V-chOAsin
Y shOMsino),
W-shOA,
Z — chOM.
X, Y, Z sont les coordonnées normales du point M; par analogie, nous dirons que U, V, W sont les coordonnées normales de la droite D. En changeant le sens de la direction OB, on aurait un second système de coordonnées normales — U, — V, — W.
J'appelle coordonnées homogènes de la droite D trois nombres réels ou imaginaires u, ç, w proportionnels à U, V, W.
On voit que U, V, W sont liés par la relation
et que les coordonnées homogènes u, ç^, w doivent satisfaire, quand elles sont réelles, à la condition
Si Ton définit le point M et la droite D par des coordonnées homogènes, la formule (i) devient
shMP= —
V «* -h i'* — fv* sjz' — y^ — ^*
Ainsi l'équation
UX -h vy — WZ ■=. o
peut être regardée soit comme l'équation ponctuelle de la droite D, soit comme l'équation tangentielle du point M.
Formules de transformation.
20. Soient X', Y', Z' et U', V, W les coordonnées normales du
point M et de la droite D relativement à un second système oj'OV.
On a aussi
shMP = W'Z'-V'Y'-U'X',
d'où
UXh-VY- WZ=:U'X'^-V'Y'— W'Z';
et cette égalité doit devenir une identité quand on y remplace soit X', Y', Z' par leurs valeurs en fonction de X, Y, Z données par les formules (3) du n** 18, soit X, Y, Z par leurs valeurs en fonction de X', Y', Z'. On trouve ainsi
(i) ) y--bl]'-\-b^\'-\-b"\\\
U'— aU+ bV -cW,
Par conséquent, les formules de transformation pour les coordonnées tangentielles sont les mêmes que pour les coordonnées ponctuelles; la raison en est que les coordonnées d'une droite sont, comme nous le verrons plus loin, les coordonnées d'un point «V/ea/qu'on appelle le /?r)/(P de cette droite.
Il résulte des formules précédentes que, entre les coordonnées homogènes w, ç», iv de la droite D dans le système xOy et les coordonnées homogènes u\ v\ w' de la même droite dans le système x'0'y\ on a les relations
/ "ku' ^=iau -{- bv — cu%
( 3 ) \ Iv^ =: a^ u \- b' {^ — c' < V,
d'où
X» ( 1/'* 4- t^'* — 11^") I- //* -h 1'» — il-'.
Si, dans les formules (i), on fait
un voit que les coordonnées normales de O'x' dans le système xOy sont a', b', c\ De même, a, è, c sont les coordonnées normales de O'y . Mais si la droite D passe par la nouvelle origine 0' (^g. 19), en menant O'N perpendiculaire sur cette droite, on a, par définition,
V — sinx'N — ±: cosx'D;
or
V'"«'lI-4-^'V-c'W,
et nous venons de voir que a', h\ & sont les coordonnées normales de
O'o?' dans le système xOy\ donc, en désignant ces coordonnées par Uo, Vo, Wo, on a
± cos^ = UUo -\- VVo - WWo,
formule qui donne l'angle de deux droites et que nous retrouverons plus loin.
Droites et points imaginaires, réels, limites ou idéaux.
âl. Soit .r, j, z un système quelconque de trois nombres réels ou imaginaires qui ne soient pas tous nuls, on convient de dire que ces trois nombres sont les coordonnées d'un point.
On dit que deux points sont identiques quand leurs coordonnées sont proportionnelles.
.r,j, z étant donnés, on considère les nombres x', y^ z' définis par les formules (4 ) du n*" 18 comme les coordonnées dans le système x'O'f du point qui a pour coordonnées j:, j, z dans le système xOj\
On dit qu'un point est imaginaire quand ses coordonnées x, j, z ne sont pas proportionnelles à trois nombres réels.
