X:(T(OM)cosO = X:,j(OM,)cosO'-h

et, diaprés une remarque faite plus haut, cette formule équivaut à la formule ci-dessus.

Dans le cas de deux rayons composants OM,,OMy déterminant un élément M3, on peut supposer qu'il s'agit de Géométrie plane, et comme alors (n® 87) le cosinus du paramètre est proportionnel au A d'un point fixe F et du rayon, la formule ci-dessus n'est autre chose que le théorème des A].

148. Déterminants nuls. — Prenons P éléments Mou|.< ayant un Ma inscrit commun, P éléments M^^"^* ayant un M* circonscrit commun, et formons le déterminant des moments des premiers avec les seconds.

Pour P = (/i — a) 4- I , le déterminant est nul.

PourP = (/i — a), le déterminant est nul si les (/i — a) éléments Ma+i sont dans un même trope, ou si les (/i — a) éléments M*+* passent par un même point.

Pour P < (/i — a), le déterminant est nul si les P élémen ts M a^« appartiennent à un élément Mfl^^.p l, ou si les P éléments M*+' passent par un élément M*"*""*""*, et plus généralement si les deux éléments M^+p et M""*''* déterminés par les deux groupes d'éléments sont associés.

En outre, le déterminant est nul si les deux éléments Ma et M" sont associés; car alors il existe un élément Ma^.! qui est associé à tous les éléments M*"*"* donnés, etc.

Pour P = 2, on peut dire : Etant donnés deux éléments MJ ayant Mp i inscrit commun et par suite Mî'"* circonscrit commun, et deux éléments M^ ayant Mp~^ circonscrit commun et par suite Mq i inscrit commun, le déterminant des moments de ces deux couples d'éléments est égal à zéro lorsque l'élément inscrit à l'un et l'élément circonscrit à l'autre sont associés. On aurait une figure schématique en considérant deux angles dans l'espace réel.

149. Avec d'autres notations, en remplaçant P par N, et défi-

GÉOMÉTRIE AUTOUR DE Ma DANS MP. 111

nJssant jâ par la relation a-|-|3 + N = /2, on peut dire : Étant donnés N éléments Ma^i passant par un élément Ma et qui déterminent un élément M^h-n ou MP, et N éléments M*"*** situés dans un élément M« et qui déterminent un élément M"'^'^ ou Mp, le déterminant des moments est nul si les deux élémçnts MP et Mp sont associés; il est encore nul si les deux éléments MaetM°' sont associés (mais il ne faut pas croire que a et ^ jouent ici le même rôle, sauf dans le cas N = 2).

Si Ton a N + I éléments Ma+i passant par un élément M», et N -4- 1 éléments M*"^' situés dans un élément M*, le déterminant des moments est encore nul si lesN + i premiers éléments appartiennent à un élément MaH N ou MP, ou si les N + i derniers éléments passent par un élément M*"^'"* ou Mp.

150. Théorème des déterminants de moments. — On a le théorème suivant auquel on peut donner le nom de théorème des déterminants de momentSy et qui se déduit du théorème des déterminants de 8 ; pour a = o, on a le théorème des déterminants de A :

Etant donnés P éléments Ma^.! ayant Ma inscrit commun, et P éléments M«+' ayant M* circonscrit commun (P^/i — a), le déterminant des rnoments des premiers avec les seconds a pour valeur le produit de la fonction ponctuelle des P premiers éléments par la fonction tangentielle des V derniers, multiplié par le moment des deux éléments Ma+p et M*"^** qu^ils déterminent, multiplié encore par la puissance (P — lyème ^^ ^q. ment des deux éléments M» et M«.

Si l'on met les éléments M*+* les premiers, le théorème reste exact avec le signe, en plaçant également M^"*"^ avant Ma^-p et M« avant Ma.

