CORRÉLATION; POLARITÉ RÉCIPROQUE. GRANDEUR DES FIGURES

160. Corrélation quelconque. — On a défini au n" 18 la corrélation initiale, et c'est cette corrélation que Ton a considérée jusqu'ici. On pourrait maintenant définir une corrélation quelconque, en se donnant à volonté le poljtrope transformé du polytrope de référence : on aurait deux équationnelles doubles S'et^'; étant donnés deux points, en considérant les deux points d'intersection du rayon qui les joint avec l'équationnelle S', on aurait un rapport anharmoniqiie qui permettrait de définir la pseudo-distance de deux points dans la corrélation considérée; on aurait de même le pseudo-angle de deux tropes; on définirait ensuite le paramètre d'un rayon ou d'un axe, on aurait le t de deux points et le S de deux tropes, et l'on arriverait au A d'un point ou d'un trope ; on serait alors en mesure de faire voir que les formules de la corrélation initiale s'appliquent à une corrélation quelconque.

On verrait en particulier que le rapport anharmonique de quatre points sur un rayon, ou de quatre tropes passant par un axe, conserve la même expression, quelle que soit la corrélation dans laquelle on l'évalue : c'est là un fait essentiel, attendu que la pseudo-distance de deux points dans chaque corrélation et le pseudo-angle de deux tropes sont donnés par des rapports anharmoniques, et que pour la corrélation initiale on est forcé d'évaluer ces rapports anharmoniques dans la corrélation que l'on éludie.

161 . Correspondance P par polaires réciproques. — Au lieu d'iine corrélation C, on peut avoir une correspondance par polaires réciproques P. Les deux équationnelles doubles se confondent, et Ton a l'équationnelle directrice. L'élément primitif et l'élément

transformé d'un élément donné sont, au sens près, un même élément qui est l'élément polaire du premier par rapport à l'équationnelle directrice : les coordonnées de l'un sont égales aux coordonnées de l'autre multipliées par ( — i)P^. Comme vérification, étant donné un élément MJ dont le primitif et le transformé sont LJ et N J, si l'on écrit que le moment de deux éléments L et M est égal au moment de leurs transformées M et N, on a

ce qui est exact. On a un exemple frappant dans la rotation d'un angle droit autour d'un point fixe, les côtés étant dirigés : l'angle étant dans la position LOM, on peut l'amener dans la position MON. ON étant de sens contraire à OL; on peut encore faire glisser un quadrant sur une circonférence de cercle.

L'homographie de points conjugués sur chaque rayon, qui conduit au paramètre 0, est ici une involution; il en est de même de l'homographie de tropes autour d'un axe, qui conduit au para-

mètre 0. Le paramètre d'un rayon est -y Iç paramètre d'un axe

est ~ (on peu t revoir à ce propos le n® 87 ) ; le «r de deux points est

un sinus de pseudo-distance, le S de deux tropes est un sinus de pseudo-angle; les y et les F sont des cosinus.

Lecomoment de deux éléments est indépendant de l'ordre dans lequel on les prend. Le déterminant si du n°3 est un déterminant symétrique, etc.

162. J'indiquerai ici une formule intéressante pour la correspondance par polaires réciproques. Soient les quatre points A, B, C, D : ils donnent lieu aux trois systèmes (DA, BG), ( DB, CA), (DC, AB); on a

Y(DB) y(DG) Y(AB) y(AG)

^ œ(D, A) a(B, C).y(DA, BC)

et deux formules analogues; en ajoutant les trois formules, on a ' <j(D, A) œ(B, G).y( DA, BG) H-. . .-h. . . = o. On aurait une relation analogue pour quatre tropes.

163. Les A principaux dans une correspondance P. — Lorsque la corrélation est une correspondance par polaires réciproques, les A principaux relatifs à deux éléments M|^MJ sont les maxima et les minima de la quantité A(M[jl), M étant un point de Tun des éléments et |x un trope passant par l'autre; ou encore les maxima et les minima de o'(MOlL) ou de 2(m[jL). C'est ainsi que, en Géométrie ordinaire, le moment de deux droites est le produit de leur plus courte dislance par le sinus de Tangle maximum que font deux plans passant par ces deux droites. Ajoutons que, comme il s'agit ici de maxima et de minima relatifs à plusieurs variables indépendantes, ces mots doivent être pris dans un sens particulier : la fonction z=f{x^ y) étant représentée par une surface en coordonnées cartésiennes, il y a maximum ou minimum pour z aux points où le plan tangent est parallèle au plan des xy^ même lorsque, les courbures principales en ce point étant de sens contraires, le plan tangent traverse la surface; il y a alors maximum ou minimum pour z quand on chemine sur la surface le long d'une courbe non tangente à une asj'inptole de l'indicatrice du point.

