X:=echPA, Y = fchQA, Z = chOA
on retrouve sans peine toutes les fornoules précédentes, et Ton voit que, pour distinguer deux points û?«Vï//ie7nzfem^/i/ opposés, on est obligé de leur attribuer des coordonnées égales et de signes contraires. Revenons à la formule
chA,A,=::Z,Z,-Y,Y,-X,X„
qui définit la distance A, Aj de deux points du plan.
Si l'on se donne pour cette distance une valeur déterminée a satisfaisant à la relation précédente, les points A', A" où la droite A, A.^ rencontre le cercle limite sont déterminés par l'égalité
On trouve que les coordonnées du point A' sont
X,-c«X„ Yt-e«Y„ Z,-e^Z„
et celles du point A"
X,-e-«X„ Yi-e-«Y„ Z,-e «Z,.
Par conséquent, la distance de deux autres points A, et A4 situés sur la droite A, A^ est déterminée à 2/11:1 près par les deux formules
chAaAv^^ZjZ*— Y3Y4— XaX4,
A3A4 = ilog(A3A4A'A^).
Il en résulte que, si Ton considère sur la droite À.Aa un point A
tel que
A|A = p, AAj=:a — p,
les coordonnées X, Y\ Z de ce point sont définies par les égalités
IXsha=r X, sh(a — p) -+- Xjshp, Ysha = Y, sh(a — p)-h Yjshp, Z sh a =r Zi sh (a — p ) -h Z, sh p.
Kn particulier, les coordonnées normales du milieu de A, A^ sont
V Xi 4- Xa y Il "t~ 1« y Z| -h /a
3 ch - 2 ch - 2 ch -
Inversement, si l'on donne les coordonnées normales d*un point A de la droite Â. A» sous la forme
\=z ).X|-h fxX*, Y^XY, 4-|ulY,, Z = XZ| •+- /xZi,
la distance A, A = p est déterminée k im:i près par les égalités
Xsha rr:'sh(a — p), jULsha := shp,
d*où
fx sh A , A
Dans le cas où les points A,, A, sont conjugués, en faisant
i ▲ --tu/
a = A|Aii=H î
on trouve que les coordonnées du point A situé sur A, Aj et tel que
A, A = p sont
IX -= Xichp — /shpX;, Y — Y, chp — /shpYj, Z := Z| chp — I shpZ..
Transversales.
29. Soient A,, A^, A, les trois sommets d'un triangle définis pjir leurs coordonnées normales X,, Y,, Z,, et ux -h ry ^ %vz = o l'équation d'une droite D. Cette droite rencontre le côté A^ Aj en deux points opposés : soit B, l'un de ces deux points; on a, en vertu des formules
du numéro précédent,
shB|A, D,
shB^A^-^D,' en posant
De même, soient B^ Tun des points d'intersection de la droite P avec A3 A,, et B3 l'un des points d'intersection de cette même droite, avec
A, Ao, on a
shBgA, shB.A,
shB.A,
d*où, en multipliant membre a membre,
shBiAg shBjA, shlV)Ai shBiA} shBjAi shBjAi
C'est le théorème de Ménélaûs. Il est bon de remarquer que ce théorème n'a de sens qu'autant qu'on regarde deux points opposés comme distincts; car, autrement, chaque distance telle que B^Aj ne serait déterminée qu'à /i ire près et, par conséquent, chacun des trois rapports serait susceptible de deux valeurs égales et de signes contraires.
Soit Ao un quatrième point, Xo, Yp, Zq ses coordonnées; désignons par C< l'un des deux points d'intersection de A„ A, avec le côté A^ A,, et posons
nous aurons, comme plus haut,
shC|Aî (o v'i)
shC,A, ~ (ôi 3)'
De même, en appelant C^ l'un des points d'intersection de A^^A^
avec A, A, el C3 l'un des points d'intersection de A^Aj avec A, A..,,
on a
shCjAs (028)
shCjA, shCsA,
shCaAj ' * (o3 2)'
d'où, en multipliant membre à membre,
shC,Aj shCsAa sh(],A
ï^hCiAs shdjA, sIiC^tAo
Ce dernier théorème montre que les trois médianes d'un triangle concourent en un même point.
Cercles, horicycles et hypercycles.
30. J'appelle cycle le lieu des points équidistants d'un point fixe appelé centre et, par conséquent, aussi équidistants de la polaire du centre, que j'appellerai Vaxe du cycle.
Je réserve le nom de cercle pour les cycles qui ont pour centre un point reW; quant aux cycles qui ont pour centre un point zrf<?a/ et, par conséquent, pour axe une droite réelle, je les désigne sous le nom (Y hypercycles.
Un hypercycle se compose évidemment de deux branches situées de part et d'autre de Taxe.
En désignant par x^, v^, z^ les coordonnées du centre et par R le rayon, l'équation du cycle est, en coordonnées homogènes,
(i) (35o-j/o-^^or=chni(c;~rj-^;)(^»~7«-^*).
Cette équation, qu'on peut mettre sous la forme plus simple et tout aussi générale
(2) {zZq— yy^—xx^Y—z^'— y^—x^,
montre qu'un cycle n'est autre chose qu'une courbe du second degré bitangente au cercle limite z^ — y^ — x- = o\ \2i cordé des contacts est l'axe du cycle et son pôle est le centre (Klein).
Dans le cas particulier où o^o, jo» ^0 ^^^^ d^s nombres réels satisfaisant à la relation
-*•() Yù '^■0 ^^ ^»
l'équation (2) représente une courbe rc^e/fe, puisque z^ — y'^ — j;->o, à laquelle Lobatschewsky a donné le nom (Vhoricycle, et que l'on peut regarder comme un cycle de rayon infini, puisque la distance du point -^0» Jo» ^0 à tout point du plan est alors infinie. Pour trouver une propriété géométrique de cette courbe que l'on puisse prendre pour définition, il convient de remplacer les coordonnées homogènes .r, y, z
(68) par des coordonnées normales X, Y, Z liées par la relation
l'équation (j) devient alors
Considérons deux points quelconques de la courbe A, et A.^ définis par leurs coordonnées X,, Y,, Z, et Xj,, Y^, Zj :
Ai-Sq — l iJ)'o — Xj JTq^^ I, f-àt^Q — ^2^0 — A 2 .270 im: I ,
et formons l'équation
ZZ,- YY,- XXi= ZZ,- YYî- XX,
de la perpendiculaire au milieu de AjA^ : on voit que cette perpendiculaire passe par le point limite x^, y^, Zq, c'est-à-dire qu'elle est parallèle à n'importe quelle droite passant par ce même point a?o,j«» ^o- Ainsi on peut définir un horicycle comme le lieu des symétriques d'un point ^xe A, par rapport à toutes les droites parallèles à une droite fixe D (^g. 2/4).
Fig. 2i.
En partant de cette définition, on pourra construire autant de points de riioricycle qu'on voudra, puisqu'on sait mener une infinité de parallèles a la droite D (26).
Il résulte encore de cette définition que, si l'on considère deux points quelconques de l'horicycle A, et A^, les rayons A,B|, A2B2, c'est-à-dire les parallèles à la droite D menées par les deux points A4 et A2, sont également inclinés sur la corde A, A2 : c'est cette propriété que Lobatschewsky et Bolyai prennent pour définition de l'horicycle.
Deux horicycles sont superposables, car ils coïncident aussitôt qu'ils ont un point et un rayon commun.
Axes radicaux.
