COS OR M

Y(OrLM) I

On peut se demander si, dans un élément fixe M^ où l'on prend/? points quelconques, le déterminant qui a pour éléments les cosinus des pseudo-distances des points deux à deux, et le déterminant qui a pour éléments les y des points pris deux à deux, sont dans un rapport constant.

Pour n points on a (par un calcul qui ne diffère pas de celui

5(i CHAPITRE V.

du n" 29) à l'aide des formules du n" 215

Yl \î

j Y(AiAi) YlAïAa) X YcAsA,) yCAoAo)

Or, les formules du n^' 20reslenl exactes en remplaçant les y j)ar des cosinus; il en résulte que, dans la relation précédente, on peut également remplacer les y par des cosinus; on en déduit

[ms^M^Nf,)]

lY(M,>i,)J

= consl.

sin^o).

en appelant o) une constante qui sera le paramétre ponctuel de M".

On aurait un paramètre tangentiel 1) pour MJ|.

[Au n" 87, pour une corrélation plane (/i = 3), on a obtenu

pour le paramètre d'un rayon une relation qui peut s'écrire

cosB = A(FR) X cos(d;

je suis d'ailleurs arrivé à Tidée que j'indique ici, en observant

que la quantité — du n° 89, relative au triangle de référence, doit

être la même quel que soit ce triangle.]

Pour/? points M, M ^, . . . , dans un M^ donné, nous emploierons une méthode qui pourrait être utilisée systématiquement pour l'étude d'un élément MJ. En considérant les points comme les points résultants de p points A, B, C, ... de l'élément, affectés de coefficients a'b'c' . . . , a"//c". . . , etc., on aura

[Y(M,M,)] = [a'px[Y(AA)],

et une formule analogue avec des cosinus. On en conclut

[cos(M,M,)] tï(M,M,)J

const = sin*cp,

en appelant co une constante qui sera le paramètre ponctuel de l'élément MJ. Cet élément aurait aussi un paramètre tangentiel^y en considérant q tropes de l'élément.

psKi [)o-distan(:e, etc. 5;

L'élément iMy a un paramètre tangentiel 12, l'lj)'|»erespace M,^ a un paramètre ponctuel lo. Un point a un paramètre tangentiel, un trope a un paramètre ponctuel. Le paramètre ponctuel d'un rayon a été désigné par 6; le paramètre tangentiel d'un axe a été désigné par 0.

I 1 on écrit

[cos(M^)]

sin'^cp

on voit que la fonction ponctuelle de p points dans un élément M^, relativement à la corrélation étudiée, est égale (n° 78) à la fonction ponctuelle relative à une correspondance par polaires réciproques dont l'équationnelle double serait S, divisée par le sinus du paramètre ponctuel de l'élément MjJ. De même, etc.

On trouverait sans doute pour coscp une formule analogue à celle du n^ 79 pour cosO.

[J'ajouterai ceci, en considérant une corrélation générale dans l'espace réel. Soit un tétraèdre ABCD; appelons a le point dont le plan transformé est BCD, ^ le point du plan BGD dont le plan transformé passe par CD, y le point du rajon CD dont le plan transformé passe en D; appelons a' le point dont le plan polaire par rapport à S (quadrique des points doubles de la corrélation) est BCD, j3' le point du plan BCD dont le plan polaire par rapport à S passe par CD; les droites Aa et Aa' percent le plan BCD en I et F, les droites B^ et Bj3' rencontrent CD en J et J'; la droite aa' coupe le plan BCD en I", la droite j3[î' coupe CD en J". On a (n"109)

(t(A, B, C, D) = (i(G, D) X (B, CD) x (A, BGD),

ou bien (n*' 97, etc.)

/A I) n nv ,n rxN /D îN /* Fx sinCD sinBJ sinAl

ct(A, B,G, D) = cr(C, D)x«t(B,J)x(t(A,I) = -^-r:^ X T-=T ^ -~r='

sin^D sinpJ sinal

Or, dans la correspondance par polaires réciproques dont S est la quadrique double, on a (n" 128, etc.) pour le dernier rapport

sinAf sin AI sin( Af,BGD) sinAF sinal sinal sin(al, BGD) ^inal"

parce que AF et al" passent en a'; et une relation analogue pour

58 CHAPITRE V. — PSEL'DO-DISÎAXCE, ETC.

le second rapport; on en conclut

/A T^ i-. r^v sin(iD sin BJ' sin AI' a(A, B, G, D)= ^^ — -:

sinYDsinpJ\sinar

comme le numéraleur du second membre est la fonction ponctuelle s du tétraèdre relative à la correspondance par polaires réci proqiies dont S est la quadrique double, on a

sincp = sinyD sin jiJ" sinal"

ou bien, puisque y et D sont conjugués, ainsi que ^ et J'', a el F,

sin^ = sinô' sinO' sinô,

en désignant par 6'' le paramètre du rayon CD, par 0' le paramètre du rayon j3Jî', par 8 le paramètre du rayon ax'. On peut présenter

, , , œUBGD) ,

le calcul en prenant — , ..^.^ : on a alors

jrAi) I

sinAT^sinO' et ainsi de suite.

Si le tétraèdre ABCD est aj^yD, dans lequel a dépend de 3 paramètres, j3 dépend de deux paramètres, et y dépend d'un paramètre, on a d'abord

ff-' =

Y(Da) 7(0?)

Y(Dï)

d'où il résulte immédiatement que sincp est la fonction ponctuelle du tétraèdre ajâyD relative à la quadrique S; on retrouve ainsi la formule donnée plus haut.

Celte formule montre que le rapport étudié ici restera le même si l'on change le point A; on en conclut qu'il est le même pour deux tétraèdres quelconques.

On aurait pu adopter pour cette démonstration la méthode de proche en proche, en passant du paramètre ponctuel d'un rayon au paramètre ponctuel d'un plan, et de celui-ci au paramètre ponctuel de l'espace.]