Y(AA) Y(AB

Y(GA) y(CB) ou

Y(GB) = Y(CA)Y(AB)-hcT(AG)(j(AB)((6,c));

lorsque les deux rayons sont conjugués, leur comoment est nul et la formule se simplifie. C'est ce qui arrive ici; le rayon M, M étant dans M^, Taxe transformé passe par NJ et contient le point N, en sorte qu'il est associé au rayon R : les deux rayons sont conjugués.] Outre les figures schématiques du début, on a une bonne représentation du corollaire en faisant^ = 2,/? = îfc, a = i,pr=i;ona deux droites M^N^* par lesquelles passent deux plans conjugués MPN'^se coupant suivant une droite I^; pour la démonstration, le point Ma est dans MP, et par ce point passe une droite M^ primitive de N/'. On peut suivre sur cette figure les relations' qui traduisent le théorème et le corollaire

(MpM/')= (M^MP)(MaM/0 =(MplP)(U^MP), ({Mp^p)) = ((MPNa))((MPNA')) = {{Mp\p)){{IpNp));

on peut d'ailleurs suivre le passage direct de la première formule à la quatrième : on a d'abord (MaM^) = ((M/'I^)) en Géométrie dans MP^ on a de plus, en considérant Np transformé de MP (point dans N«), (M^M?) = (N/'Np) = ((I^N/»)) en Géométrie dans N».

133. Démonstration analytique du théorème des quatre éléments. — J'indiquerai celte démonstration sur un exemple. Considérons dans l'espace réel un trope m en un point M, un pointOR/ du trope, et le rayon R qui passe par M et par DTi. On a, par une formule corrélative de celle du n" 116,

or on a (n° 116)

donc (le théorème des quatre éléments étant vrai pour le polytrope

de référence)

en ajoutant -^ + -^ qui est nul, le coefficient de x^ est nul, et celui de Ç* est (Mm) ; donc on a

(M/n)=(M01L)(Rm).

[On vérifierait la formule relative au moment Mt^M;, (n° 128) en employant la formule du n" 118 au lieu de celle du n° 116.]

go CHAPITRE VII.

Les premiers termes du coefficient de A* deviennent

^13 tu ^U tl3

et Ton aurait pu les écrire ainsi immédiatement.

On est alors conduit à mettre l'équation aux A^ sous la forme

A*— Aî(A4-B)-f-B =o,

Dans cette équation, le fait que les deux droites jouent le même rôle est en évidence, ce qui n'avait pas lieu avec la première forme, Tune étant alors considérée au point de vue ponctuel et l'autre au point de vue tangentiel. Cette équation offre d'ailleurs un intérêt particulier comme étant relative à deux droites dans l'espace réel.

Si l'on pose maintenant — =k^j on obtient l'équation

et l'on peut écrire

pour B = o on a une valeur nulle de A, pour B = o, A = o on a deux valeurs nulles de A; pour A = i on a une valeur nulle de I — A2 ; pour A == i , B = i on a deux valeurs nulles de i — A^. On est ainsi conduit à poser

A'-hB = B'+A = i

et l'équation aux valeurs de i — A^ prend la forme

Or, dans le cas actuel, les deux fonctions /^^^ et /^^ sont iden-

tiques; on doit donc avoir d'après le n° 125

on s'en assure facilement en mettant A sous la forme d'un déterminant qui est i — B', et A' sous la forme d'un déterminant qui est 1 — B.

Si l'on remplace i — A^ par yy', on voit que le coefficient B' doit être le produit des comoments des deux droites, prises successivement dans l'ordre M2OII2 et dans l'ordre OTI2M2 ; c'est bien ce qui a lieu.

Si l'on reprend l'équation aux valeurs de k^ donnée plus haut, en posant A — B = A' — B'=: C, on peut l'écrire sous la forme

En conservant seulement les coefficients B et B' on a encore

l'équation très simple

On remarquera que l'équation aux A^ pour deux droites dans l'espace réel peut s'écrire

(M2, DJL^y -h (M2, D]Uy=o]

Téquatiou -r H — r= i devient alors

et il est facile d'en rendre compte en écrivant

A2 "^ Yï' ""

A et A| sont relatifs aux deox rayons qui rencontrent les deux droites et leurs transformées.

137. Comoments. — Le comoment de deux éléments Mq^+p qui ont un Ma inscrit commun ne subit pas d^altération essentielle, la présence de l'élément inscrit M» amenant simplement des facteurs i dans la valeur du comoment; il en est de même pour le comoment de deux éléments MP"*"^ qui ont un MP circonscrit commun.

