Coordonnées polaires. — Par analogie avec les coordon

nées polaires, planes et dansTespace, on peut rapporter les figures de rhjperespace à une figure de référence comprenant un point M|, un rayon Ma passant par le point, etc., un axe M,<2 et un trope M,i i passant par Taxe; les coordonnées polaires d'un point M sont : le moment M, M, le moment réduit du rayon Mg avec le rayon M|M, le moment réduit de l'élément M3 avec l'élément M2M, etc. On aurait,' de même, les coordonnées polaires d'un trope m; ce sont, en renversant l'ordre des éléments de référence, le moment M' m, le moment réduit de l'axe M^ avec l'axe M-m, etc.

168. Paramètres de déplacement des figures. — Pour fixer la position d'une figure, on peut fixer la position de la figure de référence à laquelle elle est rapportée. En coordonnées polaires ponctuelles, on a donc à fixer un point, un rayon passant par ce point, etc. ; en coordonnées polaires tangentielles, on a à fixer un trope, un axe de ce trope, etc.; on reconnaît ainsi que le nombre des paramètres de dc[)lacemenl d'une figure est

comme on l'a dit déjà.

On peut remarquer que la figure de référence des coordonnées polaires n'a aucun paramètre de grandeur, mais seulement des paramètres de déplacement.

169. Êquationnelles remarquables. — Pour certaines classes de figures, le nombre des paramètres de déplacement est moindre.

En Géométrie ordinaire, l'équation d'une surface en coordonnées polaires est y(p, 0, cj>) = o; le nombre des paramètres de déplacement est 3 + q -|- i , pour fixer le point, l'axe, le plan de référence. Si les coordonnées p et 8 entrent seules dans l'équation, on a une surface de révolution : le nombre des paramètres de déplacement est trois, pour fixer le point et l'^xe de référence; et en effet, pour une surface de révolution, on a à fixer un point de l'axe et l'axe, et le paramètre de déplacement autour de l'axe fait défaut. Si la coordonnée p entre seule dans l'équation, on a un svslème de sphères concentriques : le nombre des paramètres de déplacement est trois, pour fixer le point de référence; et en eflet, pour un système de sphères concentriques, on a à fixer le

centre commun, et les paramètres de déplacement autour d'un point font défaut. [Je ferai, à ce sujet, la remarque suivante : en Géométrie analytique à deux dimensions, lorsqu'on écrit qu'une conique du genre ellipse a, ses axes égaux, si l'on exige que la conique soit réelle, on a une condition qui se décompose en deux, et la conique est un cercle dépendant de trois paramètres; cela tient à ce que le cercle n'a que deux paramètres de déplacement dans le plan, le paramètre d'orientation faisant défaut. On aurait des faits analogues pour une quadrique dont deux axes deviennent égaux, pour une quadrique dont les trois axes deviennent égaux.] Considérons maintenant Thyperespace. Si, dans l'équation d'une équationnelle en coordonnées polaires ponctuelles, les q coordonnées relatives aux éléments de référence Mi..,M^ entrent seules, on a une équationnelle pour laquelle le nombre des paramètres de déplacement est (/i — i) +. . . + /?, ces paramètres déterminant la figure de référence; les paramètres de déplacement autour d'un élément MJ font défaut, leur nombre est

^^-^ '-•, et le nombre des paramètres de déplacement de la

fiffure est ^^^""'^ — ElEnil, L'élément Mj? de référence

{q^ri — 2) est lié à Téquationnelle considérée; en Géométrie ordinaire, c'est Taxe de la surface de révolution, ou le centre commun des sphères concentriques.

En appliquant des considérations analogues aux coordonnées polaires tangentielles, on aurait les mêmes équationnelles particulières. Soit d'abord la Géométrie spliérique : la figure de référence pour les coordonnées polaires ponctuelles étant formée du point A et du grand cercle b passent en A, prenons pour les coordonnées polaires tangentielles une figure de référence composée du grand cercle a dont le pôle est A, et du point B qui est le pôle de b\ soient p et les coordonnées ponctuelles d'un point M, et soient d» et les coordonnées tangentielles d'un grand cercle m : ^ est l'angle du grand cercle m avec le grand cercle a, 8 est l'arc du grand cercle a compris entre le point B et le point où ce grand cercle est rencontré par le grand cercle m\ l'équation p = const. représente un petit cercle de pôle A, et l'équation tangentielle de ce petit cercle est 'j» = const; en sorte que, dans ce cas, les équations ponctuelles p = const. et les équations tangen-

