DD,== -.AA

l* angle de deux droites est égal au produit de -. par la distance de leurs pôles.

Donc on peut dire, dans un certain sens, que, si Ton a deux triangles tels que les sommets de l'un soient les pôles de l'autre, les angles

de l'un sont égaux aux côtés de l'autre multipliés par --

Mais, comme l'angle de deux droites et la distance de deux points sont susceptibles chacun de deux séries de valeurs, si l'on veut arriver à un énoncé précis, il faut auparavant définir ce qu'on entend par côtés et par angles d'un triangle.

Soient A,, Aj, A, trois points définis par leurs coordonnées x^, V/, Z'i. Les coordonnées des trois droites A2A3, A3A1, A,Ao sont les mineurs du déterminant

•^3 .Yi

el ces mineurs, que je désigne par x\^ y\, z\, sont aussi les coordonnées des pôles A',, A^, A3 de ces trois droites.

Les distances AjA,, AjA^, A^A^ et les angles AjAiAj, A^A^Aj, AjAjAj sont susceptibles chacun d'une infinité de valeurs. Désignons par

«I» «î, ûfa, A|, Aj, A5

un systènne de valeurs de ces six quantités, et posons, pour abréger,

Vij — ZiZj — ytfj — XiXj,

nous aurons

pj P* P'

clî'«i = TTlF' ch*a, = p-^» ch«a, ^ p-îf-;

COS'AiZz ", , COS'Aa— '^, , COS«A,= — -11;-;

d'où, en s'aidant des identités

et autres analogues, on déduit d'abord

, . (PuPu-PiiP»)' (cha,cha,-£cha,)'

cos A, (p„p,^«p;^)(P^^p„pjj - sh»a,sh«a,

(0 \ avec

£ = chflichajchas p p ^ = ±: i ;

* Î3*^31 * lî

puis

, , (cosAjCOsA,— e'cosA,)*

Ch*ai= 7-^. r--:-T >

sin^AsSin'Aj (2) { avec

t' = cosAiCOsA^cosA» p/ ' p"p^*^ = zh i ;

ensuite

par conséquent

sn «, — p p — - p p >

*t«'33 *^H*SJ

sin*Ai sin-Aj sin'As sh'^i ~ sh*a* sh'flr.

(]eci posé, nous dirons que a,, a^, a^. A,, A2, A., sont les côtés et les angles de l'un des triangles A, AjA,, si ces six quantités vérifient les neuf relations

pî pï 13Ï

cil- «1 = D-ij- > ch* a, = 15-77- > ch* rï, = 15— L

*^22A 33 *^38* Il * Il ■

cha, cha,cha3 z= 4- .^ >