CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS, ETC

des éléments donnés par rapport au primitif ou au transformé de l'autre. Je ne ferai que signaler cette étude.

J'ajouterai seulement ceci : pour deux éléments formant un système de seconde espèce, </ + x ^ /?, dans la suite LJMJMJNJ le premier élément peut être inscrit au second, auquel cas le quatrième élément est inscrit au troisième; nous dirons alors que M^ etMJ sont pleinement conjugués Ae seconde espèce; le F de deux tropes w et [JL appartenant aux deux éléments est nul. De même, etc.

On considère, dans ce Chapitre, deux éléments quelconques M^MJ; deux points seront M et Ù\L, deux tropes seront m et [jl, un point et un trope seront M et [x.

97. Le A d'un point et d'un trope. — Soient un point M et un trope [Jl dirigés :

I® Considérons la suite /[xM>)b dans laquelle / et <D^ sont dirigés, et où [X est avant M : le ra^'on MX ou R rencontre le trope [jl en un point ;)1L que nous dirigerons à volonté, et l'on a, comme au n** 76, trois points OlLMOb dont les deux extrêmes sont conjugués; si l'on dirige R d'après D\L de façon qu'on ait (T(D\L3f(o) = i

ou (;)rL.3b) = 6, le point M affecté du coefficient i est le résultant des points o% et Olu, affectés des coefficients (T(è)llLM) et o-(M .)!;>) ; en prenant les A par rapport au trope [x, on a

A({jlM) = œ(0]LM) avec (t(01L'^) = i; la condition est facile à retenir en se rappelant qu'on doit avoir

A(lJL3b) = I.

D'autre part, l'axe /u ou A détermine avec M un trope m que nous dirigerons à volonté; on a les trois tropes l^krn, et si l'on dirige l'axe A d'après mde façon qu'on ait S(/m) = i ou (Im) = 0,

on obtient

A({jlM) = 2(fJLm) avec 2:(/m) = r.

2" En considérant la suite 4lMjjt./i où M est avant [x, le rayon .(^M ou R* rencontre u. en un point OIl*, l'axe [jlai ou A* détermine avec

64 CHAPITRE vu.

M un trope m*, et Ton a

A(MfjL)^ff(M;)rL*) avec (T(4^;)rL*) = i, A(M[ji) = 2(/n*fJL) avec 2(m*/i) = i.

.Quand M est sur 41.^'»» le point .Tl* est le point OK, et nous le dirigerons de la même façon. Si n — i est pair, on doit avoir ff(OlLM) = <T*(Mon), R* est donc R dirigé en sens inverse; en même temps, si la corrélation est une correspondance par polaires réciproques, ^et 3fL sont un môme point dirigé de la même façon, et Ton Si <j* (Ji^Dïl) = (j(DXLDZ). Si n — i est impair, R* est identique à R; en même temps, pour une correspondance par polaires réciproques, 4^ et X sont un même point dirigé de deux façons diflerentes, etc.

Il est bon de remarquer qu'on a l-{mD]'i)= A-(ulM); en efl'et, les trois Iropes likni passant par un même axe, leurs points transformés M5l»N sont sur un même rajon R, etc. Si Ton voulait donner le signe, il faudrait donner le sens de m et de .Tl ; on pourrait, par exemple, diriger 0\L d'après m de façon que le rayon dirigé R fût le transformé de Taxe A.

98. Inversement, en laissant ici les signes de côlé^ on peut considérer la fonction ponctuelle de deux points (j(MOll) comme le A de l'un des points et du trope qui passe par l'autre et par l'axe primitif du ravon Mt)ïl (ou par l'axe transformé); de même, on peut considérer la fonction tangentielle de deux tropes comme un A. On peut remarquer que le <t de deux points M et «)rL est égal au ^ des deux tropes m et [x qui passent par ces points et par l'axe primitif du rayon MOlc; ce fait est facile à comprendre : en effet, si nous menons par l'axe les deux tropes wo/ tangents à l'équationnelle double 5, leurs points transformés sont les points ÛÛ' où le rayon perce réqualionnelle S, et ces points sont ceux où les deux tropes ww' rencontrent le rayon; on comprend alors que le rapport anharmonique des quatre tropes m [jloxo' passant par l'axe doit être égal à celui des quatre points MOIcUQ' où ces tropes coupent le rajon, c'est-à-dire que le pseudo- angle des tropes m et ix doit être égal à la pseudo-distance des points M etOrt; le paramètre de Taxe ou le pseudo-angle (//») est alors égal au paramètre du rayon qui est la pseudo-distance des deux

points du rayon entre / et m; et, finalement, le S des deux tropes m et [JL est égal au o- des deux points M et DXL,

