KG

^HG 'JllG

^IIG

le moment réduit des deux éléments considérés est alors égal à o. [On pourrait considérer deux éléments M^ MJJ ayant en commun un élément inscrit M p et un élément circonscrit M^~'', deux éléments N^ N J ayant en commun un élément inscrit N,p et un élément circonscrit N^~'',et calculer le produit du moment réduit des deux éléments M^ M,r par le moment réduit des deux éléments N^ N,:, multiplié par le comoment des deux éléments inscrits M„pNp p et par le comoment des deux éléments circonscrits ]y|x-i» jsjx-p. QQiiQ expression sera nulle lorsque les deux éléments inscrits seront conjugués, et aussi lorsque les deux éléments circonscrits seront conjugués. Par exemple, dans l'espace réel, on peut considérer deux systèmes de deux droites concourantes.]

119. Pour les deux éléments de référence A^Arj, on vérifie facilement la relation donnée plus haut, avec 6 = 0.

120. Conditions pour queM^iVlJ aient Mp inscrit commun, M^^ circonscrit commun. — Lorsque deux éléments M^ MJ ont un élément M„,, inscrit commun, iir. élément M^"** circonscrit commun, tous les termes du coefficient Ap^, sont nuls, et l'on a

^FGIfKJ ^IGl.FJ ~ ^*'

Je nombre des indices g étant 6, celui des indices / étant p — (P -h i) — 9, et celui des indices h étant x — (P + i) — 6; le nombre des indices « est P 4- i , celui des indices y est Q -h i -|- 6, en posant p — P = t: — Q.

On aurait d'autres conditions qui se rattacheraient à l'autre forme de l'équation aux A^ principaux.

Si l'on fait = o, on a les conditions les plus simples, les mêmes d'ailleurs des deux façons. Les deux éléments inscrit et circonscrit étant désignés par Mp et M^, pour obtenir un système dé conditions distinctes en nombre po-(n** 94), il suffit de prendre les p — I indices^* parmi p indices déterminés, et les o- — i indices Il parmi o- autres indices déterminés.

Pour un point commun, il faut faire P =/? — i, P-f- 1 =^, et il n'y a pas d'indice g\ de |même, etc. En supposant/» = i, on retrouverait les équations ponctuelles d'un élément MJ; pour x= i on aurait les équations tangentielles d'un élément M^.

121. Équation aux y* principaux. — Liant donnés les deux éléments M^, MJ, dans cet ordre, considérons la suite LJM^MJNJJ

et les rayons qui rencontrent ces quatre éléments (ou les axes qui ont un Irope commun avec chacun d'eux) : si l'on veut former l'équation aux A principaux pour les deux éléments LJM^ ou pour les deux éléments MJN,'!, on aura précisément à considérer ces rayons. Nous donnerons à ces A le nom de '^principaux pour les deux éléments MjJiMJ pris dans cet ordre, et nous les retrouverons plus loin à un autre point de vue. Le degré de l'équation aux y^ principaux est le plus petit des quatre indices /?, q^ tt, x.

L'équation aux y^ principaux pour les deux éléments donnés est, par définition, l'équation aux A- principaux pour les deux éléments M^LJ. Or, les coordonnées (LJ, Aj) de ce dernier élément

sont les coordonnées (M5J,Àj) de l'élément MJ; de même, les coordonnées (^LJ, Aj) sont les coordonnées (MJJ,AJ). 11 en résulte

que, si Ton représejite l'équation du n"* 113 par la notation

Téquation aux. y- sera

122. Autre point de vue. — Dans ce qui suil, pour éviter toute confusion entre les deux formes de l'équation aux A^, nous dirons la forme 102 et la forme lOo : la première est relative au cas où les deux éléments que l'on considère sont définis l'un par des points et l'autre par des tropes, la seconde est relative au cas où ces deux éléments sont définis par des points.

L'équation 105 donne les valeurs du produit y( M 0]TL)Y(OrLM) ou yy', M et DTL étant les points d'appui sur les deux éléments donnés d'un rajon qui les rencontre ainsi que leurs transformés. On aurait d'une manière analogue l'équation qui donne les valeurs de la quantité v^ : il suffit de changer l'ordre des deux points dans les tz dernières rangées du premier déterminant; dans le second déterminant, au lieu deyy' on a y-, et l'ordre des points est changé dans les tt dernières rangées. Or, les deux éléments M^ L5 étant alors définis le premier par des points et le second par des tropes, si on leur applique la méthode 102 pour former leur équation aux A principaux, on reconnaît que les A obtenus sont égaux aux y que l'on vient de considérer : en sorte que les quantités désignées au n° 121 sous le nom de y principaux sont les quantités y(MOTC). [On en conclut que si l'on considère les éléments LJ M^ MJ N J N^, à chaque rayon qui rencontre les quatre premiers répond un rayon qui rencontre les quatre derniers.]