Pour P = 2, le théorème peut s'énoncer ainsi :

Etant donnés deux élémentsM^^ ayant Mp^ inscrit commun et par suite M^"* circonscrit commun (première rangée du Tableau 134), deux éléments M^ ayant M/*'* circonscrit commun et par suite M^| inscrit commun, le déterminant des moments de ces deux couples d^ éléments a pour valeur le produit du moment réduit des deux premiers par le moment réduit des

deux derniers, multiplié par le moment des deux éléments Mp iM.P~^ et par le moment des deux éléments M^~*M^|.

On a une figure schématique en considérant deux angles dans l'espace réel.

151. Ce théorème se ramène au théorème des déterminants de S pour la Géométrie dans M*. On veut démontrer la relation

[(Mi+i.Mf-^*)] = <i.2.(Ma4-p.Ma+P)(Ma.M«)P-S

les crochets indiquant un déterminant.

On fera cette figure schématique : dans un plan M* sont deux droites MJ'"*"* M""*"* se coupant en M*"^**; d'un point extérieur M» partent deux droites Ma+iMa+i déterminant un plan M.^^^ : elles coupent le plan M* en m' ml' et leur plan coupe M* suivant m^\ le reste est en pointillé : du point M^ on mène la perpendiculaire au plan M°^, de son pied on mène la perpendiculaire à mp, et l'on joint le pied de cette perpendiculaire au point M^; on fait de même pour le point M""^^, le plan Ma4 p, la droite mp.

Coupons les éléments Ma,i . . . issus de Ma par l'élément M* qui contient les éléments M«"*"*, et désignons par m! , , , les points d'interseclion; nous aurons, d'après le théorème des 4 éléments :

et aussi

(Ma.mp)

en appelant m^ l'élément défini par les P points m. La relation à démontrer devient

OU, d'après le théorème des déterminants de 8 pour les P points m et les P éléments Ma+*, dans M»,

(Ma.m')(Ma./^'')...X <t = a' x (Ma.mp), en désignant par o-' la fonction ponctuelle des P points m.

GÉOMÉTRIE AUTOUR DE Ma DANS MP. Il3

C'est donc cette dernière relation qu'il faut établir. Or, le

second membre est le moment du système d'éléments Mam'm" . . .

(n® H2), ou le moment du système d'éléments /n'm''. . ./n*'**Ma

multiplié par ( — |^Pia+i)^ q^ enfin, pour plus de commodité, le

moment du système d'éléments m}^K , ,m" m'.Mr^ multiplié par £

P(P— 1) en posant £ = ( — 1)'*^°'"^** x ( — 1) * ; c'est donc

£.(m'.Ma) X (/n".Maw') X (m'". M a m' m") x . . ., OU bien

s. (m'. Ma) x (/n".Ma)(Mam".Mam') X (m'"M^){Mr^m'" .Mrjim' m") x .. .,

ou enfin

(Ma./?i')(Ma.m')(Ma.m"')... X a

c'est-à-dire le premier membre de la relation, qui est ainsi démontrée.

On aurait une démonstration corrélative.

152. La relation que l'on vient d'obtenir est d'ailleurs intéressante par elle-même. Lorsque l'élément Ma est un point m, on a la formule

{m.m'.m" . . .) = {m,m'){rn,m'') , . . x a,

<j étant la fonction ponctuelle du système de rayons mnj,\ nini\ etc. ; c'est ainsi que, en Géométrie ordinaire, le sextuple du volume d'un tétraèdre ABCD est égal au produit des arêtes AB, AG, AD par le sinus du Irièdre A. On aurait une formule corrélative.

[J'indiquerai en passant la formule suivante. Dans le polytrope de référence, la formule h^ . » , h" = SqSq donne

s^^~ =( — [) S1S2 ' ' • Sfi—i .Ofi'i

c'est ainsi qu'on peut avoir le carré du volume sextuplé d'un tétraèdre en fonction des aires doublées des trois faces qui ont un sommet en D et du sinus du trièdre supplémentaire du trièdre D. On aurait une formule corrélative.]