Observons encore que le o* de deux points peut être considéré à deux points de vue différents: on peut le considérer comme un A, et, à ce point de vue, les deux points sont comparables aux deux éléments MJ[MJ que nous étudierons dans ce Chapitre; on peut aussi le considérer comme une fonction ponctuelle, et alors les deux points sont un cas particulier d'un système de p points.

On comprend bien comment le y de deux points est un A (par définition même); on a, par exemple (n*^* 76 et 97, 2"),

Y(MOrt) = (J(DILN) = \{D\Ln) avec j(MN) = 1.

99. Extension de l'idée de perpendiculaire commune. — On fera d'abord la figure schématique suivante, où les éléments M^ sont représentés par des droites : sur la droite de la figure et eu haut une droite Ma, sur la gauche en bas une droite M^, celle-ci en trait gras parce qu'elle représente un axe; une droite M^ el une droite MJ (celle-ci au-dessous) rencontrent M2 en M et OFc, et déterminent avec M^ deux plans m et a que l'on indique par un arc comme on indique un angle; au-dessus de M| vers la droite deux droites NJ N^ rencontrent M2 en X et N, et au-dessous de MJ vers la gauche deux droites LJ et LJ déterminent avec M^ deux plans /etX; enfin, à gauche de MJ, une droite M^ en pointillé rencontre M^MJJL^L; en M*DÏL*L*J^, et à droite de Ma une droite M^ en pointillé gras détermine avec MJM^NJN^ des plans ijL^/7î^v^/i^. Les plans représentent des tropes. L'axe M* est le primitif du rayon Ma; l'autre axe est le transformé du rayon correspondant.

100. Considérons deux éléments quelconques M^ MJ avec l'hypothèse permise /> <[ t:, x <! y : les points et les tropes du premier seront désignés par M et m, les points et les tropes du second par DTi> et [jl. Soient N^ l'élément transformé de MJJ et NJ l'élément transformé de MJ; les points de ces deux éléments seront désignés respectivement par N et X, le point N étant transformé du trope m, etc. Il est facile de voir qu'un rayon Ma, assujetti, à avoir un point commun avec chacun des quatre éléments considérés ici, est déterminé. Nous désignerons par M;)rLN2>b les

points en lesquels un de ces rayons rencontre les quatre éléments. Au lieu des éléments transformés N^JVJ, on peut d'ailleurs considérer les 'éléments primitifs L^, LJ; un rayon M* peut rencontrer les deux éléments donnés et leurs éléments primitifs en des points que nous appellerons M*0Tt*L*4^.

De même un axe M^, assujetti à avoir un trope commun avec chacun des quatre éléments M^ MJL^LJ, est déterminé; et d'ailleurs, à chacun des rayons M2 obtenus précédemment correspond un axe M* qui est Taxe primitif du rayon ; nous désignerons par m|x/X les tropes communs à un de ces axes et à chacun des éléments considérés, en observant que ces tropes sont les tropes primitifs des points N-3T])MDÎL considérés ci-dessus. Au lieu des éléments primitifs LJL^, on peut d'ailleurs considérer les éléments transformés; un axe MJ peut avoir un trope commun avec chacun des éléments donnés ou transformés, et nous désignerons ces tropes par m*(Ji*/i*v*.

101. Le nombre des rayons Ma ou des axes M^ est le plus petit des quatre indices /?, q^ 7t, x, c'est-à-dire p ou x, d'après l'hypothèse faite au début. Ce fait résultera du degré de Téquation aux Aprincipaux; on pourrait s'en rendre compte à l'aide de considérations analogues aux considérations d'homographie qui démontrent dans l'espace réel l'existence de deux droites rencontrant quatre droites; l'idée essentielle est que, par un point, on peut mener' un seul rayon rencontrant deux éléments associables, et le cas le plus simple est celui de deux éléments de même es- ][>èce ou de deux éléments associables. On verra comment le degré de l'équation aux A^ principaux est en harmonie avec le nombre des positions relatives que peuvent occuper les deux éléments.