138. Fonctions ponctuelles et tangentielles. — La fonction ponctuelle de P éléments Ma+i ayant un M» inscrit commun est une quantité dont le carré est le déterminant des comomeats de ces éléments pris deux à deux; de même, la fonction tangeatielle de P éléments MP"*"* ajant un MP circonscrit commun etc. Ed particulier, dans chaque Géométrie on peut faire P = N, c'està-dire considérer la fonction ponctuelle et la fonction tangentielle du polytrope de cette Géométrie : ces fonctions sont indiquées par le Tableau du n° 135; et l'on doit remarquer que l'on obtient ainsi toutes les fonctions ponctuelles et toutes les fonctions tangentielles : car si l'on prend, par exemple, P éléments Ma+i ayant un Ma inscrit commun, ils déterminent un élément Ma,p ou MP en posant a + p -+- P = /i, et forment le polytrope de la Géométrie autour de Ma dans MP, Géométrie dont le N est égal au nombre P des éléments considérés. Il suit de là que le Tableau du n® 133 donne une classification des fonctions ponctuelles et des fonctions tangentielles dans l'hyperespace M«; en partant de la rangée supérieure, pour descendre vers la gauche et vers la droite, on voit que le nombre des fonctions relatives à des éléments G, par exemple, est égal à (n — i), les unes étant des fonctions ponctuelles et les autres des fonctions tangentielles^ d'où il suit que le nombre total de ces fonctions est (/i — i)'.

139. C'est ici le lieu de faire observer que chaque Géométrie comprend toutes celles que donne le Tableau réduit dont elle forme la base. Si l'on considère, en particulier, les différentes Géométries placées sur les bords du Tableau, à droite et à gauche, et si l'on se reporte au second Tableau, on voit que :

Dans la Géométrie autour d'un élément B par exemple, on aura à considérer les fonctions ponctuelles 5 G, 4C, 3C, 2C; pour la Géométrie dans un élément D, on aura à considérer les fonc-

GÉOMÉTRIE AUTOUR i)E Ma DANS MP. Io3

lions tangentielles 4 G, 3 G, aG, cette dernière étant identique à la fonction poncluelle 2G qui est d'ailleurs un moment réduit; en sorte que l'étude des diDFérentes Géométries placées sur les bords du Tableau offre une importance particulière.

En Géométrie générale, on a rencontré des formules ponctuelles de Géométrie dans MP, parce qu'on a étudié un système de points; de même, etc.

liO. Théorème des déterminants de 8, etc. — Le moment de deux éléments Ma+n MP+* sera leur 8. Si Ton considère autour de Ma dans MP des éléments Ma^.i en nombre Pet des éléments MP+' en même nombre, on aura un théorème des déterminants de S analogue au théorème des déterminants de A, et donnant une propriété du moment réduit. On remarquera le cas P = N.

On aura, pour le moment de deux éléments M^^p, M^ "*"'*, une seconde propriété analogue à celle du. n^ 56; elle a été démontrée au n" 108 pour le cas a = o, et pour le cas p = o. Nous rappellerons, à ce propos, les formules des n*** 9 et 118 qui définissent les moments réduits; lorsqu'il n'y a pas d'indice A, ou d'indice /, on a la propriété du n** 108; dans le cas général, elles sont équivalentes à des formules de Géométrie dans MP autour de Ma.

141. Pseudo-écart; paramètre. — Dans l'espace réel on considère la distance de deux points, l'angle de deux droites qui se coupent, le dièdre de deux plans. Dans l'hyperespace, pour l'étude de la corrélation, on a considéré la pseudo-distance de deux points, le pseudo-angle de deux tropes; on a à considérer maintenant d'autres quantités, comparables à l'angle de deux droites qui se coupent. Reprenons le Tableau du n" 134 et considérons la première ligne de ce Tableau, pour laquelle N = 2, en modifiant la notation : si l'on prend deux éléments M^, ayant un M^t*i inscrit commun, et, par suite, un MJ~', circonscrit commun, on pourra définir leur pseudo-écart; on aura ainsi des quantités de différentes espèces en nombre n — i, parmi lesquelles seront la pseudodistance de deux points, le pseudo-angle de deux tropes. Si l'on considère alors, toujours pour la première ligne du Tableau, les éléments M^ qui passent par un élément M^^t^ et sont dans un élément M^~', circonscrit au premier, on pourra définir \v para-

Io4 CHAPITRE VIII.

mètre du sj^stème formé par un élément M^t', et un élément M^;;;] dont le second est circonscrit au premier; on aura ainsi des quantités de différentes espèces, en nombre n — i , parmi lesquelles seront le paramètre d'un rayon et le paramètre d'un axe; dans l'espace réel, on aurait par exemple trois sortes de paramètres : le paramètre d'un rayon, le paramètre d'un point dans un plan (relatif aux droites menées par le point dans le plan), le paramètre d'un axe.