En effet, si l'on se reporte au n° 102, on a

A(M fjL) = k, A:' A( M, \i!) -f- k, k" A(M, (x") -+- . . . -f- k„k' A(M,fji') -f- k^k" A(M„(jl' )-+-.. .

avec les relations

i = kj -h k^ -f- ... -h 2 k,k„ cos M, M„ -h . . . I = k'^ -h r2 -+- . . .-H ik'k' cos II' II"' -{-..,.

Pour les maxima et les minima de A, on a, en faisant varier d'abord les coefficients A^^

k' \(M,ii') -h k" MM,ii") ^ . . . A, A-, -f- A-,, cos ( M, M J -h . . . I '

et des relations analogues en faisant varier les coefficients A''. Or, ces relations sont identiques à celles du n" 102, ])arce que les ^ et le r sont ici des cosinus.

164. Correspondance métrique M. — En conservant une correspondance par polaires réciproques, on peut choisir une équa-

tionnelle particulière, que nous appellerons Véqitationnelle de V infini, et appeler distance de deux points la quantité qui était dans le cas précédent la pseudo-distance, et angle de deux tropes la quantité qui était le pseudo-angle; la correspondance par polaires réciproques relative à cette équationnelle est alors la correspondance métrique M. Pour prendre la distance d'un point M à un trope [jl, on prend par exemple le pôle X du trope par rapport à Téquationnelle, le rayon D'bM rencontre le trope en un point OTl, et l'on a la distance MOU.

Dans l'espace réel, en Géométrie non euclidienne, il existe sur chaque droite ou rayon deux points à l'infini qui sont les points où la droite rencontre la sphère de l'infini, et il passe par chaque droite ou axe deux plans isotropes (de coordonnées infinies) qui sont les plans tangents à la sphère de Tinfini menés par la droite. Si l'on mène par une droite un plan m et le plan perpendiculaire n\ les plans m et les plans n' forment une involution dont les plans doubles sont les plans isotropes de la droite, et l'on a le

paramètre -; je laisse de côté le fait corrélatif, en faisant observer

que la réalité des points à Tinfini sur une droite, et l'imaginarité des plans isotropes passant par une droite, amènent une diflérence physique entre les propriétés de la droite considérée comme ravon et celles de la droite considérée comme axe : en Géométrie sphérique, le rayon (grand' cercle) et l'axe (système de deux points) sont entièrement comparables, et l'involution sur chaque grand cercle de deux points séparés par un quadrant a ses points doubles imaginaires, absolument comme l'involution autour de chaque point de deux grands cercles perpendiculaires a ses éléments doubles imaginaires.

163. Figures égales. — Dans une corrélation C, lorsqu'on donne les y des points d'un polytrope considérés deux à deux, en tenant compte de Tordre, on a n{n — i) quantités qui déterminent le polytrope en position.

Relativement à la correspondance métrique, si Ton donne, pour un polytrope, les cosinus des distances des sommets considérés

deux à deux, on a seulement — ^ données, et nous dirons

que le polytrope est défini en grandeur : sa position dépend de

-^ paramètres; les cosinus des angles des faces considérées

deux à deux sont connus et, d'une manière générale, toutes les quantités considérées au Chapitre I pour le pol^lrope de référence sont déterminées. On peut définir un polytrope en donnant les cosinus des angles des faces considérées deux à deux, comme on définit un triangle sphérique en donnant ses angles.

On peut donner les (/i — i) arêtes issues d'un point, avec le polytrope d'ordre n — i que forment ces arêtes : le nombre de ces

j f ,(/i — i)(n — 7.) / \ n(n — t) ,,• • i données est^ ^ -h (n — i)= — -; c est ainsi qu un

tétraèdre peut être donné par trois arêtes et le trièdre qu'elles forment; à cela se rattache la première formule du n** 152. On aurait des données corrélatives.

Cette remarque en amène une autre. Pour définir un tétraèdre, on peut donner trois arêtes issues d'un point et le trièdre de ces arêtes; or, ce trièdre lui-même est un poljtrope en Géométrie autour d'un point, et, pour le définir, on peut donner deux angles et le dièdre compris : on peut donc définir un tétraèdre en donnant trois arêtes DC, DB, DA, deux angles (DC, DB) (DC, DA), et un dièdre (DCB, DCA). D'une manière générale, pour définir urj polytrope dans l'hyperespace, on peut donner (/? — i) arêtes, (n — 2) angles de rayons ayant un point commun, etc. ; le nombre

de ces données est « On a pour un tétraèdre la formule

6V = DC.DB.DA x sin(DG, DB).sin(DG, DA) x sin(DGB, DCA),

et l'on aurait une formule analogue pour un polytrope. On pourrait p'rendre des données corrélatives.

166. Deux figures sont égales lorsque, rapportées à deux polytropes égaux, elles ont mêmes coordonnées pour les points correspondants. Le nombre des paramètres de déplacement d'une figure

est ~ On peut faire sur ces paramètres de déplacement des

remarques qui doivent être précédées de notions sur les coordonnées polaires.