Nous ferons observer que, à chaque rayon M2 doit correspondre un axe M^ de telle façon que l'on ait o-(M01l/) = S(/n*|jL*); ou encore, à chaque rayon M2 doit correspondre un rayon M*; je n'ai pas élucidé cette question.

102. Équation aux A^ principaux. — Etant donnés les deux éléments MJ[ M J, considérons les rayons M2 qui rencontrent ces deux éléments et leurs transformés, et les axes primitifs M- qui ont un trope commun avec ces deux éléments et leurs primitifs,

et conservons les notations précédentes : nous désignerons sous le nom de ^principaux les A des points M et des tropes ^ correspondants; ce sont aussi, en laissant les signes de côté, les A des points OTL et des tropes m ; ce sont enlGn les cr des couples de points M et OFl, et les S des couples de tropes m et u,. Le nombre de ces A principaux est le plus petit des quatre indices/?, q^ u, y., c'est-à-dire le plus petit des deux indices p et x; nous allons chercher l'équation au carré des A principaux.

Définissons le premier élément par des points M, M,, . . . M ^ jp) , et le second par des tropes ui' [jl" . . . ; soient M un point du premier élément, [jl un trope du second : le point Mafi*ecté du coefficient i peut être regardé comme le point résultant des points M, M^, . . . affectés des coefficients A*, A*,, ... ; le trope jjl, affecté du coefficient I, peut être regardé comme le trope résultant des tropes ul' [j.'' . . . affectés des coefficients, A*' k" . * . . Pour obtenir un rajon M2, nous prendrons les points M et D^ sur MJ Nj, et nous écrirons Texistence des points de rencontre OÎLetN; pour cela nous écrirons directement l'existence du point Ort, et nous écrirons coinme il suit l'existence du point N : considérant l'axe M^ primitif du rayon Mo et les tropes / et [x primitifs des points M et <Di;), nous écrirons que l'axe / [x a, avec l'élément MJ, un trope commun m dont l'existence entraîne celle du point N.

1° Écrivons que le rayon M 5b rencontre MJ en un point OK. En considérant les trois points M OÏL/ 3^ on voit que le point Ol'U est le point résultant du point <D^ affecté du coefficient o"(Mort) ou — A (ut-M) en prenant o- (011/51^) = i et du point M affecté du coefficient i : si l'on écrit que ce point Olu est dans chacun des tropes [x' [jl" . . . on obtient des relations dont le type est

A(M{x') = A(MîJi)A(|JL'3fî;,) ou A(M{jl') = A(M{jl) r(îJi[jL'),

ou enfin

â-,A(M,{jl')h-A,A(M,|jl')-+-...= A(M[i)[A'-i-A"r({jtV)-+- .,.).

2® Écrivons de même que l'axe /jjl a un trope commun m avec l'élément M^. Si l'on considère les trois tropes //71jjl, on voit que le trope m est le trope résultant de jxet/ affectés des coefficients I etS(m[ji.) ou — A(|jiM) en prenant S(//w) = i ; en écrivant qu'il passe par les points M^M^, ... on obtient des relations dont le

C)H CIIAIMTRK VII.

type est

A(iJiM,) = A([jlM)A(/M,) ou A(M,îJi)= A(M|ji) y(1VI,M),

ou enfin

^'A(M,{JL')-i-rA(xM,îJi")-h ... =A(MHi)[Â',-+-Â-,Y(M,M,)-f- ...].

L'élimination des coefficients A' entre ces deux séries de

relations donne l'équation cherchée, en posant pour abréger

A = A(M[jl) :

r A.Y(M,M,) A(M,fx') ] ^

le premier membre est un déterminant d'ordre p -^ x ou n — o, dont les p premières rangées se rapportent aux. éléments M, ... occupant le premier rang, les x dernières rangées se rapportent aux éléments [jl' ... occupant le second rang, les p premières colonnes se rapportent à M, . . . , les x dernières colonnes se rapportent à ui' ....