Maintenant, en Géométrie autour de M^t*, dans MJ~}, les éléments extrêmes étant MJ MJ, deux éléments MJ auront un pseudoécart, deux éléments MJ auront un pseudo-écart; un élément Mp) aura un paramètre qui sera le paramètre du système M^t^M^] (le premier élément étant l'élément fixe autour duquel les figures sont construites), un élément ^V!^t\ aura un paramètre qui sera le paramètre du système MJ^J MJ~}. Par exemple, en Géométrie autour de A dans F, les éléments extrêmes étant B et E, deux éléments B auront un pseudo-écart, deux éléments E auront un pseudo-écart; un élément G aura un paramètre qui sera le paramètre du système A, G (case B de la première rangée), un élément D aura un paramètre qui sera le paramètre du système D, F (case E de la première rangée).

[En suivant l'idée indiquée au n*' 90 on a ceci : dans un élément MP, autour d'un élément Ma, il y a un paramètre ponctuel pour les éléments Ma+i passant par M» et situés dans MP, et un paramètre tangentiel pour les éléments MP"*"* situés dans MP et passant par Ma-

Par exemple, étant donnée une corrélation dans l'espace réel:

i" Un rayon a un paramètre; un point dans un plan donne lieu à un paramètre; un axe a un paramètre. On peut dire qu'une droite a un paramètre ponctuel et un paramètre tangentiel. On a ainsi les paramètres 8 indiqués au début de ce numéro.

2° Un plan a un paramètre ponctuel et un paramètre tangentiel selon qu'on y considère des systèmes de trois points ou des systèmes de trois droites. Un point de l'espace a un paramètre ponctuel el un paramètre tangentiel selon que l'on considère des triodes ou des trièdres; j'appelle triode un système de trois droites concourantes dans l'espace. r

3° L'espace MJ a un paramètre ponctuel, l'élément fictif M* a un paramètre tangentiel].

GÉOMÉTRIE AUTOUR DE M» DANS MP. Io5

142. Géométries de môme indice N. — Les différentes Géométries placées dans une même ligne horizontale, et pour lesquelles N ala même valeur, donnent lieu aux mêmes formules et peuvent être intimement rattachées. Nous poserons a + ^ = v, en sorte que les nombres V et N sont complémentaires par rapport à n. On fera une figure schématique formée d'un dièdre M*Mv+i, d'arête My; une droite M^ rencontre les faces en M^* et M| , et sur cette droite est un point N| ; un point Ma de l'arête détermine avec M^ un plan MP qui coupe les faces du dièdre suivant les droites MP+* Ma^.|.

Prenons un élément My et l'élément transformé M^; en Géométrie autour de My on a des éléments ponctuels My^, et des éléments tangentiels qui sont des tropes M* ; en Géométrie dans l'élément M^ on a des points M^ et des éléments tangentiels M^* ; d'ailleurs, les éléments My^^ et M* autour de My déterminent par intersection des éléments correspondants M^ et M^* dans M^. Plus généralement, soit Ma un élément inscrit dans My : cet élément et l'élément M^ déterminent un élément MP circonscrit (a-t- ^ = v); la Géométrie autour de Ma, dans MP, a des éléments ponctuels Ma+i et des éléments tangentiels MP"^*, que Ton peut rattacher soit aux éléments My^^ M* de la Géométrie autour de My, soit aux éléments M| M^* de la Géométrie dans M^. D'ailleurs, les deux éléments Ma et MP sont quelconques (le second étant naturellement circonscrit au premier); car, si l'on se donne Ma etMP, ce dernier a un primitif Mp qui avec Ma détermine un élément My : et le transformé M^ passe alors par MP.