En général, si l'on prend a points A^ Ao . . . Aa dans Ma, en multipliant les deux membres de la relation par la fonction ponctuelle de ces points, le second membre devient égal à la fonc-

Il4 CHAPITRE VIII.

lion ponctuelle des cl-\- p points A et /«, et l'on a la formule

(Al. Aï . . . Kf^.m' .m" , , . )

= (Al. A2 . . . Aa) X {M^.m'){Mai'm"), . . x (Mi-,i.Ma Hi .,. . .).

Par exemple, dans un tétraèdre X^K^ni m" , on a

6V = (Ai.A2)(AiAî.w')(A,A2.m')sin(AiA,//i', AiAs/w").

On peut donner une autre forme au résultat précédent et écrire (Al- Aj . . . Aoi.m' .m" . .".)

= (A,.A,...A;)''-. "^ (Ma+..M„ + , ....).

Quand il y a seulement deux points m' et m", cette formule rentre dans une formule relative au moment réduit de deux éléments; on a, par exemple, pour un tétraèdre

AV 2(Ai.Ao.m^)x 2(AiA;7>i'^) a ^' a a ^»n

oV = r-7 r — ^ X sin(Ai A2/n .Al A2m ).

(Aj.Aa)

Lorsque l'élément Ma est un point m, la formule que l'on vient d'écrire ne diffère pas de la première.

On aurait des formules corrélatives.

153. La formule donnée à la fin du n" 151 permet de ramener le théorème des déterminants de A pour p points et p tropes au théorème des déterminants de pour/? éléments M^^, elp tropes M* autour d'un élément M^ : celte réduction offre un certain intérêt, parce que le théorème auquel on ramène l'autre joue pour la Géométrie autour de M^ le rôle du théorème des déterminants de A pour n points et n tropes en Géométrie générale. Désignons les points par A, B, G, . . ., les tropes par a, 6, c, . ..; soit Mp l'élément déterminé par les points, M^ l'élément déterminé parles tropes; on veut démontrer la relation

[(a, A)] = (a.b .c , . .)(X.B .C . . .){Mp,Mp).

Si l'on désigne par a, P, y, ... les éléments M^^^ définis par l'élément M^ et les points A, B, G, . . ., on a, par le théorème des quatre éléments,

GÉOMÉTRIE AL'TOIU DE Ma DANS MP. Il5

et le premier membre de la relation devient

[(a,a)]x(MJ,A)(M^,B)...,

ou, en tenant compte du théorème des déterminants de S pour p tropes el p éléments M^^, en Géométrie autour de M^,

cette quantité sera égale au second membre de la relation si

Ton a

(a.p.Y...)(Mj\ A)(M^,B)...=(A.B.G...)(M/', Mp)

Or cette relation n'est autre chose que la relation du n** 131, pour P =/? et a = gr.

En particulier, la formule relative au produit h' h' . . . h^P^ dans un poljtropè se ramène à la formule qui joue, en Géométrie, autour de M^, le rôle de la formule relative au produit /z* A- . . . h"\ et l'on peut dire que la formule du n" loi est équivalente à la formule relative au produit h' li!' . . . h^PK

Au lieu de ramener le théorème des déterminants de A pour p points et/? tropes au théorème des déterminants de 8 pour p éléments M^^< et p tropes M* autour de M^, on pourrait le ramener au théorème des déterminants de 3 pour p points et p éléments M/'^* dans M^.

134. On peut démontrer le théorème des déterminants de moments par un calcul dont je donnerai une idée. On définit l'élément Ma par a points, et l'on donne un point pour définir chacun des éléments Ma+i, de sorte qu'on a a + P points; on a de même a -h P tropes en considérant l'élément M^, etc.; on applique le théorème des déterminants de A; on transforme le déterminant d'ordre a -j- P par des combinaisons de colonnes de manière à faire apparaître des zéros en nombre aP distribués dans un rectangle de dimensions a et P, ce qui met en évidence le produit d'un déterminant d'ordre a par un déterminant d'ordre P, les termes de ce dernier étant d'ailleurs des déterminants. Alors, pour que le théorème soit démontré, il reste à démontrer la relation du ii° 131 et la relation corrélative.