L'équation écrite sous cette forme est du degré /?-{->t; mais elle a X — p on p — x racines nulles selon que le plus petit des quatre indices est/? ou x, en sorte qu'elle est du degré 2/7 ou du degré 2X. Dans le premier cas, si l'on divise les x dernières colonnes par A, et qu'on multiplie ensuite les/? premières rangées par A, ce qui supprime précisément les x — p racines nulles, l'équation prend la forme

L A(M,fx') r({xV') J

et c'est une équation en A^ du degré/?; le terme indépendant, obtenu en faisant A^ = o, n'est pas nul, parce que le nombre des colonnes restantes dans les p premières rangées est supérieur ou au moins égal au nombre des rangées. Dans le second cas, ou obtient une équation analogue du degré x, les A^ portant sur les quantités F; mais on peut aussi garder la forme ci-dessus, en observant seulement que l'équation a alors /? — x racines nulles et en convenant de décrire le premier membre par (A*)/*"*. On a ainsi l'équation aux carrés des A principaux, et l'on voit que son degré est le plus petit des quatre indices/?, q, it, x.

ÉQUATION AUX A2 PRINCIPAUX. Gq

103. On a supposé rélément MJ le plus rapproché de Mq défini par des poiats, l'élément MJ défini par des Iropes, et Ton a pris A(i\Iul) : c'est ce que l'on peut faire de mieux. Toutefois, on peut définir l'élément M^ par des points, l'élément M^ par des Iropes, et prendre A(01L/n); l'équation aux A principaux se présente alors sous une seconde forme, le premier membre étant un déterminant d'ordre tz -\- q ou n -\- ù : c'est une équation du degré TT-H 5^, ayant q — t: ou tt — q racines nulles, c'est-à-dire le même nombre de racines nulles que précédemment, et 1 équation aux carrés des A principaux se présente avec le degré t: ou gr; mais, en posant TT — P ^= Ç — x=:S, cette équation a S racines égales à i , et le nombre des A principaux véritables est /? ou x; c'est ce que nous allons montrer.

L'équation en question est (sans racines nulles pour7c<<^ ou

Si l'on remplace A^ par i — (i — A^), en considérant i — A*-^ comme l'inconnue, il faut montrer que cette inconnue a S valeurs nulles; or, pour former un terme en (i — A-)^~', i prenant les valeurs S, . . ., i, on prend (i — ^^)y(DJi DTu) dans S — /termes et le multiplicateur est un déterminant d'ordre n-\-i qui est un mineur du déterminant ci-dessus pour A = i : je dis que tous ces déterminants sont nuls; on va voir, en effet, que le déterminant ci-dessus, quand on y fait A = i, a tous ses mineurs d'ordre n-hi égaux à o. Les relations qui conduisent à l'équation aux A^ sous sa forme

actuelle sont -

Y(^ic,orL) A(;)rLm')

elles sont toutes vérifiées en supposant que le point DÏL est en même temps un point N transformé de m, et faisant A=:i ; or, les éléments MJ et MJ ont un élément Mg inscrit commun, et les points de cet élément qui dépendent de S — i paramètres sont des points ^ÏÏL et en même temps des points N : si l'on considère alors m comme le résultant des tropes m! m" ... , OÏL comme le résultant

des tropes DK/^OIl,,..., les relations ci-dessus dans lesquelles on fait A = I donnent t -f- y ou w -f- 5 équations homogènes par rapport aux coefficients A', lesquelles doivent se réduire à n; donc, le déterminant ci-dessus, quand on y fait A = i, a tous ses mineurs d'ordre n-{-i égaux à o.

104". On a pris les rayons qui rencontrent les deux éléments donnés et leurs transformés, les axes qui ont un trope commun avec les éléments et leurs primitifs; on peut prendre les rayons qui rencontrent les deux éléments donnés et leurs primitifs, etc.

105. Équation aux valeurs du produit y(M01L) y(011M)ou i—A». — On peut définir les deux éléments MJ MJ par des points M, M,, . . . Mp, DXLfDTif^ . . . DXi^; mais alors ou forme une équation aux valeurs du produit y( M OÏL) y (OÏL M) ou i — A^, M et OÏL étant les points d'appui sur les deux éléments donnés d'un rayon qui les rencontre ainsi que leurs transformés.