Gela posé, en Géométrie autour de M», dans MP, les éléments qui remplacent le point et le trope sont les éléments Ma+i et les éléments MP**"' : ils ont Ma inscrit commun, MP circonscrit commun, et leur moment réduit est un A unique que l'on peut appeler leur S : je dis que, pour un point M| et un trope M* donnés, ce S est indépendant de l'élément Ma et même de la valeur de a; il est égal au A du point M.^ et du trope M^ En effet, pour avoir le o des deux éléments Ma^.! MP"*"*, il faut considérer les éléments transformés M'*'*'* Mp|,|, prendre le rayon qui rencontre les quatre éléments, et le 0- des deux points d'appui sur Ma+i et MP+*. Or, le point transformé du trope M* étant N^ ce rayon est M^Nj : il rencontre Ma+i et MP"*"* ; il rencontre aussi Mp^i qui passe par Nj ; il rencontre enfin M*+*, car tous deux sont dans l'élément M« irans-

lo6 CHAPITRE VIII.

formé de Ma, et si Ton forme le Tableau

Mo Ml M, . . . Ma+i M»,

on voit que les deux éléments M2 M*"*** ajant l'élément M* circonscrit commun ont un point M| commun. Le rayon MiN| étant identique à celui qui donne le A du point M^ et du trope M', le fait annoncé se trouve démontré.

Si l'on fait a = o, on voit que le moment du point M, et de l'élément M^' est égal au A du point M| et du trope M* ; cela rentre dans la formule

(Mi.Mi) = (Mi.Mv+i)(Mv.M»),

ce dernier moment étant égal à i parce que l'élément M^ passe au point Nj. Pour ^ = o on a un résultat analogue. Au début du Chap. VII on a obtenu le* cas particulier v = ai — 2 0uN = 2 avec a = o ou p = o.

143. On vient de considérer le S des deux éléments Ma^j MP+* ; car deux éléments sont de même espèce lorsqu'on a

c'est-à-dire v = /i — 2 ou N = 2. L'élément My est alors un axe, son transformé est un rayon; et l'on a (première ligne du Tableau 134, avec les notations du n" 140) deux éléments M^ OU ^ ayant un MJ"!!*, inscrit commun, un élément M^~*^ circonscrit commun. Pour /? = 1 on a deux points M et DXL sur le rayon, pour q = 1 on a les deux tropes m et [jl qui passent par l'axe et par les points M et Û\l ; et l'on a vu au n** 98 comment le o- des deux points est égal au 2 des deux tropes, parce que le rapport anharmonique MOlIliÛ' est égal au rapport anharmonique m^(ùio\ En général, prenons dans Taxe un élément M^i, et considérons les deux éléments M^, OlLy, définis par l^élément précédent et parles deux points M et Ort : il est facile de voir comment le moment de ces deux éléments est égal au moment des points M et Dit. L'élément Mp|û est un élément M^ conjugué de lui-même, car il est dans (1) et passe par Q, d'où il résulte que son transformé passe par Q et est dans w de manière à lui être associé; il en est de même de l'élément M^4Q'; et l'on a un rapport anharmonique égal au rapport anharmonique M r'^llLQû'; etc.

GÉOMÉTRIE AUTOUR DE Ma DANS MP. I07

On peut suivre le raisonnement sur une figure schématique formée de quatre plans (omjjLd)' passant par une droite A; une droite R coupe ces plans en ûMOULÛ'; un point M^4 de A détermine avec R un plan Mp~^ qui coupe les quatre plans, en particulier m et y, suivant JM;, et DïLp.

144. Étant donnés les deux éléments MaMP dont le premier est inscrit au second, la Géométrie autour de Ma dans MP peut se ramènera la Géométrie dans N^' autour de Np, ces éléments étant les transformées des deux premiers, et cela de deux manières différentes : on peut d'abord considérer les figures transformées des premières; on peut aussi couper les premières figures par N", et joindre les figures obtenues à* Np. On a un exemple dans ce fait que Tangle de deux grands cercles sur la sphère a même mesure que l'arc de grand cercle qui joint leurs pôles, ou encore même mesure que l'arc de grand cercle compris entre eux et dont les pôles sont à leurs points d'intersection.

14o. Figure de référence. — Pour étudier la Géométrie autour d'un élément Ma dans un élément MP, on prendrait dans la figure de référence un élément M^^ et un élément Mp, le premier défini par les tropes d'indices FG, le second défini par les points d'indices HG. On pourrait supposer, au moins au début, 9 = o, c'està-dire supprimer les indices communs G : de cette façon, l'élément de référence M* passerait par Mp, et la figure de référence serait un poljtrope de la Géométrie corrélative de celle que l'on étudie (un triangle pour la géométrie conique dans l'espace réel). On aurait pour le moment réduit la formule du n** H8, etc.; on considérerait d'abord le 8 de deux éléments Ma+i, M?"*"* ; on démontrerait le théorème des déterminants de 8; etc.

