IG
FGI
^IIJ,HGI
On fait ensuite varier les indices fixes, et l'on obtient des termes
de diflerenles espèces d'après le nombre 8 des indices g (voir un exemple au n** 126). Ces termes se simplifient pouj' 6 = 0.
U4. Pour /?^x, l'équation précédente est bonne ^ pour /?>x, il faut diviser le premier membre par ( — A^)/»-^, ce qui remplace ( — A^)/'-* par ( — A^)^"'^; c'est donc Tun ou l'autre selon qu'on a /? H-Tî^/i ou X -h <7</?. Si l'on suppose les deux éléments définis par des tropes, l'équation se présente avec le degré x qui est exact* pour x^/?5 pour x^/?, il faut diviser le premier membre par ( — A^)^""^, ce qui la ramène au degré/?. Les coefficients se présentent sous la même forme que ci-dessus-, il faut, en eflet, échanger les lettres x et $, et mettre en bas les indices qui sont en haut et réciproquement, en échangeant F et H : or cela ne change rien.
L'ordre des deux éléments étant M^MJJ, les points du premier et les tropes du second jouent des rôles analogues dans le terme obtenu à la fin du n® H3 : on a le produit x^^^ ^^gv Pour deux éléments M^ M^, l'équation aurait une seconde forme, en échangeante: et Ç, et cela sans racine parasite égale à i.
Si, au lieu des deux éléments M^MJ, on considère leurs transformés ou leurs primitifs, l'équation aux A principaux esllaméme. On peut remarquer à ce propos que, pour passer de l'équation aux A principaux pour deux éléments M^ MJ à l'équation relative à deux éléments MJ MÇ, il faut échanger x et Ç, en échangeant en même temps F et H.
115. Expression du moment. — Pour avoir le carré du moment, en supposant /?-|-7t</i (Géométrie dans un élément), il faut faire R=/?, ce qui exige 6=:o; il n'y a plus ni indices y", ni indices g. Le nombre des indices h est x — /? ou w, en faisant p -\-TZ= n — o>, et chaque système d'indices h donne pour le carré du moment un terme qui est un produit de deux facteurs : le nombre des indices i eslp, le nombre des indices y est tt, et ces indices sont pris de toutes les manières possibles parmi les n — w indices autres que les indices A; les indices HIJ forment la série complète des indices i , 2, ..., /i. On a pour le carré du moment
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^^^{.iV^f^'^în
~" r^ii-^ r/J ^d T,i-«
8o CHAPITRE VII.
la somme étant relative à tous les systèmes de o> indices H; la quantité r/"' est le moment des deux éléments de référence AÇA^ auxquels se rapportent les coordonnées du numérateur.
Si l'on suppose /? 4- Tt^/i (Géométrie autour d'un élément), l'équation aux A^ a des racines nulles en nombre p — x et pour avoir le carré du moment il faut faire R = x, ce qui exige 9 = o; il n'y a plus ni indices h ni indices g. Le nombre des indices/ est p — X ou (o en posant /? -|- ir = /i -h w, le nombre des indices / est X, le nombre des indices y est (jr, et les 'indices FIJ forment la série complète des indices i, 2, . . ., n. On a
^< ^^ ^iJ,I ^^ ]^.J,I
11 est intéressant de comparer cette formule à la précédente. On a deux éléments M^ M J, avec deux cas possibles /?<[ x ou %<Cp] pour déduire la formule du second cas de celle du premier cas, on échange x et Ç, et l'on met en bas les indices qui sont en haut el réciproquement avec échange de F el II. Ce résultat se comprend bien en supposant que, dans le second cas, les deux éléments sont définis par des tropes comme au n*^ \\\,
Pour deux éléments associables, /? h- 7: = /?, on a
les deux facteurs du second membre sont égaux et l'on retrouve la formule du n'* 35 qui donne un signe au moment.
116. On peut vérifier le résultat précédent et le rendre mnémonique; on suppose p -\- tz <C n \ \di relation entre les coordonnées d'un élément M^^^ conduit au moment des éléments M^^ et M^, et cette méthode a l'avantage de rapprocher tous les moments pour lesquels la somme /? -}-i^ a la même valeur. Considérons l'éléinenl M^^^ défini par les p points M et les ir points Ort, c'est-à-dire rélément M^^^c circonscrit aux deux éléments donnés; ses coordonnées sont données par des formules dont le type est
[X' xi 1
ÉQUATION AUX A^ PRINCIPAUX. 8l
cr désignant ici la fonction ponctuelle des/? + tz points; si l'on développe le déterminant en produits de mineurs d'ordre p multipliés par des mineurs d'ordre ir, on obtient (n® 108)
î|^ = ^" X oit;
c'est une formule de Géométrie dans M^j.„, la figure de référence étant un élément M.P'^'^ (Chap. VIII). On aurait de même
Si l'on se reporte alors à la relation entre les coordonnées de l'élément IVf;,^,^, qui est i
^ill
on retrouve le résultat précédemment obtenu.
Au n® 54, dans le calcul de la relation entre les coordonnées normales de l'élément Mp^iz, on a eu recours à la formule du n® 38 qui donne o-^ ; en écrivant la formule sur laquelle repose le calcul du n** 113 réduit à la recherche de OK^, on reconnaît que les deux modes de calcul de DTi^ sont en somme identiques.
Lorsque l'élément M^4.7c est conjugué de lui-même, on a
et cela correspond à 01t = o; la fonction ponctuelle des /?-|-ir points est nulle.
[La méthode précédente peut être étendue. Considérons deux éléments M^ MJ pour lesquels on a /? -h tc <] /i et deux autres éléments de même espèce que les premiers N^NJ; on pourra calculer le produit du moment des deux éléments M par le moment des deux éléments N, multiplié par le comoment des deux éléments M^^^N^^TT que déterminent les éléments donnés; cette expression sera nulle lorsque les deux éléments Mp^^^Np^T^ seront conjugués. Par exemple, dans l'espace réel, M^ et MJ peuvent être un point et une droite.]
H7. Considérons le cas particulier de deux élémenls M^M^
pour lesquels on a
p-\- Tz =z n — I.
L'élément Mp+^ est alors un trope, et la relation entre ses coordonnées peut s'écrire sous la forme d'un déterminant égal à o; on obtient alors sous une forme simple, et en fonction des seules coordonnées x et Ç, le moment des deux éléments. C'est aiosi que, dans l'espace réel, le carré de la distance d'un point à une droite en coordonnées tétraédriques est donné par une formule simple.
118. Moments réduits. Explication des coefûcients Ap. — Lorsque les deux éléments M^ MJ ont en commun un élément inscrit M-p, un élément circonscrit M"'^"** (Géométrie autour d'un élément, dans un élément ; par exemple, droites autour d'un point dans un plan), on peut appeler moment re^/wf/ le produit des A principaux qui ne sont pas nuls; le carré de cette quantité est le coefficient Ap du terme en ( — A^)^"** de l'équation générale, les coefficients suivants étant nuls. Nous allons trouver une propriété de ce moment.
Considérons des points en nombre/? — P = tt — Q dont les indices seront désignés dans leur ensemble par A, des points d'indices D en nombre P, des points d'indices E en nombre Q ; nous avons deux éléments M^, M^ aj^ant un élément M^.p inscrit commun, un élément M^~** circonscrit commun. Définissons une quantité a par la relation (voir le n° 9)
^AD ^AE. Ft = ^A ^ADEj
Tordre des indices étant celui que la notation indique ; nous allons voir que il est le moment réduit des deux éléments M^i^ Mj^^, considérés autour de M^ dans Mai»e« Écrivons l'identité
KG