Les points M et OÏL étant pris sur les éléments donnés, écrivons que le rayon M OÏL rencontre les éléments transformés. Le point N considéré comme résultant de M et OÏL doit être conjugué des points M, M^, ...; de même le point X doit être conjugué des points OIL^ 01L„ ... ; on doit donc avoir, en considérant les deux systèmes de trois points MNOIL, OILXM, et les points M, et OÏL, par exemple

(T(N01L)Y(M,M)-h (j(MN)y(M,01L) = o, ci(Oi;,M) y( 01L',01L) -4- (r(01L0î;>) Y( 01L,M ) = o,

ou bien

Y(01LM) y(01L-,01L) = y(01L,M);

donc enfin, en considérant le point M affecté du coefficient i comme le point résultant des points M, M,, . . . affectés des coefficients kfkf^ . . ., et le point OÏL comme le point résultant des points OÏL, OÏL,, . . . affectés des coefficients K,R„ . . ., on a

Y(M01L)[A-,-h ^„Y(M,MJ -h . ..] = K,y(M,01L,) + K''Y(M,01L,)-h . . . Y(01LM)[K,-+-K/^(0TL,01LJ-h ...] = A:, y (OÏL, M,) H- k„^iDTL,U,) -^ . . .;

l'élimination des coefficients A* et des coefficients K entre les deux séries de relations ainsi obtenues donne la relation suivante, dans

laquelle on a posé pour abréger y = y(M3IL) et y' = y(3II/M) :

le premier membre est un déterminant d'ordre /? + tt.

Cette relation est du degré p en y, du degré iz en y', mais le premier membre est divisible par y'^; si l'on divise les tz dernières colonnes par y', et qu'on multiplie ensuite les/? premières rangées par y' (ce qui supprime le facteur y'^), en remplaçant yy' par j — A^, on obtient l'équation

cette équation donne les valeurs de la quantité i — A^ ; on peut encore la considérer comme étant, sous une nouvelle fornie, l'équation aux A^ principaux, et elle est du degré /?. Si l'on fait porter les i — A^ sur les termes y(DlLOllL), on a une équation du degré ir en i — A^ avec 8 racines nulles, ou du degré tu en A^ avec 8 racines égales à i . Remarquons encore que, dans le cas p -h'^<C n, l'ordre /? -Ht^ du déterminant étant inférieur à n, l'équation aux I — A^ n'a pas de racine étrangère égale à i, et l'équation aux A- n'a pas de racine nulle étrangère; mais, dans l'hypothèse /? -{-7u= 71 + o), auquel cas l'ordre p + iz du déterminant est supérieur à n, l'équation aux i — A^ renferme to racines parasites égales à I , et l'équation aux A^ a le même nombre de racines nulles étrangères.

Au lieu de définir les deux éléments par des points, on peut les définir par des tropes; on a alors un déterminant d'ordre x + ^r, et l'équation aux i — A^ se présente avec le degré x; si l'on a x-f- ^<; n, cette équation n'a pas de racine étrangère égale à i, ou encore l'équation aux A- n'a pas de racine nulle étrangère.

106. Racines nulles dans l'équation aux A^ principaux. — On a vu, au n® 92, que le nombre des positions relatives des deux éléments MJ MJ est le plus petit des quatre indices /?, q, u, x augmenté de I, c'est-à-dire le plus petit des deux indices /? et x augmenté de i; le degré de Téquation aux carrés des A principaux est lié à ce fait.

Supposons, par exemple, /?<[x, et prenons l'équation aux Asous la forme du n° 102, qui est la meilleure; nous pourrons l'écrire, en considérant comme inconnue — A^ en raison de faits ultérieurs,

Ao(— ^^)P-h. . .+ Ap(— A2)/^-P-f. Ap+i(— A2)p-(«'H-i)-h. . .-+- Ay, = o,

et il est facile de s'assurer que, si les deux éléments considérés ont un élément inscrit commun M p, l'équation aux A- ap — P racines nulles, c'est-à-dire que l'on a

Ap^o, Ap-i-i = o, ..., A^=o.

En effet, on peut développer l'équation aux A^ en produits de mineurs d'ordre/? formés avec les p premières rangées multipliés par les mineurs complémentaires d'ordre x formés avec les x dernières rangées; pour former un terme du degré/? — R ayant pour coefficient Ar, on prendra pour les p premières rangées/? — R colonnes parmi les premières et R colonnes parmi les dernières, et, par suite, pour les x dernières rangées on prendra x — R colonnes parmi les dernières et R colonnes parmi les premières; dès lors, pour que le coefficient Ap^, soit nul, ainsi que tous les coefficients suivants, il suffit que tous les déterminants d'ordre P-|- i soient nuls dans la matrice formée avec les quantités A(M, [/.') : et c'est bien ce qui a lieu comme on l'a vu au n° 9o.