146. Les éléments M» et xMP sont dirigés. — Il est bien entendu que les éléments M» et MP sont dirigés; par exemple, pour le théorème des quatre éléments, dans la formule

OÙ l'on suppose Y -f- 8 = P, le premier moment est un moment autour de Ma dirigé dans MP dirigé, le second moment est un moment autour de Ma dirigé dans MP"'"^ dirigé, etc.

Je donnerai dans ce paragraphe un théorème remarquable, concernant des éléments M^^i qui ont un élément Ma inscrit commun, et des éléments M^''^* en même nombre qui ont un élément M* circonscrit commun; on pourra, dans l'énoncé de ce théorème, introduire un nombre p défini par la relation

an- p + N = /i,

N étant le nombre des éléments considérés : mais ici les deux nombres a et ^ ne joueront plus ic même rôle. Le théorème se rattache à la fonction ponctuelle du polytrope de la Géométrie autour de M^ dans MP, et à la fonction tangentielle du polytrope de la Géométrie dans M* autour de Mp.

Ce théorème, qui se déduit du théorème des déterminants de 8, donne lieu à un corollaire relatif au cas où le déterminant que l'on considère est égal à zéro; je donnerai d'abord ce corollaire en le démontrant directement.

147. Composition d'éléments M^+i ayant M» inscrit commun, d'éléments Ma^-* ayant M» circonscrit commun. — Soit un élément fixe Ma; les éléments ponctuels de la Géométrie autour de Ma sont des éléments Ma|.i, les éléments tangentiels sont des tropes : on peut composer des éléments Ma+o et obtenir un théorème des moments par rapport à un trope analogue au théorème des A pour la composition des points en Géométrie générale.

[Je ferai en passant la remarque suivante qui généralise un théorème de Mécanique dû à Leibnitz. Soient deux points M, M^^^ affectés de coefficients k^k^^ et M leur point résultant avec le coefficient k; considérons un élément Ma, et les éléments Ma+i qui passent par Ma et par les points M,M^,M respectivement : je dis que les deux éléments MaM, et MaM^, affectés des coefficients A", X (Ma. M,) et A-,, X (Ma. M,,) ont pour élément résultant l'élément MaM affecté du coefficient Ax(Ma.M). En effet, on a

par hypothèse

(M,M) (MMJ (M,M„) ,

GÉOMÉTRIE AUTOUR DE Ma DANS MP. IO9

or, d'après la relation établie à la fin du n® 151, on a

(Ma.M,)(Ma.M)x (MaM,.MaM) = (M,. M) x (Ma.M,M),

et des relations analogues ^ on peut donc, dans les rapports précédents, remplacer les numérateurs parles quantités ^a/i''m\ '"'>

ce qui démontre le fait annoncé. On peut alors, au lieu de deux points, en considérer un nombre quelconque. Si l'on prend maintenant un trope passant par Ma, et qu'on écrive le théorème des moments pour les points considérés par rapport au trope, en évaluant les A au moyen du théorème des quatre éléments, on obtient le théorème des moments pour les éléments Ma+i par rapport à un trope.]

Le théorème des moments par rapport à un trope passant par Ma peut être transformé, et l'on obtient un théorème des moments par rapport à un élément M*"^* tcTut à fait quelconque. En effet, l'élément Ma et un élément Mj[:î:â i déterminent un trope M;,.,, et le moment de cet élément et d'un élément Ma(.< passant par M» est proportionnel, d'après le théorème des quatre éléments, au moment de l'élément Mq^^^ et du trope. On aura une idée juste de ce théorème, en le comparant au théorème des moments par rapport à un axe tout à fait quelconque pour des forces concourantes et leur résultante. Si l'on désigne par x^x^^. .« les coordonnées des éléments composants pour un élément de référence M'^''"^, la coordonnée x de l'élément résultant est donnée par la formule

rCû!/ — K.,X , "T~ K. „X „ ~T~ • • . •

Soit de même un élément fixe M" : on peut composer des éléments M«+* situés dans cet élément fixe, etc.

[Si l'on considère plusieurs rayons issus d'un même point O, avec des coefficients K,K,, ..., on aura un rayon résultant issu de O avec un coefficient K. D'après la formule du n" 79, le paramètre 6 du ravon résultant sera lié aux paramètres 6' 9". . . des rayons composants par la formule

K ces e = K' cose'-f- K" 008 0" + ... .

On peut retrouver cette formule comme il suit. Etant donné un point O, et des points M, M,,. . . affectés de coefficients A*, A*,,. . . avec

le point résultant M affecté du coefficient A*, en retranchant les deux formules du n^ 42 et en tenant compte de la formule du n** 79, on a