Si l'on écrit
on voit que le moment de deux éléments définis par un nombre de points supérieur à n est égal au moment d'un élément inscrit à
l'un avec l'autre, divisé par le momenlde cet élément inscrit et de Télément qui est Tintersection des deux éléments donnés. De même, etc.
130. Voici une application du théorème des quatre éléments. Considérons pour plus de simplicité l'hyperespace Mg et le poljtrope dont les sommets sont A, B,C, D,E et les faces a, 6,c, rf,e. On a
(i = (ABCDE) = I X (D,E) X (G,DE) x (B,CDE) x (A,BGDE), {edcba) = ix {b,a) x {c,ba) x {d,cba) x(e,dcba),
ou, en multipliant par ( — j)<+2+3+4
S = (abcde)= i x {a,b)x{ab,c) x {abc,d) x^abcd^e);
en multipliant ces deux formules on a
ffS = [(A,BGDE) x i][(B,GDE) x (a,6)][(G,DE) x {ab,c)] . . .
ou
(jS =(A,a)(B,^)(G,c)...,
formule déjà obtenue.
131. On peut transformer le théorème des quatre éléments. On fera la figure schématique suivante qui répond à n=4, q=i^ p z=.i^ CL = i, j3 = 2 :un plan M^, un point M^, un point Ma dans M^, une droite MP passant par Ma et Mp; un plan N** perpendiculaire à MP, et le point d'intersection Ip de MP avec N«; un plan H^ perpendiculaire à MP en Ma. (On peut faire une figure analogue sur la sphère, avec ai = 3, q = i^ p= 2, a = i, p = i; Ma est le pôle de N«, Ip est le pôle de H^. )
On aura d'abord les cas particuliers suivants du théorème (deuxième énoncé) :
I** Considérons deux éléments H^ I^ dont le second est transformé du premier : leur moment est i . En prenant Ma dans le premier, les deux éléments H^MP sont pleinement conjugués de seconde espèce, et leur moment tangenlielapour carré i; les deux éléments Mal'' sont pleinement conjugués de première espèce, et leur moment ponctuel a pour carré i; comme le produit des moments est i, ils sont de même signe, et l'on a simultanément
anloiir de Ma et dans MP
(H^MP) = £, (Mal/0 = e,
en désignant par e Limité alFeclée d'un signe.
2^ Considérons deux éléments HpMP; on mène par le second un élément MP pleinement conjugué du premier (deuxième espèce) c'est-à-dire passant par I^, et qui coupe le premier suivant M»; le carré du moment tangentiel (Hy,MP) est égal à i, el Ton a simultanément
on a alors
(H^M/')= e(MaM/0.
3° Considérons deux éléments My,!^; on prend dans le premier un élément Ma pleinement conjugué du second (première espèce), c'est-à-dire qui soit dans H^ primitiCde Ip ou dont le transformé iV passe par Ip; 11 détermine avec ÏP un élément MP; le carré du moment ponctuel (M»!^) est égal à 1 , et l'on a simultanément
(K,,MP) = £ ou (Mal'') = £; on a alors
(M,,lA') = £(l\lpMP).
Cela posé, reprenons les deux éléments Mp Mp (deuxième énoncé), avec M» dans le premier, MP passant par le second, MP passant aussi parM»; si nous prenons N* transformé de Ma, son Intersection Ip avec MP, et le primitif H^ de I^, nous avons un second élément H^ passant par Ma, un second élément I^ situé dansMP, et celui-ci est le transformé du précédent; Hy,est pleinement conjugué de MP, Ip est pleinement conjugué de Maî nous avons d'abord
(MpMp) = (M^MP)(MaM/0;
or, puisque ÏP est transformé de H^, on a simultanément
(H^MP) = £, (Mal'') = £;
on a alors par la formule ci-dessus
(MplA>)=£(M^MP),
et la formule devient
où il n'y a que des moments d'éléments associables. On a encore
{UPUp) = {{UPlP)){{PUp), etc.
Nous donnerons une application pour 5^ = 1, a=i. Si l'on refait la figure schématique en remplaçant M^ par [jl. M.p par M„ MP par R, \p par M, M» par L et H^ par /, on a les éléments a et M, avec un point L de l'axe {1^-) qui détermine avec M un rayon R; on a alors
A(/M,) = £(LM,), A(jxM) = £(jxR), avec
(/R) = e ou (j(LM) = e,
et la première formule est une formule du n° 97 en faisant s = 1 ; on a ensuite les formules du n® 102
A(tJLM,)= A(ixM)A(ZM,), A(M,(x) = y(M,M)A(Mijl).
132. Corollaire du théorème des quatre éléments. — Sur la fi^gure schématique du n° 131 , on ajoutera en pointillé. une perpendiculaire à M^ menée de M/' et coupant JN* en N^. (On peut, sur la figure sphérique, ajouter en pointillé un grand cercle perpendiculaire à My,, etc.) On a deux éléments de même espèce M/'N^ par lesquels passent deux éléments MPN**(a+p = ^) pleinement conjugués de seconde espèce (l'un détermine l'autre), se coupant suivant I^; les formules du théorème précédent donnent
((MpN/')) = ((MPNa))((MPN/')), ((MpN/')) = ((MPlP))((f/'N/')).
On aurait un corollaire corrélatif.
Nous donnerons une application (n" 105) pour p ^= n — i, a = I. Si l'on refait la figure schématique en remplaçant M/'I/'N^ par M,M01L, on a deux points M, et DiL par lesquels passent un rayon R et un trope (le primitif de N du n° lOo) pleinement conjugués, se coupant en M; on a alors
Y(M,D1I) = y(M,M) y(MDK).
gd CHAPITRE VII.
[La formule du n" lOo rentre encore dans ceci : Pour Irois points ABC, en appelant 6 et c les deux rayons AC et AB, on a
a(AC)cT(AB)((è,c)),