Pour P= o, l'élément MJ est inscrit à l'élément MJJ ; l'équation aux A^ a alors toutes ses racines nulles. Le coefficient Aq est essentiellement difi*érent de o; c'est le produit du carré de la fonction ponctuelle des p points M,M,, . . . par le carré de la fonction tangentielle des x tropes jjl'u." ....

Si l'on prend l'équation aux A^, sous la forme du n° 103, avec 8 racines étrangères égales à i ,

Bo(— A2)^4-. . .-h B8(— A2)7t-6H-. . .

-h Bq(— A2)'^-Q-h Bq^-i(— A2 )^-(Q+1) -h . . .H- B^=o,

on verra de même que, les deux éléments ayant un élément inscrit commun M^q, cette équation a tt — Q racines nulles, c'està-dire que Ton a

Bq7£o, Bq^i = o, ..., B7c=o; on a, d'ailleurs, Q>o. .

107. Moment de deux éléments. — Nous appellerons moment de deux éléments MJ^ IMJJ le produit des A principaux relatifs à ces deux éléments; si Ton prend la première forme (n® 102) de l'équation aux A-, on a, dans l'hypothèse /? <^x,

Mom2 = (—!)/'

r o A(M,|jl') j

[YrM,M,)][r(iJL>')]

et une formule analogue dans l'hypothèse contraire. On peut, d'ailleurs, calculer le carré du moment avec la seconde forme de l'équation aux A principaux donnée au n** 103, attendu que la présence de racines étrangères égales à i ne change pas le produit des racines. Et si l'on suppose que le premier élément est MJ défini parles n tropes de référence, le second M J étant défini par des points, on retrouve la formule du n** 38, en admettant que le carré du moment est égal à i. Si l'on suppose que le second élément est MJ défini par les n points de référence, etc.

108. Application aux fonctions ponctuelles , etc. — Soit p + Tz*^n ovx p^k. Les deux éléments étant définis par des points, reprenons l'équation aux i — A^; considérons l'équation aux A^ sous la forme qui en résulte, et prenons le produit des A^. Nous aurons

Mom*

r Y(M,M,) Y(M,OK,) 1

^ [. T(0]L,M,) Y(OrL, OULf) J [Y(M,M,)Jx[Y(OIV,OrL,)J

Nous avons donc ce théorème, qui concerne la Géométrie dans un élément M.^^^^ : la. fonction ponctuelle d'un système de points dont le nombre /? -h tî ne surpasse pas n est égale au produit de la fonction ponctuelle de p de ces points et de la fonction ponctuelle des Tt autres points, multiplié par le moment des deux éléments que ces points déterminent respectivement; les éléments M^ M,ï Mp+TC sont dirigés, et les fonctions ponctuelles ont des signes; le moment est celui des deux éléments dirigés M^M^c considérés dans l'élément dirigé My^^^j; l'ordre des points dans la fonction ponctuelle des/? •+■ iz points est celui-ci : on met d'abord les p points dans le même ordre que pour la fonction ponctuelle des p points, et ensuite les t: points. Cette règle définit le signe du mo-

--t CHAPITRE VII.

ment des deux éléments dans l'élément qui les contient; et il est facile de voir qu'elle ne diffère pas de la règle donnée au n® 9 du Chapitre I; il y aura seulement à faire voir, n** 116, que le signe du moment est indépendant des points considérés. Quand on change l'ordre de deux éléments, ce moment est m ultiplié par ( — i)^'^, et, en effet, on le considère dans M^^tj. Le moment des deux éléments est nul lorsqu'ils ont un point commun, auquel cas les deux éléments sont dans un Mp^,ç<; la fonction ponctuelle est nulle.

On aurait un théorème analogue (Géométrie autour de M*"*"^) en considérant deux éléments définis par des tropes, avec l'hypothèse X + q'^n. Alors, quand on change l'ordre des deux éléments, le moment est multiplié par ( — i)^*, parce qu'on le considère autour de M^+^.

On peut dire que deux éléments de première espèce, n° 91, ont un moment ponctuel (Géométrie dans un élément), que deux éléments de seconde espèce ont un moment tangentiel (Géométrie autour d'un élément).

