I- / kOA
liïn/„— 2sn — •
C'est cette limite qui est, par définition, la mesure de la longueur
de Tare OA. Ainsi
ni kOA arcOA=i2sh
Considérons maintenant un point fixe B situé surO/et défini par ses coordonnées o, Y,,Z,. L'équation d'une droite passant parce point est de la forme
XX4-Z,Y-Y,Z = o;
et, en formant Féquation aux X'des points d'intersection A et A' de cette droite avec l'horicycle, on trouve
2XX 4- Z,X»— Y,(X«4- 2) — o.
Le produit des racines de cette équation reste constant quand la sécante tourne autour du point B. Ainsi
shAPshA'P'=:consl.,
ou
. OA , OA' sh — sh ^= const.
Par conséquent, étant données deux longueurs a et a', on peut construire une longueur x telle que
sh'^ = shasha'.
Car, sur l'horicycle déterminé par le point et le rayon Oj, on peut trouver deux points A et A' situés de part et d'autre de 0/ et à des distances de Oy respectivement égales à a et à a'
Menons AA' qui rencontre Oy en un point B, et, par ce point B, me-
nons une perpendiculaire à Oj qui rencontre Thoricycleenun point M: nous aurons
sh*BM=:shAPshA'P',
d'où BM = X.
D'ailleurs on peut se dispenser de construire le point M en remarquant que le point B a même puissance par rapport à tous les cycles passant par A et A'; donc, en décrivant un demi-cercle sur AA' comme diamètre et en menant par le point B une perpendiculaire à AA' qui rencontre ce demi-cercle en un point N, on a
BN = BM=:a7.
On aurait pu déterminer les points A et A' de façon que
OA 2- '^'
OA'
OM
et alors on aurait eu x
Expression générale des longueurs que Ton peut construire avec la régie
et le compas.
41. Désignons par F une fonction algébrique qui ne contienne pas d'autres symboles irrationnels que des radicaux d'indice égal à 2.
Il résulte du numéro précédent que, étant donnés des longueurs a,, ^2, «3, ... et des nombres entiers /i|, /ig, /I3, . . ., on peut construire une longueur x telle que
sh^ = F(sha,, shaj, . . ., /ij, /ij, . . . ),.
pourvu que la fonction F soit homogène et du premier degré par rapport aux quantités sha,, sh^o,....
Il est aisé d'en conclure qu'on ne peut construire une longueur x telle que
En eflTet, cette égalité peut s'écrire
Or, si l'on remplace c"» par
sha
2sh
ai /sh* 2 ai
ai y 4sh^a,- '
i (F -h ^ j devient une fonction homogène et du degré o des quantités
sh2a, et sha/; donc, en se donnant une longueur arbitraire b, on peut construire une longueur j telle que
sh& 2
ensuite, en supposant j> 6, on construira un angle A tel que
Shj__ I ^
sh6 siuA^ et alors on sera ramené à construire une longueur x telle que
chx =z —. r-,
siiiA
ce que Ton sait faire (26).
On abrège notablement les constructions en s'appuyant sur la relation qui existe entre la corde AA' et \^ flèche BC d'un arc d'horicycle
{fig. 3j). Pour établir cette relation, prenons la corde AA' pour axe des X et la flèche BC pour axe des y; l'équation de l'horicycle est
Z-+-Y-chCAi=:o.
En écrivant que cette équation est vérifiée par les coordonnées du
point B, on a
chCB -h shCB — chCA = o
ou
«cBrrchCA.
On voit d'ailleurs que, étant donnée Tune des longueurs CA ou CB, on peut construire l'autre.
Ceci posé, si Ton veut construire œ de façon que
on commencera par déterminer des longueurs 6/ telles que
, , Sh2Ô,
e*. — ch bi = — r-r >
de sorte que, la fonction F devenant homogène et de degré o par rapport aux quantités shsfr/ et sh6/, en se donnant une longueur arbitraire k, on pourra construire une longueur j telle que
shx
shX:
après quoi on construit, comme plus haut, une longueur js telle que
chz =
sh.r shX:'
et enfin x de façon que
e' =ichz.
Pour se convaincre que la formule (i) donne bien l'expression générale des longueurs que l'on peut construire avec la règle et le compas, il suffit de remarquer que l'équation d'un cercle est de la forme
et que l'équation d'une droite passant par deux points est de la forme
^i yi ^1 ^1 y\ ^j
Si donc on considère une série de points déterminés par l'intersection d'une série de droites et de cercles, le premier cercle ayant pour centre un point arbitraire de la première droite, tous les autres cercles ayant pour centre un des points déjà obtenus, et toutes les autres droites passant par deux des points déjà obtenus, il est clair que, en dé-
signant par Tf, r^, ... Ie$ rayons des cercles successifs, la distance è de deux points quelconques de la série sera donnée par une équation de la forme
F représentant une fonction algébrique qui ne contient pas d'autres
symboles irrationnels que des radicaux d'indice égal à 2.
Comme cas particulier, il peut arriver qu'un certain nombre des
rayons r^ aient une valeur arbitraire qui n'influe pas sur la distance B
des deux points que Ton considère et que tous les autres rayons
soient égaux à la distance de deux points déjà obtenus : dans ce cas,
on a
e5 = F(/i„ /ij, /i„ ...)»
F désignant toujours une fonction de même forme que précédemment, et w<, ^2, ... représentant des nombres entiers déterminés. II en résulte que e^ est racine d'une certaine équation à coefficients entiers.
Or M. Hermite a démontré que le nombre e n'est racine d'aucune équation à coefficients entiers: donc il est impossible de construire une longueur S qui, dans le système adopté, ait pour mesure le nombre i, c'est-à-dire que la longueur K que Bolyai appelle Vanité naturelle de longueur (iO) ne peut pas se construire avec la règle et le compas.
Si, parmi les quantités données, figurent des angles co/, on construira des longueurs 6/, c^ telles que
sh bi
-r — = smw,:
shci
par conséquent, l'expression générale des longueurs que l'on peut construire avec la règle et le compas est alors donnée par la formule
e* = F(e''., es . . . , e*-.', e^a', ...).
De même, pour l'expression générale des angles que l'on peut construire avec la règle et le compas, on a
e*'zz:F(e"»., e«., ..., e«»', e*-,^, . . . ).
la
Constructions particulières.
42. Étant données deux longueurs a et b^ construire deux longueurs X et y telles que
i shj7 4-shr = sha,
Soient OA et OA' deux cordes d'un horicycle H {fig^ v^6) ayant pour longueurs respectives q.x et 2y ; nous savons que
^ AA' ^ OA , OA' sh = sh h sh :
donc la corde AA' sera égale à aa, et, par suite, cette corde sera tangente à un horicycle H' concentrique à H et facile à déterminer. Ensuite, par le point B où AA' rencontre le rayon Oj, menons une perpendiculaire à Oj qui rencontre Thoricycle H en un point M : nous
aurons
