PRELIMINAIRES

cela me donnait les premières formules du n° 82, qui définissehl

y(M, DÏL) ety(^, M)(<).

Dans rhjperespace M^^ un point dépend den — i paramètres. Les éléments analogues au point, à la droite, et au plan dans l'espace réel M4, sont en nombre n — i ; nous appellerons trope (TpeTuo), je tourne) l'élément qui remplace le plan; l'élément qui suit le point et celui qui précède le trope seront le rayon et l'axe; les éléments seront désignés comme il suit, avec p -^ q =,71 :

1 > ^"2 > • • • î "^pj • • • î ^'*</ j • * • 3 ^"«—2 7 "^n—\ 1

tous ces éléments seront dirigés (voir n® 79 pour un rayon dirigé).

Nos calculs forment une étude des propriétés métriques de la corrélation générale dans l'hyperespace, en prenant comme point de départ (coordonnées d'un point ou d'un trope) le A d'un point et d'un trope; on verra (n^'OT) que cette quantité est le o- de deux points ou le S de deux tropes, et il est essentiel de remarquer que c'est une quantité relative à la corrélation que l'on étudie (n® 80) {voir le n° 171).

Pour deux éléments associables MJ, MJ on aura à considérer une quantité appelée moment et qui est un produit de A (n° 107) ; le moment d'un point et d'un trope est leur A; nous désignerons un moment par la notation (M^, M^), un A sera (M, m). Quand on change Tordre des deux éléments, le moment est multiplié par (—!)/'«'; on a en particulier (m,M) = ( — i)'*"* (M, m).

Je me suis attaché à considérer toutes les quantités avec des signes. Il y a là une question délicate, et des erreurs ont pu se glisser dans ce travail, d'autant plus que j'ai dû modifier mes premières idées à ce sujet. L'accord des formules entre elles me fait cependant croire qu'il n'y a aucune erreur grave à ce sujet.

(*) Voir au n° 90 une idée que j'ai eue trop tard pour en tirer tout le parti possible.

POLYTROPE DE RÉFÉRENCE.

Nous considérerons des indices en nombre n, qui ne seront pas nécessairement i, 2, ..., n\ nous les supposerons seulement rangés dans Tordre naturel. Nous désignerons par L une suite de/? indices / pris parmi les indices ci-dessus; les q indices complémentaires t seront désignés par T. Quand on écrira ( — i)^'^, la notation L, T indiquera le nombre des dérangements entre des indices / et des indices ^dans la suite LT; on aL, T + T, L =• pq. Les lettres ^, S se liront : grand \y grand t.

1. Déterminants inverses. — Soit un déterminant rf, d'ordre /i, différent de o, dont l'élément général est c/x, et que nous représenterons par [c]. Le produit de deux mineurs complémentaires, d'indices L^;^ et TCs, entre dans la valeur de d avec le signe de combinaison ( — i)^''^"^'C'^ ou ( — i)''''^'^^'"C

Le déterminant inverse de d sera un déterminant A ayant pour éléments F^ les premiers mineurs de rf, affectés du signe de combinaison et divisés par rf; on a d^ = i, et les deux déterminants sont réciproques; un mineur d'ordre quelconque de A est le quotient par d du mineur complémentaire dans d affecté du signe de combinaison, et inversement.

Si l'on multiplie par k les éléments d'une ligne de rf, les éléments de la ligne correspondante de A sont divisés par k.

On a simultanément les relations

les rangées des F étant les colonnes de A.

2. Polytrope de référence. — Soient n lettres A/ représentant les points ou sommets de référence, et n lettres a^ représentant les

POLYTROPE DE REFERENCE.

tropes OU faces de référence. Le irope a^ passe par les points de référence autres que A/, en sorte que le point A/ est dans les tropes autres que a^\ chaque point est opposé à un trope.

La notation A12 représente le rayon P^\h.<i^ et le nombre des

rayons est -\a^'^ représente l'axe a^a^\ chaque rayon est

opposé à un axe. La notation Al ou a} ou Aï représente un élément A^, enveloppe des tropes passant par les p points L, lieu des points communs aux q tropes T; les indices sont rangés dans l'ordre naturel. L'élément A^ opposé est Ax. Ces éléments forment le polytrope de référence P.

Dans ce qui va suivre, on se donnera arbitrairement les signes des quantités o-; les signes des S seront alors déterminés. Un or ou un 2] à un seul indice sera l'unité positive.

3. Premiers éléments métriques. — Soient n {n — i) quantités arbitraires Y^ 2) • • •? qui seront y (A|, A2), • . • ; ^^2 et ^21 sont différents; on a Yn = I, .... hdi fonction ponctuelle du système des n points de référence est une quantité o"^...;^ ou ^o, dont le carré est le déterminant des y, supposé différent de o, et dont le signe est arbitraire. Le signe de s^,,,n change quand on échange deux indices; une convention analogue s'applique aux o* et aux S que l'on rencontrera. La fonction ponctuelle des n — i points K^^^Kn est une quantité a'2...rt ou 5^, dont le carré est le déterminant des Y de ces points pris deux à deux, et dont le signe est arbitraire; on aura des quantités analogues 0*4 3... ou 52, les indices étant dans l'ordre naturel.

Si l'on considère les n — i paints A du trope a' et les n — i points A du trope a^, nous définirons le F de ces tropes pris dans cet ordre, en disant que le déterminant des y fournis par la combinaison des premiers points, avec les seconds a pour valeur 5i52r*2; on a r**=i. Le signe du F est indépendant de l'ordre des indices, pourvu que l'ordre des indices dans le déterminant soit le même que dans les o-,

4. Les y et les F sont réciproques. 1^2. fonction tangentielle du système des n tropes de référence est une quantité ^\^..n ou So dont le carré est le déterminant des F, et dont le signe sera fixé.

On définit de même S<, .... En considérant les deux déterminants inverses, dont l'un est le déterminant des y, et l'autre a

pour éléments ( — i) /t + X.5 f^pA^ ^^^ ^

en disposant des signes relatifs des S. On a alors deux déterminants inverses dont l'un est le déterminant des F, et on en conclut une formule corrélative de celle qui définit les F.