109. Moment d'un point et d'un élément, etc. — Pour un point M| et un élément MJ, il n y a qu'un A principal qui est le moment : on mène par ce point le rayon qui rencontre l'élément et son transformé. L'élément MJ étant défini par des tropes, la valeur de Aest donnée parla formule du n° 102 qui renferme alors un seul A*. Si l'élément MJ est défini par des points, on a le théorème du numéro précédent avec un énoncé plus simple : la fonction ponctuelle d'un système de points, dont le nombre ne surpasse pas ai, est égale à la fonction ponctuelle de ces points moins le premier, multipliée par le moment du premier point et de l'élément déterminé par les autres. Comme conséquence, prenons des points en nombre n que nous désignerons par A, B, G, D, . . •, et soit (A, B, G, ...) la fonction ponctuelle d'un certain nombre de ces points; désignons par AB le rayon défini par les points A et B, par ABC l'élément M3 défini par les points A, B, G, etc., et soit (AB, G) le moment de Télément AB et du point G, etc.; on a successivement

(B,G,D)=(G,D)(B,GD), (A, B, G,D)r.= (C, D)(B, GD)(A,BGD),

Pour un élément M^ et un trope M*, il y a de même un seul A principal qui est le moment, etc.

HO. Moment de deux éléments associables. — Pour deux éléments associables M^ et M J, si l'un est défini par des points et l'autre par des tropes, on a

(MSMg) =

et une formule semblable; on retrouve ainsi comme produit des A principaux la quantité appelée moment au Chapitre IV, et l'on a le théorème des déterminants de A, n° 51.

Le théorème général démontré plus haut donne la seconde propriété du moment indiquée au Chapitre IV; le moment entre à la fois dans l'expression de la fonction ponctuelle et dans l'expression de la fonction tangentielle d'un polytrope.

Lorsque le moment est nul, les deux éléments sont associés.^

111. Cas où le moment de deux éléments est nul. — On peut se demander quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que le moment de deux éléments M^MJ soit égal à o, c'est-à-dire pour que l'un des A principaux soit nul. Soit/? < x ou/? H- 7r<; /i; si les éléments ont un point commun, il y a un des A principaux qui est nul et le moment est nul, mais cela fait x — /? -i- i conditions non nécessaires; pour que le moment soit nul, ou que l'un des A principaux soit nul, il faut et il suffit, d'après l'équation aux I — A^ ou d'après le théorème qu'on en a déduit, que, dans l'élément M^,^^ qui contient les deux éléments donnés, la fonction ponctuelle de /? + 7r points soit nulle, et, pour cela, il suffit que cet élément M^,.,ç soit conjugué de lui-même. Par exemple, dans le cas de deux points, le moment n'est autre chose que la fonction ponctuelle, et l'on sait qu'elle est nulle si le rajon des deux points est conjugué de lui-même. Dans le cas général, il est facile d'apercevoir le A qui est nul : l'élément M^+t^ étant conjugué de lui-même, il y a dans cet élément un point qui appartient àN/'^^; comme les deux éléments M^ MJJ sont associables dans M^^^, on comprend que par ce point passe un rayon qui rencontre M^, et MJ; il rencontre aussi NJ' et NJ, et c'est un des

rayons qui rencontrent les éléments donnés et leurs transformés; mais ce rayon est conjugué de lui-même, car il est dans M^^^ et son axe transformé passe par N^"*"^ et, en particulier, par le point considéré plus haut; dès lors, le o- (ou le A) fourni par ce rayon est égal à o.

Dans l'hypothèse X <!/?, on aurait un résultat analogue au précédent.

Pour deux éléments M^ M^, le moment est nul s'ils sont associés.

112. Moment d'un système d'éléments. — Soient des éléments quelconques A, B, C, D, E, mais tels que le nombre des points nécessaires pour les définir est tout au plus égal k n : on peut appeler moment de ce système d'éléments l'expression

(A, B, C, D, E) = (D, E)(G, DE)(B, GDE)(A, BGDE),

DE désignant l'élément le plus simple circonscrit aux deux éléments D et E; c*est un moment ponctuel; quand les éléments donnés sont des points, on a la fonction ponctuelle. De même, soient des éléments quelconques «, è, c, d, <?, mais tels que le nombre des tropes nécessaires pour les définir est tout au plus égal k n : on peut appeler moment de ce système d'éléments l'expression

(a, by c, dj e) = (rf, e)(c, de)(by cde){aj bcde).

de désignant l'élément qui est l'intersection des éléments rfet e; c'est un moment tangentiel; quand les éléments donnés sont des tropes, on a la fonction tangentielle.