Si, au contraire, x, j-, z sont proportionnels à trois nombres réels .ro, joi ^o» on dit que le point o?, j, z est
réel
si xî -4- yi
limite
si xj -h 75
idéal
si xj -^- ri
Soit u, tfy w on système quelconque de trois nombres réels ou imaginaires qui ne soient pas tous nuls, on convient de dire que ces trois nombres sont les coordonnées d'une droite.
On dit que deux droites sont identiques quand leurs coordonnées sont proportionnelles.
u, v^ (V étant donnés, on considère les nombres w', v', w' déGnis par les formules ( 3 ) du n° 20 comme les coordonnées dans le système x'O'/ de la droite qui a pour coordonnées u, t», tv dans le système xOf.
On dit qu'une droite est imaginaire quand ses coordonnées e/, (^, w ne sont pas proportionnelles à trois nombres réels.
Si, au contraire, u, p, w sont proportionnels à trois nombres réels uq^ vq^ wq, on dit que la droite u^ c, w est
réelle
si
limite
si
idéale
si
Les formules qui déterminent x\ y y z' en fonction de or, j, z montrent d'ailleurs que, si un point est imaginaire dans le système xOj'y il Test aussi dans le système x'Oy, De même, sMl est réel, limite ou idéal.
On dit qu'un point x, /, z est sur une droite u^ c, w lorsque
ux -\-vy — wz = G.
Soient j^i, ji, z^ et .r,, j, zx deux points d'une droite, tous les autres points de celte droite auront des coordonnées de la forme
z = "kZi 4- [X3j.
Les formules qui déterminent u\ %>\ w'eix fonction de u^v^w montrent d'ailleurs que, si une droite est imaginaire dans le système xOx, elle l'est aussi dans le système x'O'j '. De mémo, si elle est réelle, limite ou idéale.
On dit qu'une droite m, (>, w passe par un point a:, Xt ^ lorsque
tt.r -h p/ — WZ — G.
Soient «/|, c^i, w\ et «j, cj, wj deux des droites qui passent par un point, toutes les droites passant par ce point ont des coordonnées de la forme
U — lui -f- [Xi/t,
(3n dit qu'un point x, y, z est sur le cercle limite lorsque
j^î | yî ^
et alors, les coordonnées x\y\ s' de ce point dans un autre système de coordonnées vérifient aussi la relation
donc l'équation du cercle limite est
dans tous les systèmes de coordonnées.
On dit qu'une droite w, ^, w est tangente au cercle limite quand elle n'a qu'un point commun avec lui, c'est-à-dire quand les deux solutions du système
a:* -hy^ — 5*=-= o ux -+- vy — wz = o,
sont confondues, ce qui arrive lorsque
et alors les coordonnées w', 9\ «^''de cette droite dans un autre système
de coordonnées vérifient aussi la relation donc l'équation tangentielle du cercle limite est
tt'-h r
dans tous les systèmes de coordonnées.
Rapport anharmonique.
±2. Soient Ai, As, A3, A« quatre points situés sur une même droite et définis par leurs coordonnées a?/, yt^ zi.
Si les deux premiers points sont distincts, les coordonnées des deux derniers sont de In forme
et alors les trois rapports
ri «s — 3,^8 . ri^* — «i.n
2i Xa — JFiZa
s j X3 JTj Z3
y\Zw — z\X\
ont pour valeur commune
!f . ii'.
et cette valeur commune ne change pas ni quand on multiplie par un môme nombre les coordonnées de l'un des quatre points, ni quand on rapporte ces quatre points à un autre svstème de coordonnées.
D'ailleurs, si les deux premiers points coïncident, nos trois rapports sont évidemment égaux à Tunité.
C'est la valeur commune de ces trois rapports qu'on appelle le rapport anharmo-
Soient D|, Dj, Ds, D4 quatre droites passant par un même point et définies par leurs coordonnées «/, p/, «c/.
