le paramètre d'un rajon M^ peut être défini par la relation

sin^ô =

COS M Oit