123. Comoment de deux éléments. — Le comoment de deux éléments M^ MJ pris dans cet ordre, ou le moment des deux éléments L^ M^ est le produit des y principaux ; pour deux éléments de même espèce le comoment est naturellement identique au comoment défini au Chapitre IV.

Ajoutons ici que l'équation aux y^ principaux peut avoir des racines nulles; on aurait à reprendre l'idée indiquée au n° 96.

124. Moment de deux éléments pleinement conjugués; etc. — Considérons deux éléments M| MJ formant un système de première espèce, p -\-tz <C n^ et supposons (jueces deux éléments sont plei-

nement conjugués (n® 96); dans l'équation du n** lOo, les valeurs du produit yy' sont nulles, et tous les A^ sont égaux à i comme on le verrait d'ailleurs directement. De même, etc. En particulier, le carré du moment (ponctuel ou tangentiel) de deux éléments pleinement conjugués (de première ou de seconde espèce) est égal à I.

Il en résulte que le carré du comoment de deux éléments dont l'un est inscrit à l'autre est égal à i .

12o. Équation aux yy' ou aux i — A^. — Le n° 122 amène un rapprochement entre les équations 102 et 105. Il importe avant tout de mettre en évidence le fait suivant : si dans l'équation 102 on remplace A^ par i — (i — A^), on a une équation que l'on doit considérer comme donnant les valeurs de la quantité i — A^; l'équation 105 dans laquelle on a remplacé le produit yy' par i — A^ donne les valeurs de la quantité A^; on a ainsi deux équations dont les racines sont complémentaires par rapport à i : l'équation 102 ou équation aux i — A^, l'équation 105 ou équation aux A2 ; l'équation 102 est donnée par un déterminant d'ordre /> -H X, l'équation 105 est donnée par un déterminant d'ordre p -\-Tz; et la première peut être développée d'une façon analogue à ce qui a été fait pour la seconde au n** 113.

Or il y a de même une équation aux i — y^ et une équation auxy2 : au n** 122, on a formé l'équation aux i — y^ [on a appliqué en effet la méthode 102 et il faut remplacer y^ par i — (i — Y^)]> et l'on a rattaché cette équation à l'équation 105 qui est l'équation aux A^ ou aux i — yy'-; en sorte que l'équation aux i — y^ est liée à l'équation aux A^. Inversement, l'équation aux i — A^ ou auxyy' est liée à l'équation aux y^ ; cette dernière a été écrite au n® 121 , et l'équation aux i — A^ peut s'écrire

/;^^[i- AS (-1)^x^4^, ^L^^j

[Dans le cas d'une correspondance par polaires réciproques, l'équation aux yy' est identique à l'équation aux y^.]

En résumé, on a une équation aux i — A^ et une équation aux A^, une équation aux i — y^ et une équation aux y^; l'équation aux I — A2, étant une équation auxy^, rappelle par sa forme

88 CIIAPITRR VII.

Téqualion aux y^, tandis que réquation aux A^, élanl une équation aux I — yy', rappelle par sa forme l'équatîon aux i — y*.

L'équation aux A^ et Téquation aux i — A^ sont réciproques. Pour passer de la première à la seconde, il faut remplacer la fonction flj;ij^ par la fonction fS^xt remplacer A^ par i — A2,rem-

• placer Ç"^ par (— i)'^Çç^et Ç'^ par Ç'^.

126. Exemple. — Nous vérifierons l'équation ci-dessus dans un cas particulier. Considérons deux droites M2OK2 dans Tespace réel, et formons l'équation aux A principaux pour une corrélation donnée, le tétraèdre de référence étant indifféremment 1 234 01* ABCD. Les quantités r\ des n®* 113 et 9 ^ont des moments de corrélation relatifs aux arêtes du tétraèdre de référence prises deux à deux, les deux arêtes considérées pouvant être associées ou opposées; on a par exemple, en mettant les éléments dans l'ordre qui supprime les signes en évidence,

