II
(3) < cosAiSha, shara= cha, chaa— cha,, cosAsShas shai=:cha3cha, — cha,, cosAjsha, sha,=r ch^i cha, — chas,
sinAi sinAj sinAj sh^i sha, shfi]
Mais si ces neuf relations sont vérifiées, on en déduit, en comparant les sept premières à la relation (t),
(4) cos'Ai— , " , cos'A,= '' , (;os^\3— , '* ;
puis, des cinq dernières, on tire, par un calcul direct,
cha, sinAtSinAs= cosAjCosAj-f- cosA,, cha, sinA3sinAi = cosA, cosA,-+- cosA,,
(5) ; cha, sinA, sinA,=^cosA, cosA,-h rosAs,
sha, sha, sha, ^
sinA, sinAi sinAa'
après quoi la formule (2) montre que
(6) cosAi cosA,cosA,= — p>"pf \>/* '
(6i ) On a ainsi neuf relations nouvelles (4)f (5), (6) : en y faisant
a, = 7ri — A'/, Ai=:7r r?
(7) <aj=7rt — Aj£, Aj = 7r ^>
a^^zzTzi — Aj£, Ai=:lT
on a neuf relations de la forme (3) entre les six nouvelles quantités ^i»^2»^i» A'^, A.J, A',; donc ces six quantités sont les côtés et les angles A'' un triangle A, A., A,, qui est dit le triangle polaire du triangle A, AjAj dont les éléments sonta^, a^, a^^ A<, A.^, A3.
Or, en négligeant les multiples de it: et de 27:1, les formules (3) définissent G4 systèmes de valeurs pour a,, a^, a,, A|, A^, A3, à chacun desquels correspond, en vertu des formules (7), un système do valeurs pour a,, a',, a\. A',, A!j, A'^.
Il y a donc (S\ couples de triangles polaires.
Points opposés.
28. Pour que a,, a^, a^ soient les côtés d'w/i triangle AjA^A,, il
faut et il suffît qu'on puisse trouver pour chacun des radicaux vP// une valeur déterminée, telle qu'on ait à la fois
chai 13= y chai— ^ , » chaj=:
n/p7,v^P3. v^Pwy/Pi, y/Pus/P
Dans cet ordre d'idées, il convient de définir un point quelconque par des coordonnées normales X, Y, Z liées par la relation
et de regarder les deux points X, Y, Z et — X, — Y, — Z comme distincts : on peut, si l'on veut, considérer ces deux points, que nous appellerons />o«/î/5 opposés, comme situés, l'un sur le recto, l'autre sur le verso du plan.
En regardant toujours les nombres X', Y', Z' définis par les formules
X'= aX-+-^Y-cZ,
comme les coordonnées normales dans le système x'Oy du point qui a pour coordonnées X, Y, Z dans le système xOy, on voit que deux points qui sont opposés dans le système xOy le sont aussi dans le système x'O'y.
Les formules précédentes montrent que la valeur de
ne change pas quand on passe d'un système de coordonnées à un autre ; donc on peut définir chA, A2 par la formule
chA,A,= -X,X,-Y,Y,-4-ZiZ,.
Au point de vue actuel, toute droite UX-h VY— WZ = o a deux pôles opposés U/, V/, W« et — U/, — \i\ -- We.
En appelant? celui des pôles de Oy qui a pour coordonnées i, o, o, et Q celui des pôles de Ox qui a pour coordonnées o, i, o, on a
chPA,==-£Xi, chQA, = -j:Y,.
De même, en prenant o, o, 1 pour coordonnées du point o,
chOAi=:Zi;
par conséquent, la formule qui définit chAA, peut s'écrire
chA,A,= chPAichPA,-hchQA, chQA,-hchOA|ChOA,.
Ensuite, soit P' celui des pôles de O'j' qui a pour coordonnées 1,0,0 dans le système x'Oy,, Q' celui des pôles de O'^r' qui a pour coordonnées o,«,o, et soient 0,0, i les coordonnées de l'origine 0'. Les coordonnées des trois points P', Q', 0' dans le système xOy sont
aif bif ci; a'i, b' i^ c'i; a'\ b", c";
de sorte que, en désignant par A un point quelconque, les formules de transformation prennent la forme
chP'A = chPP'chPA ^ch QP'chQA -4-chOP'chOA, chQ'A = chPQ'chPA -h chQQ' chQA -h chOQ'chOA, chO'A=--chPO^chPA-f-chQO'chQA-+-cliO()'chOA;
ces formules subsistent d'ailleurs quel que soit le triangle P'Q'O' pourvu que le triangle PQO soit trirectangle.
On pourrait prendre chP'A, chQ'A, chO'A pour coordonnées du point A relativement au triangle P'Q'O'; mais il est inutile de muhiplier les systèmes de coordonnées. Nous remarquerons seulemen t qu'on a une image très nette de la manière dont nous envisageons actuellement la Géométrie non euclidienne, en considérant sur une sphère un triangle trirectangle OPQ, et un petit cercle ayant pour centre le pointO
Fig. 23.
et pour rayon sphérique la huitième partie d'une circonférence de grand cercle. Nous ferons jouer à ce petit cercle le rôle du cercle limite en définissant la distance AA,(y?«^. 28) de deux points de la sphère comme le demi-logarithme du rapport anharmoniquc formé par ces deux points A et A, avec les points A' et A" où le grand cercle AA, rencontre le petit cercle :
. , I , sin AA' sinA,A' AA,= - log — ^^,^ : ^:^;
sinAA'' sinA,A"
ensuite, en prenant pour coordonnées du point A les trois quantités