Si les deux premières sont distinctes, les coordonnées des deux dernières sont de la forme
«3 = Xw, -t- [i«j. «4 = X'wi -f- jitt'j,
(;, = Xp, H- [Ai;,, v^ = XV| -H [iV,,
a'3 =r X ff 1 -H [jL«'j ; «'4 — Vwx-x' }i'«'j ; et alors les trois rapports
w^Vr,
^'\^% — «iWs . «'1M4 —
W'j U% «, (Vs «'j «4 -
- Wj 1^4
tti Pj — (>i «8 . Wl ^* —
l/st^S— PS^S M2P4 —
ont pour valeur commune
et cette valeur commune ne change pas ni quand on multiplie par un même nombre les coordonnées de l'une des quatre droites, ni quand on rapporte ces quatre droites à un autre système de coordonnées.
D'ailleurs, si les deux premières droites coïncident, nos trois rapports sont évidemment égaux à l'unité.
C'est la valeur commune de ces trois rapports qu'on appelle le rapport anharmo-
nique des quatre points Ai, Aj, A3, A4 et qu'on désigne par le symbole
(AiAjAjA*).
Pour trouver la signification géométrique du rapport anharmonique de quatre points géométriques, prenons pour axe des x la droite sur laquelle ils sont situés, et alors, en remplaçant les coordonnées x et 2 par leurs valeurs dans
ZxX% — X%Z% Z\X^ — '^tZ^
on trouve
(AiA,A3A4) =
shAïAa , shAiAi
shAsAs * shAjA^
nique des quatre droites Di, Dj, D», D4 et qu'on désigne par le symbole
(DiD,D,D4).
Pour trouver la signiGcation géométrique du rapport anharmonique de quatre droites géométriques, prenons pour origine leur point de concours, et alors, en remplaçant les coordonnées u Qi v par leurs valeurs dans
Ml Vz — V\ Uj . «t (^ •— t'i Uf,
on trouve
^ ^ smDsD3 smDiD*
Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite A, , A^, A3. A4 est égala celui des quatre droites qui les joignent à un point extérieur ^0» 7o» ^0- Car, en désignant les coordonnées des quatre points comme ci-dessus, les équations des deux premières droites sont
Di^
œ y z •^0 yo ^0
^i yt ^j
et celles des deux autres sont
XDi-hfxDj = o, X'Di-hfx'D,=:o:
donc le rapport anharmonique des quatre droites et celui des quatre
points ont pour valeur commune ^ I y?'
Dans le cas où A, , A^, A3, A4 et le point extérieur sont des points géométriques, en abaissant OH perpendiculaire sur la droite des quatre points, on peut écrire
sh A, A3 sh OH = sh OA^ sh OA, sin A , OA3 et trois autres relations analogues. On en déduit
shAïAj . shAiA4 sinAiOAj . sinAjOA^
shAjAs * shÀjA4 " sinAjÔA, * sinAjOA4
Ainsi les raisonnements basés sur la considération du rapport anharmonique, en particulier, la théorie des pôles et polaires et les propriétés harmoniques du quadrangle et du quadrilatère subsistent en Géométrie non euclidienne.
Pour abréger, nous appellerons pôle d'une droite ou polaire d'un point le pôle de cette droite ou la polaire de ce point par rapport au cercle limite x^ -h y^ ^ z^ = o.
La polaire d'un point réel est une droite idéale, et la polaire d'un point idéal est une droite réelle.
Distance de deux points.
23. Soient A et A, deux points géométriques définis par des coordonnées homogènes 0?, y, z et a;<, jo 2^. Joignons ces deux points à
Fi g. 20.
l'origine {fig* 20); en désignant par co et par o), les angles que OA et 0A< font avec Oj?, le triangle OAA< donne
ch AA, = chOA chOAi — shOA shOA, cos(w — wi ),
c'est-à-dire
chAA,
-1 — r.vi — XX y
y/^rzys ^jc^sjz\--y\ — x\
En posant
Pi Q
on en déduit
thAAj
\/Q'-PPi Q
( 5i ) d'où
gîAA,
Q-v/Q^-PPi ou
«AA, — t . tL
en désignant par ^j ^ les racines de l'équation
Mais cette équation exprime que le point de la droite AA| dont les coordonnées sont
appartient au cercle limite z^ —y^ — a?' = o. Donc, si A' et A" sont les points d'intersection de la droite AA, avec le cercle limite, le rap-
port Ç7 : Çj? est précisément le rapport anharmonique des quatre points
A, A|, A', A"; et, par conséquent,
AAi=ilog(AAiA'A").