GRANDKUR DES FIGURES. I27

lielles di = const. représentent les mêmes courbes. -Dans Thyperespace, l'éqiiationnelle considérée en coordonnées polaires ponctuelles étant rapportée aux éléments M| . . . M^, on la rapportera en coordonnées polaii*es tangentielles à des éléments M* . . . MJ dont le dernier sera l'élément polaire de M J par rapport à l'équationnelle directrice; les paramètres de déplacement dans l'élément MJ feront défaut. (Pour les surfaces de révolution dans l'espace réel, M^ est Taxe, MJ est la droite à l'infini dans les plans des parallèles.)

170. On peut définir directement les équationnelles remarquables que l'on vient d'obtenir, et voir quel est le rôle des deux éléments M^MJ.

Nous ferons d'abord quelques remarques sur les enveloppes en général. Nous admettrons la notion d'une équationnelle comme lieu de points ou comme enveloppe de tropes : le premier point de vue menant au trope tangent, le second point de vue menant au point de contact. Soit maintenant une équationnelle variable dépendant de k paramètres ; si l'on prend une position E de l'équationnelle, et k positions infiniment voisines, les points communs vérifient A" -h i conditions : lorsque E varie, avec k paramètres, le lieu de ces points est une équationnelle qui est l'enveloppe de l'équalionnelle mobile^ ou bien, si l'on prend une position E de l'équationnelle, et k positions infiniment voisines, les tropes communs vérifient k + i conditions, etc.

Cela posé, reprenons d'abord les équationnelles du n° 88 : ce sont, pour la correspondance métrique, les équationnelles du second degré circonscrites à l'équationnelle de l'infini; le trope des points de contact étant a, le point commun aux tropes de contact étant A, pôle de a par rapport à l'équationnelle directrice, on a (t(A1VI) ^ const., S(am)= const.; il en résulte que ces équationnelles font partie de celles que l'on a considérées au n" 169, et correspondent au cas q = i : l'élément M^ est le point A, l'élément M^ est le trope a; elles jouent le rôle de la sphère en Géométrie ordinaire, et leurs paramètres de déplacement sont en nombre n — i ; les paramètres de déplacement autour du point A, ou dans le trope a, font défaut. Nous donnerons à ces équationnelles le nom d\^q nation nelles cycliques ; le point A

sera le centre, et AM sera le rayon; A est le pôle du Irope a qui est le Irope de contact avec l'équationnelle de rinfini. On doit observer que les points communs à deux équationnelles cycliques S + a^ = o, S -h p* = o sont les points d'intersection de la première avec les deux tropes a zb ^ = o; les points communs à trois équatiorinelles c^^cliques S -h a^ = o, S -+- ^^ = o, S 4- y* = o sont les points d'intersection de la première avec les quatre axes d'intersection des deux couples de tropes aiiip = o, a±:y = o; les points communs à des équationnelles cycliques, en nombre q^ sont les points d'intersection de Tune d'entre elles avec des éléments MJ~*^ en nombre 2^~^ De même, les tropes tangents communs à des équalionnelles cycliques, en nombre y, sont les tropes tangents à Tune d'elles menés par des éléments M^Jl;* en nombre 29'-*.

Considérons maintenant l'enveloppe d'une équationnelle cyclique dont le centre décrit un élément M^, et dont le rayon est fonction de la position du centre; le trope de contact de cette équationnelle avec l'équationnelle de l'infini passe par un élément fixe M^ qui est l'élément polaire de MJ par rapport à Téqualionnelle de Tinfini. Cette équationnelle dépend de y — i paramètres, et pour prendre l'enveloppe on prend q positions infiniment voisines; les points communs, points de contact de l'équationnelle cyclique avec l'enveloppe, sont les points où un élément MJ~*^ coupe l'une des équationnelles ; en effet, l'équationnelle mobile étant S + a^ = o, avec q — i paramètres dans a, pour avoir l'enveloppe on élimine ces paramètres entre les

q équations

'laa' = o, aaa' = o,

en représentant par a', a", ... les dérivées partielles de a par rapport aux paramètres; on trouve ainsi comme enveloppe, outre l'équationnelle de l'infini S = o, le lieu des points S-l-a^ =:^ o, a' = o, a" = o, . . . , qui sont les intersections de S -|- a^ ^^ o avec un élément M^;^^ ; cet élément variable passe d'ailleurs par l'élément M^ par lequel passe constamment le trope a. De même, les tropes tangents communs aux q positions infiniment voisines