2(c, 6)2(c, a)r^cb,ca = 2(c, b, a), ci(D, A ) a(D, B) 7)DA,DB = ff(D, A, B),

et la quantité 'T\^x,Sb, ^st le moment réduit des deux arêtes DB et DA. Le premier terme de l'équation est A^. Dans le terme en — A*, le nombre des indices de chaque espèce est donné par le Tableau

e i-e 1 — 6 I iH-e

et il faut faire successivement 6 = o, 6 = i. Le terme indépendant est le carré du moment. On a l'équation

\h^ht\ 7)13,11

,jl4,13 / \ 7jl3,14 7jl*,13 j

/a7ï«$3v a?i3jît ari*$23\ /^»«j3* \ -,

"^1^:^11:34" "^ 7)13,2* "^ ii^ïMi-yl^'^jiMT"'"-- -y ■*"•••]

ra.i2j3* ■ira7i»$34 -I

Lorsque les deux droites sont associées, le terme indépendant de cette équation est nul. Lorsque les deux droites sont identiques, le coefficient de A^ est nul, chaque terme étant nul : les termes de

la seconde ligne sont nuls par la relation entre les coordonnées homogènes d\ine droite, les termes de la première ligne sont nuls parce que, dans le cas général, on peut les écrire sous la forme

/pis eu a?i*?*3

On remarque alors que, dans le cas de deux droites identiques,

on a encore — - — 7—77 — — = o, et l'on est conduit à introduire de

nouveaux termes dans le coefficient de A^, en les détruisant par d'autres. Or, si l'on considère les termes de la seconde ligne dans ce coefficient, et qu'on en retranche le terme indépendant de l'équation (en se réservant de l'ajouter ensuite), il reste après réduction trois termes de la forme

ri2,34 J

Remarquons maintenant que les termes de la première ligne dans le coefficient de A^ peuvent être écrits autrement. Etant donnés deux éléments M|M|, lorsqu'on cherche dans l'équation aux A^ la partie du coefficient de ( — A^y-' qui répond à 6 = o, il faut faire R = S = i , et l'un des termes est de la forme (début du n- H3)

hf ,.,hfhKhf ,.,hfh^ '

en transformant le dénominateur d'après des formules données au

n** 8, on obtient

(a?Fi £»•'« — ...)(wfiuf2-...)

[On peut voir, à ce propos, ce que devient la formule du n° 118 pour deux éléments M^ qui ont M^, inscrit commun, M^~* circonscrit commun, en faisant 6 = 0; on a alors des indices / en nombre p — j , des indices h en nombre g — i , il reste deux indices i et y, et l'on a la formule

qui rentre dans le ihéorème des délerminanls des moments (n»150).]

go CHAPITRE VII.

Les premiers termes du coefficient de A^ deviennent

^isÇu a:UÇis

Ti^T)**

(£ri3|l*-...);

et l'on aurait pu les écrire ainsi immédiatement.

On est alors conduit à mettre l'équation aux A^ sous la forme

•rlî

Dans cette équation, le fait que les deux droites jouent le même rôle est en évidence, ce qui n'avait pas lieu avec la première forme, l'une étant alors considérée au point de vue ponctuel et l'autre au point de vue tangentiel. Cette équation offre d'ailleurs un intérêt particulier comme étant relative à deux droites dans l'espace réel.

Si l'on pose maintenant -— =/:*^, on obtient l'équalion

et l'on peut écrire

A*(i — A)— A2(i — A2)(A — B)-hB(r — Aî)« = o;

pour B = o on a une valeur nulle de A, pour B = o, A = o on a deux valeurs nulles de A; pour A = i on a une valeur nulle de I — A2 ; pour A = i , B = i on a deux valeurs nulles de i — A^. On est ainsi conduit à poser

et l'équation aux valeurs de i — A^ prend la forme

Or, dans le cas actuel, les deux fonctions f^:^ et /^^ sont iden-

tiques; on doit donc avoir d'après le n° 125

îï

iri2

on s'en assure facilement en mettant A sous la forme d'un déterminant qui est i — B', et A' sous la forme d'un déterminant qui est 1 — B.

Si l'on remplace i — A^ par yy', on voit que le coefficient B' doit être le produit des comomenls des deux droites, prises successivement dans l'ordre M2OIIL2 et dans l'ordre DIL0M2 ; c'est bien ce qui a lieu.

Si l'on reprend l'équation aux valeurs de W^ donnée plus haut, en posant A — B = A' — B'=: C, on peut l'écrire sous la forme

B'Â:*— GA:2+B = o.

En conservant seulement les coefficients B et B' on a encore l'équation très simple

On remarquera que l'équation aux A- pour deux droites dans l'espace réel peut s'écrire