CONSTRUCTIONS
Pour voir quelles sont les constructions que l'on peut faire en Géométrie non euclidienne as^c la règle et le compas, il faut chercher la forme de l'équation de la ligne droite et du cercl(>.
Coordonnées.
17. Soient P et Q les projections d'un point M sur deux axes rectan
gulaires Qx, Oy.
Fig. i4.
J'appelle coordonnées normales du point M, et je désigne par X, Y, Z
les trois quantités
shQM, shPM, chOM.
J'appelle coordonnées homogènes du point M, et je désigne par x^ y, z trois nombres proportionnels à X, Y, Z :
X = shQM, Y = shPM, Z =chOM,
-3 A Ay
X représentant n'importe quel nombre, réel ou imaginaire, autre que zéro.
(39) Soit CD Tangle que fait OM avec Ox; comme
X = shOMcoso), Y = shOM sinw, Z=chOM,
on voit que X, Y, Z sont liés par la relation
D'ailleurs, Z = chOM est essentiellement positif. Quant aux coordonnées homogènes x, y, z, si elles sont réelles, elles doivent satisfaire à la condition
Les rapports ~» ^ ont une signification géométrique remarquable r
jc shQM IhQM . ,.,. .,.,.
7^dû)M=^cTÔQ = '*^^^^ (^^)'
y shPM thPM
z ""chOM ~chOP -"*^^^'-
On pourrait prendre ces rapports pour coordonnées du point M : c'est ce que fait Beltrami; mais alors on serait obligé d'attribuer des valeurs infinies aux coordonnées de certains points idéaux. En employant des coordonnées homogènes, on évite cet inconvénient, et, en outre, on arrive à des formules plus symétriques.
Transformation des coordonnées.
18. Soient X', \'', Z' les coordonnées normales du point M relativement à un second système rectangulaire x'O'y' de même sens que ^*0 v, c'est-à-dire que, si l'on déplace le système xOy dans le plan de manière que Ox prenne la position 0'x\ Oy vient s'appliquer sur OV et non sur son prolongement.
Supposons d'abord que les deux origines et 0' coïncident.
Soient a {fig, i5) l'angle de Oo?' avec Oj?, et w' Tangle de OM avec
(^x'\ on a
X = sh OM ces ( w' -H «),
' Y=shOMsin(w'-ha), Z =chOM = Z'.
Mais
par conséquent,
X'= shOMcosG)', Y' = shOMsinw';
X = X'cosa — Y' sin«, Y = X' sin« -h Y'cosa, Z =Z'.
Fig. i5.
On voit que le déterminant des coefficients de X', Y', 7J dans ces formules est égal à -h i, et qu'on a identiquement
Supposons ensuite que la nouvelle origine 0' {fig. rG) se trouve
Fig. i6.
sur Oa?, et que la direction O'a?' coïncide avec la direction Oar,
Soient
Xo = sh 00', Yo =0, Zo = cil 00'
les coordonnées de la nouvelle origine.
On a d'abord
puis, dans le triangle OO'M,
shOMcosb) chOM
c'est-à-dire
shOO' chO'M ■+- chOO' shO'M cosw', chOO' chO'M -h shOO' shO'M cos«';
Ainsi les formules de transformation sont
A. £âQ A. "T~ A.q£a y
iu — — r^o A. "+~ Aq Jj •
Ici encore, le déterminant des coefficients de X', Y', Z' est égal à I, et l'on a identiquement
Considérons enfin le cas général. Soit 0' a?'' (y?^. i7)Ie prolongement
Fig. 17.
(le 00' ; pourpasser du système xOy au système x'O'y, on peut prendre deux systèmes intermédiaires a7"0y,a;'0'y" ayant un axe commun; et alors on voit par ce qui précède que les formules générales de transformation sont de la forme
i X = aX'+a'Y'-+-a''Z', Y = 6X'+6'Y'-»-6'Z',
Z=:cX' + c'Y' + c'Z',
et qiKî les neuf coefficients a, b,c, ... sont des nombres réels satis faisant à Tidentité
et à la condition
Il est clair que, si les deux systèmes ocOy^ ^'Oj' étaient de sens contraire, le déterminant précédent serait égal à — i.
L'identité X^ + Y^ - 7^~ X'^ + Y'^ - Z'^ équivaut aux six conditions
a a' -h bb' — ce' o,
eï'î + 6'» c'« -
a'a'-hb'b' c'c"— o,
a'^rt-h 6*^^ — c^c o,
qui permettent de résoudre les formules (i) par rapport à X', Y', Z';
on trouve
I X'= rtX -t-ÔY-cZ,
(3) Y'z= rt'XH-^^'Y-c'Z,
I Z'=z=-a''X-//YH-c'^Z.
Il en résulte que, entre les coordonnées homogènes ce, y, z du point M dans le système ccOy et les coordonnées homogènes x\ y, z' du même point dans le système x'O' y\ il existe les relations
et» par conséquent,
I Xj7'= ax -^ by — C5, iT^y'^z a^x-\-Vy — c'^.
X désignant un nombre quelconque différent de zéro. En faisant
X'=0, Y'rziO, Z'=I
dans les formules (i), on voit que a'\ b% c" sont les coordonnées nor-
maies de la nouvelle origine 0' dans l'ancien système. En désignant ces coordonnées par Xo, Yo, Z^, la dernière des formules (3),
devient
chO'M = - XnX ~ YoY -h ZoZ,
formule qui donne la distance de deux points quelconques 0' et M, et que nous retrouverons plus loin.
Distance d'un point à une droite. Coordonnées d*une droite.
Équation d*une droite ou d*un point.
19. SoientMPIa distance du point M à la droiteDCy?^. i8), et OA la
Fig. i8.
perpendiculaire abaissée de Torigine sur cette droite. Dans le quadrilatère birectangle OAPM, on a (16)
shMP = shOA chOM — chOA shOM cosAOM.
(Considérons un ^o'mi fixe B situé sur le prolongement de OA, du côté de A ou du côté de ; si nous regardons la distance MF comme positive quand les points M et B sont de part et d'autre de la droite D, et comme négative dans le cas contraire, et que nous fassions la même convention pour la distance OA, nous aurons dans tous les cas
shMP = shOA chOM — chOA shOM cos^OM,
ou, en désignant par co et 3 les angles que OM et OB font avec Oar,
shMP — shOA chOM - chOA shOM cos( w — P),
OU enfin
shMP - WZ