Nous avons supposé que A et A^ sont deux points géométriques; mais, s'il s'agit de deux points quelconques, nous définirons la distance AA| par l'égalité précédente. Ainsi :
La dislance de deux points est le demi-logarithme du rapport anharmonique formé par ces deux points avec les deux points où la droite qui les joint rencontre le cercle limite (Klein).
En partant de celte définition et en refaisant les calculs précédents en sens inverse, on retrouve la formule
chAAi=:
A—yyx —
XOC \
sjz'^ — y^ — x^ \Jz\ — y\ — ^\
Gomme on peut permuter les points A' et A", la distance AA, est susceptible de deux séries de valeurs de la forme
ô étant Tune de ces valeurs. Ces deux séries correspondent aux deux directions que Ton peut considérer sur la droite AA, ; ni est la période, c'est-à-dire la longueur de la droite entière.
La distance AA< est égale à une demi-période — quand
(AA,A'A')=-i,
c'est-à-dire quand les points A et A| sont conjugués par rapport au cercle limite.
Enfin la distance AA| est infinie quand l'un des points A ou Af est sur le cercle limite : d'où le nom de cercle de Vinfini qu'on donne habituellement au cercle limite.
Angle de deux droites.
24. Soient D et D, (^fig^ 21) deux droites géométriques qui se coupent en un point P ; et soient OA et 0A< les perpendiculaires abaissées
Fig. ai.
de l'origine sur ces deux droites. Désignons par o) et par co^ les angles que OA et OA, font avec Oa?; le triangle PAA, montre que ± cosDD, a pour valeur
— sinOAAi sinOA, A -h cosOAA, cosOAi A chAAi
et, en considérant le triangle OAA|, on voit que cette valeur est
égale à
shOA shOA, -— chOA cliOAi cos(&) — wj);
(53) donc, en définissant les droites D, D, par des coordonnées homogènes
a =:XchOA COSCO, Wi=: Xi chOAi COSCi)!,
c=:XchOA sinco, ^1 = ^1 chOAi sinûJi,
tv = X sh OA, Wj = Xj sh OAi,
on a
cosDDi =
y/a* -\- v^ — w^ ^u\ -^ v] — iv\
formule déjà trouvée au n** 20.
En raisonnant comme au numéro précédent, on trouve que, en appelant D' et D" les tangentes au cercle limite issues du point P,
DDr=:^.log(DD,iyD"),
Pour établir cette formule, nous avons supposé que D et D< sont deux droites géométriques concourantes; s'il s'agit de deux droites
quelconques, nous définirons l'angle DD| par cette formule même. Ainsi :
V angle de deux droites est le produit de — . par le logarithme du rap-
port anharmonique formé par ces deux droites avec les tangentes au cercle limite menées par leur point de concours (Klein). /
En partant de cette définition, on retrouve la formule
Comme on peut permuter D' et D^, l'angle DD, a deux séries de valeurs
^TTib a.
a étant l'une de ces valeurs.
La période estir : c'est Tangle que doit décrire une droite en tournant autour de l'un de ses points pour revenir s'appliquer sur ellemême.
L'angle DD, est égal à une demi-période - quand
(DD,D'D"):z=~i,
c'est-à-dire quand les droites D et D, sont conjuguées par rapport au cercle limite.
Ainsi toutes les perpendiculaires à une droite passent par son pôle. Deux droites ont toujours une perpendiculaire commune, savoir X^l polaire de leur point de concours, mais cette perpendiculaire commune n'est réelle que si les deux droites se rencontrent en un point idéal.
Hauteurs d'un triangle.
25. Les trois hauteurs d'un triangle concourent en un même point