de l'équationnelle cyclique, tropes de contact de Féquationnelle cyclique avec Tenveloppe, sont les tropes tangents à l'une des équationnelles menés par un élément M^^\ qui se meut dans l'élément M^ lieu du centre A. Or les équationnelles ainsi obtenues comme enveloppes sont précisément celles que l'on a considérées au n° 169; c'est ainsi qu'une surface de révolution est l'enveloppe d'une sphère ; les plans des parallèles passent par une droite fixe rejetée à l'infini, et les sommets des cônes circonscrits à la surface le long de ces parallèles décrivent l'axe de la surface.

171. Remarque sur le plan de cet Ouvrage. — On pourrait commencer l'élude de l'Hyperespace par l'étude de la correspondance métrique; on étudierait ensuite la corrélation. Pour éviter des calculs formant double emploi, j'ai abordé immédiatement l'étude de la corrélation ; et je pense que la raison essentielle de la possibilité de cette étude immédiate consiste en ce fait que le rapport anharmonique de quatre points sur un rayon, ou de quatre* tropes passant par un axe, conserve la même expression, quelle que soit la corrélation dans laquelle on l'évalue; il y a là un élément fondamental et, pour ainsi dire, inattaquable.

17:2. Remarque sur le nombre des données y- — Pour l'étude de la corrélation initiale, et pour l'élude de toute corrélation, les données sont les y des points de référence i , 2, . . . , /i considérés deux à deux ; ce sont les quantités Yi2i 7211 • • • 5 nous ferons une remarque importante sur le nombre de ces données. Les formules de la corrélation générale sont

d'où il résulte qu'une corrélation dépend de n^ — i paramètres; en mettant à part les paramètres a\ , a\^ . . . , le nombre des paramètres peut s'écrire n — 1 H ; x 2. Or, Le nombre des

données v est seulement x 2, attendu fiu on a

l3o CHAPITRE I\.

Il faut en conclure, non pas que nos calculs se rapportent à une corrélation d'une espèce particulière, mais bien que les mêmes calculs se rapportent à différentes corrélations; absolument comme les calculs de la Géométrie sphérique se rapportent à une sphère d'un rajon quelconque, lequel n'apparaît pas dans ces calculs. Et la raison est la même au fond dans les deux cas : en Géométrie sphérique, les arcs sont rapportés à .une unité qui d 'pend du rayon de la sphère, et dans nos calculs les pseudodistances M 011, les paramètres 6, et les quantités A parmi lesquelles sont les coordonnées du point et celles du trope, se rapportent à Téquationnelle double S; c'est là un fait essentiel, tju'on ne doit pas perdre de vue.

173. On peut entrer plus avant dans la question. D'une part, une corrélation peut être déterminée : i" par l'équationnelle

double S qui dépend seulement de (/? — i)-\ -— ; paramètres,

puisqu'elle ne dépend que des coefficients a\ et des sommes

a'^ -h a^ ; a" par les paramètres 6 des ~ rayons de référence,

lesquels dépendent des différences a^^ — «20 d'autre part, les formules que nous étudions ne dépendent que des données ^12, v^i, . . , ou encore elles ne dépendent que des 8 ci-dessus et des pseudo-distances 12, ••• ou des rapports anharmoniques (1 âQQ') ... ; il en résulte que, les 8 étant donnés, toutes les équationnelles S qui donnent les mêmes valeurs aux pseudo-distances

12, ... donnent lieu aux mêmes formules : elles dépendent de n — I paramètres arbitraires. Ainsi, pour une corrélation quelconque, on prendra un polytrope de référence i, 2, ..., /z et l'on se donnera les y de ses points considérés deux à deux; les

— ^^ paramètres y seront détermines, ainsi que les — ^^ -

pseudo-distances telles que 12, ou encore les rapports anharmoniques correspondants relatifs à l'équationnelle double S; on se donnera à volonté [n — 1) points sur les {n — i) rayons issus d'un sommet de référence, on assujettira l'équationnelle S à passer par ces points, et Ton imaginera qu'elle est alors déterminée de

manière a donner aux ; rapports anharmoniques dont il