On a la formule générale

(A,B, G, D, E) = (A, B, G)(D, E)(ABG, DE),

qui donnerait lieu à un grand nombre de conséquences; on en conclut, en particulier, qu'on peut changer l'ordre des éléments sans changer la valeur absolue du moment. Quant au signe, la définition montre que, si l'on échange les deux derniers éléments D

et E, le moment est multiplié par /p'pv( ; la formule montre

ensuite que, si l'on échange deux éléments consécutifs B et C, le

moment est multiplié par ,-7=r45--

113. Équation aux A^ principaux en fonction des coordonnées. — Les deux éléments MJ MJ étant définis par des points, si Ton prend l'équation aux i — A^, elle donne facilement

AS a?;

if'

si l'on fait porter les i — A^ sur les termes y (^liDfL) on obtient l'équation sous une autre forme avec 5 racines parasites égales à I. Pour /?^x ou /? -f-TT^/î, l'équation n'a pas de racine nulle étrangère ; pour /? -}- t: =: ai -f- to, il faut diviser le premier membre

par (A2)<*>.

Pour ramener le terme du plus haut degré en ( — A^) à avoir pour coefficient l'unité, il faut diviser par (t^o-'^, en désignant par 0" et <t' les fonctions ponctuelles des deux systèmes de points; et alors le coefficient du terme en ( — A^)^"^, R= x» ^st une somme de produits dont l'un s'obtient comme il suit. On prend des indices fixes en nombre p — R, des indices fixes en nombre x — R, ces deux séries d'indices pouvant avoir des indices communs en nombre 6; nous désignerons ces indices communs par ^ . , . g ; les premiers indices seront/ . . . fg ... ^, le nombre des/ étant p — R — 8, les seconds indices seront A . . . hg ... ^, le nombre des h étant x — R — 9 ; en posant

/>— R = Tr — S

X — R = gr — S,

il reste des indices en nombre R + S + 6, que nous désignerons par i . , , ij ... y, les indices i étant en nombre R et les indices y en nombre S H- 8; pour abréger, nous désignerons les suites d'indices f , . , g . , . h . . , i . , . j . , . par FGHIJ, et le nombre de ces indices est donné j)ar le Tableau suivant :

Indices G F H I J

Nombre /> — R — f) x R e R S -+- 0.

L'un des facteurs du produit, donné par le déterminant

est alors

xfi

a-FG

2(-,)(GM)i:pc,^FGi.2rj{î;{,„

les Indices étant dans l'ordre naturel ; le ^ est relatif aux différents

groupes de R indices i que peuvent donner les R -|- S.-[- 8 indices IJ; les fonctions tangentielles sont relatives à la figure de référence. L'autre facteur est analogue : les x et les $ sont remplacés par des u et des u, les S sont remplacés par des o-; mais chaque terme est divisé par un produit de h qui est d'ailleurs le même pour tous, et qu'on peut remplacer par la quantité

Or, d'après le n° 9, où l'on échange F et H et où l'on prend pour indices J d'une part GI d'autre part G, on a

(— i)Gi.J Sfgi Sfj t,ï'g>." = ( ,)G,w Sfg Sfij 7)^^^" ;

on a encore

( I)G1,J <jp(;( <jfj TjFGI.FJ = (— 0^'" ^FG ^FIJ T.fg.FU,

et, dans cette formule, en définissant les r^ du polj'trope P comme ceux du polytrope P, on peut souligner les v^ en mettant en haut les indices qui sont en bas.

Alors, le terme considéré plus haut, et qui est un terme du coefficient de ( — A^)''-'^, a pour valeur

,^FG.IU^FG.FIJ ^FGI ^f,J., i^FGI .^^

y. KG 7 F M ^ 2u T^'GI.FJ ^

'IIG

,FGI,N '

les Tj'^c''" sont les moments réduits des éléments de référence auxquels se rapportent les coordonnées qui figurent en numérateur; on aurait pu écrire, par analogie avec la formule du n** o5,