On peut énoncer le théorème des déterminants de mo

Il6 CHAPITRE VIII.

rtients avec la notation du n° 149, en remplaçant P par N et définissant p par la relation aH- ^ -h N = /i :

Étant donnés N éléments M^^i ayant Ma inscrit commun, et des N éléments M^^"*"* ayant M* circonscrit commun, le déterminant des moments des premiers avec les seconds a pour valeur le produit de la fonction ponctuelle des N premiers éléments par la fonction tangentielle des N derniers, multiplié par le moment des deux éléments MP et Mp qu'ils déterminent, multiplié encore par la puissance (N — i^eme j^, moment des deux éléments Ma et M*.

On peut alors classer les différents cas qui résultent de la valeur de a et de la valeur de N d'après le Tableau du n" 134; il faut seulement observer que les deux nombres a et p jouent ici des rôles bien différents. Par exemple, en reprenant l'hypothèse n = 7, soient quatre rayons B passant par un point A, et quatre axes E situés dans un trope F (voir le Tableau du n° 13S, et remarquer que le système 4B est un système ponctuel autour de A tandis que le système 4E est un système tangenliel dans F) : le déterminant des moments a pour valeur le produit de la fonction ponctuelle des quatre éléments B par la fonction tangentielle des quatre éléments E, multiplié par le moment des deux éléments E et B qu'ils déterminent, multiplié par le cube du moment des deux éléments A et F. Dans cet exemple, la case du Tableau du n® 133 qui contient le système ponctuel 4B est à gauche de celle qui contient le système tangenliel 4E; le contraire peut avoir lieu.

I06. Cas p = o. — Prenons le cas P = /i — a ou N = /i — a, ce qui revient à faire p = o dans la notation précédente. Pour donner un exemple, si nous supposons n = 7, en faisant N = 5, nous aurons à considérer cinq éléments C autour d'un rayon B, et cinq éléments D dans un axe E (voir le Tableau du n" 133); on remarque ici que, en Géométrie autour de B, le polytrope peut être défini par cinq tropes F déterminant, quatre à quatre, cinq éléments C qui sont les éléments ponctuels du polytrope :1a fonction tangentielle est connue, et l'on va rencontrer la fonction ponctuelle; de même, en Géométrie dans E, le polytrope peut être défini par cinq points A déterminant, quatre à quatre, cinq éléments D qui sont les éléments tangentiels du polytrope : la fonction ponctuelle est connue, et l'on va rencontrer la fonction

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laQgentielle. D'une manière générale, autour d'un élément M», le polytrope peut être défini par N tropes déterminant N éléments MJIlilî qui sont ses éléments ponctuels, et dont chacun est l'intersection de N — 1 de ces tropes; de même, dans un élément M^', le polytrope peut être défini par N points déterminant N éléments MJjtlî. Alors, dans le théorème des déterminants de moments, entrent la fonction ponctuelle «r des pol^'tropes de la Géométrie autour de Ma, et la fonction tangentielle S du polj'trope de la Géométrie dans M«; d'autre part, MP et Mp sont M» et Mo, et le premier moment disparaît : il reste seulement la puissance (N — ly^"'^ du moment de Ma et M».

Alors, en appliquant le théorème à un système de N éléments Ma^i ayant Ma inscrit commun, et à chacun des systèmes de N éléments M^^"*"* ayant M" circonscrit commun que fournit la figure de référence, on introduira à la puissance N — i les coordonnées de l'élément Mal on pourra donc obtenir ces coordonnées par des radicaux d'indice n — i en fonction de o-, et la relation entre les coordonnées de l'élément Ma fera connaître la fonction ponctuelle o- de N éléments Ma^-i en fonction de leurs coordonnées. C'est ainsi que, en Géométrie ordinaire, on pourrait évaluer le sinus d'un trièdre en coordonnées tétraédriques par des radicaux carrés.

De même, on pourra évaluer la fonction tangentielle S de N éléments M^"*"' ayant M* circonscrit commun; on aura, par

exemple, l'expression de la quantité (-^j pour un triangle en coordonnées tétraédriques.

157. Théorème des déterminants de comoments. — Si Ton considère P éléments Ma+ï ayant un élément M» inscrit commun, P autres éléments Ma+i ayant aussi un Ma inscrit commun, le déterminant des comoments donnera lieu à un théorème analogue au précédent; et l'on aura un théorème corrélatif en considérant deux systèmes de P éléments M*"**' ayant un M^* circonscrit commun. Pour P = 2, ces deux théorèmes se simplifient.

Dans le cas particulier où les deux éléments Ma sont identiques, leur comoment est égal à i et l'on obtient le théorème qui, en Géométrie autour de Ma, joue le rôle du théorème des déterminants de Y en Géométrie générale. De même, etc.

158. Explication de déterminants nuls. — Le carré de la fonclion ponctuelle de P éléments Ma^< ayant un Ma inscrit commun, et qui déterminent par conséquent un élément M^-hp, est donné par un déterminant d'ordre P dont les éléments sont des comomenls ou des expressions ^(n^ S9)> ^^ peut encore Técrire sous la forme d'un déterminant analogue au dernier déterminant du n° 38. Ces déterminants sont nuls lorsque l'élément inscrit M» est conjugué de lui-même, et aussi lorsque l'élément circonscrit M^+p est conjugué de lui-même : on en rendrait compte facilement (n°39). On généraliserait les remarques précédentes en considérant le théorème des déterminants de coraoments, comme on a dit au n° 62 qu'on pourrait généraliser les considérations indiquées au n° 39.

lo9. Pour P=2, le carré de la fonction ponctuelle ou du moment réduit de deux éléments M^ qui ontM^4 inscrit commun, M^""' circonscrit commun, donne lieu à des remarques relatives à l'équation aux A^ principaux. Si l'on reprend les considérations du n** H8 pour deux éléments M^ etc. (il faut faire P = i dans le n° 118), on voit que le carré du moment réduit ou de la fonction ponctuelle est nul dans deux cas : par exemple, dans l'espace réel, pour deux droites qui se coupent, le carré de la fonction ponctuelle est nul lorsque le point commun aux deux droites appartient à la quadrique des points doubles, et lorsque le plan des deux droites est tangent à la quadrique des plans doubles. D'ailleurs, en se bornant à ce cas particulier, on a

et aussi

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et l'on vérifierait que ces déterminants sont nuls dans les deux cas qu'on vient de signaler.

Si Ton considère deux droites concourantes M2 OK2, deux autres droites concourantes N2X2, les points de concours étant M, N, les plans communs étant mn,j la méthode du n° 118 généralisée donne pour la valeur du produit A. A', comoment (MN). comoment(m/i) l'expression suivante dans laquelle on a accentué les coordonnées des droites N2 et dZ>2

OU encore le second déterminant ci-dessus dans lequel les deux premières colonnes seraient accentuées, ou bien le premier déterminant ci-dessus dans lequel les secondes coordonnées seraient accentuées; on en déduit la formule

A.A'.com(M.N).com(/n.n) =

com(M2N2) com(M2X2) com(D11L2N2) com(DTL23^2)

qui rentre dans le théorème des déterminants des comoments. On rendrait compte des cas où les déterminants sont nuls.

On pourrait, dans les déterminants du huitième ordre qu'on vient de rencontrer, ne laisser que des coordonnées relatives à une figure de référence.

Le calcul précédent fait bien comprendre comment les déterminants considérés sont nuls dans deux cas, puisqu'on les obtient par la multiplication de deux formules; peut-être pourrait-on donner une explication analogue lorsque P est quelconque.