RÉEL, LIMITE OU IDÉAL

Ce théorème est vrai, quelle que soit la nature des côtés ou des sommets du triangle, et se démontre comme en Géométrie euclidienne. En effet, soient

les équation^ des trois côtés du triangle; en remarquant que la condition de perpendicularité de deux droites m, 9y mp' et «<, t^,, w^ est

et en posant

on voit que les trois hauteurs ont pour équations

et, par conséquent, concourent en un même point.

Droites parallèles.

26. Lorsque deux droites D et D| se coupent sur le cercle limite, les tangentes D' et D" au cercle limite menées par leur point de concours se confondent; et alors, le rapport anharmonique (DD< D'D") étant égal à l'unité, l'angle des deux droites D et D, est nul.

Étant donnés un point géométrique A {fig- 22) et une droite géométrique D, nous allons montrer qu'on peut construire les deux droites

qui joignent le point A aux points d'intersection de la droite D avec le cercle limite.

Prenons pour axe des x la droite D et pour axe des y la perpendicu-

Ig. 22.

laire abaissée du point A sur la droite D, et posons, pour abréger,

Ok=zà.

L'équation d'une droite passant par le point A et faisant un angle co avec l'axe des y est de la forme

shdtangci) ' ïhd

les coordonnées du point où cette droite rencontre Taxe des^r satisfont à la relation

donc ce point est réel, limite ou idéal, selon que tangco est inférieur, égal ou supérieur à -^•

Mais Bolyai a montré que l'on ^eut construire un angle dont la tangente soit égale à -r-g-

En effet, menons BF perpendiculaire à Ox en un point quelconque B, abaissons AC perpendiculaire sur BF, et, du point B comme centre avec AC pour rayon, décrivons un arc de cercle qui rencontre nécessairement OA en un point E, car AC > BO : l'angle OEB est l'angle cherché. Car, en désignant cet angle par A, on a (16)

sinA =

shOB shAC

châ'

( 56) d'où

(2) langA = -T-T' c. Q. F. D.

Par conséquent, si Ton mène par le point A deux droites AP et AP' faisant avec AO un angle égal à A, ces deux droites AP et AP' passeront par les points d'intersection de la droite D avec le cercle linaite.

D'après ce qu'on a vu plus haut, une droite ADi qui passe par le point A et qui fait avec AO un angle o) moindre que A rencontre la droite D en un point réel; mais il n'en résulte pas que ce point ait une existence géométrique : il faut le démontrer.

Il ne servirait à rien de dire que, shStango) étant moindre que l'unité, la droite AD, rencontre la droite D en un point M tel que thOM = shStango); car nous admettons bien qu'il existe un nombre [x tel que th[jL = shStango), mais nous n'admettons pas qu'il existe nécessairement une longueur OM qui ait pour mesure ce nombre [x.

Pour lever la difficulté, remarquons qu'on peut trouver sur OD un

point M' tel que

thOM'>shôlangw;

il en résulte que l'angle OAM' est plus grand que l'angle co, et alots la droite AD^, tombant à l'intérieur de l'angle OAM', rencontre nécessairement OM' en un point M. c. q. f. d.

Considérons maintenant une droite AD^ faisant avec AO un angle aigu OAD2 plus grand que A. Au point de vue géométrique, les deux droites D et Dj ne se rencontrent pas; mais on peut construire une perpendiculaire commune à ces deux droites. En effet, nous savons (8) qu'on peut trouver sur ADg un point F dont la distance à la droite AP soit plus grande que AO, et alors, en abaissant FB perpendiculaire sur Ox, on aura, à plus forte raison, FB > AO; donc, dans le quadrilatère birectangle AOBF, l'angle F est aigu (6). Mais l'angle OAF est aussi aigu, par hypothèse; par conséquent, les perpendiculaires AC et FG abaissées des points A et F sur BF et sur AO se coupent nécessairement en un point H, et, dans le triangle AHF, la hauteur HJ, issue du point H, passe par le point de concours des deux autres hauteurs AG et FC (25), c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à OB :

(57) ainsi cette hauteur HJ est k la fois perpendiculaire aux deux droites D

et D^.

D^ailleurs on peut le vérifier. En effet, abaissons HI perpendiculaire surOB. Ona(16)

thOA chOB IhlH "" chlB'

thBF chOB , thlH "■ chOr

ensuite, en abaissant AJ et FJ' perpendiculaires sur IH,

thOArztblJ chOI, IhBF =lhirchIB,

d'où IJ = IJ'; donc les points J, J' coïncident. c. q. f. d.

Ainsi, étant donnés un point A et une droite D, nous avons pu construire deux droites AP et AP' telles qu'une droite passant par le point A rencontre ou ne rencontre pas la droite D, selon qu'elle est ou n'est pas située dans l'angle PAP'.

Lobatschewsky exprime ce fait en disant que les deux droites AP et AP' sont parallèles à D, l'une dans un sens, l'autre dans l'autre.

A notre point de vue, deux droites sont parallèles quand elles se coupent sur le cercle de l'infini; il en résulte immédiatement que deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

L'angle A, que nous avons appris à construire, s'appelle Vangle de parallélisme correspondant à la distance S; Lobatschewsky le désigne

par II(ô) :