TRIGONOMÉTRIE

4. On sait (voir Éléments de Legendre ou Géométrie de MM. Rouché et de Gomberousse) que la somme des trois angles d'un triangle ne I peut surpasser deux angles droits et que, s'il existe un triangle pour lequel cette somme soit égale à deux angles droits, il en sera de même pour tout autre triangle.

Donc il n'y a que deux hypothèses possibles : ou la somme des trois angles est égale à deux angles droits dans tous les triangles, ou bien elle est dans tous moindre que deux angles droits.

La première hypothèse conduit à la Géométrie ordinaire. La seconde sert de base à la Géométrie que Gauss a appelée Géométrie non euclidienne, et que je me propose d'établir après Lobatschewsky, Bolyai, etc.

Nous supposons donc que la somme des trois angles d'un triangle quelconque est moindre que deux angles droits; par conséquent, la somme des angles d'un polygone de n côtés est moindre que 2/1 — 4 angles droits. On appelle déficit du polygone ce qui manque à la somme de ses angles pour faire 2/1 — 4 angles droits.

Si l'on décompose un polygone en deux autres, on voit facilement que le déficit du polygone total est la somme des déficits des polygones partiels; par conséquent, le déficit du premier polygone est plus grand que le déficit de chacun des deux autres.

5 . Si, dans un quadrilatère ABCD {fig* 2 ) qui a deux angles droits A et B, les côtés AD et BC sont égaux, les angles C <?/ D sont aussi égaux.

Menons une perpendiculaire à AB en son milieu E : cette perpendiculaire ne pouvant rencontrer ni AD, ni BC coupe CD en un point F. Plions la figure autour de EF, le quadrilatère EBCF vient s'appliquer sur le quadrilatère EADF, et l'angle C coïncide avec l'angle D; donc ces deux angles sont égaux. D'ailleurs, ils sont aigus, puisque la somme

(9) des angles du quadrilatère ABGD est moindre que quatre angles droits.

L'égalité des quadrilatères EBCF et EADF montre aussi que EF est perpendiculaire à CD en son milieu.

6. Si, dans un quadrilatère ACoc {^g- 3) qui a deux angles droits a et c, l'angle A est droit ou obtus, le côté Aa est moindre que le côté opposé Ce.

Par le milieu b de ac, élevons sur ac une perpendiculaire, qui rencontre AC en un point B situé entre A et G. Gomme l'angle A est droit

Fig. 3.

ou obtus, l'angle AB6 est aigu : donc 6BG est obtus; par conséquent, si l'on plie la figure autour de Bb, BA tombe à l'intérieur de l'angle obtus bBC, et le point A vient en un point A' situé entre c et G : donc Gc> A'c = Aa.

On voit aussi que, le quadrilatère A'Bbc étant contenu dans le quadrilatère BGcè, le déficit de A'Bbc est moindre que celui de BCci, c'est-à-dire que le déficit de AB ba est moindre que la moitié du déficit du quadrilatère total ACca. Gette remarque sera utilisée plus loin.

7. Dans un quadrilatère ACca (^g. 3 e/ 4) qui a deux angles droits a et c et un angle A droit ou obtus, si d'un point B du côté AG on abaisse

( lo)

^b perpendiculaire sur ac^ona

Aa<B6<Cc,

«£ AC aô"^ AB'

Ce — Aa AC

B6-Aa -^ AB

La première partie du théorème résulte de ce qui précède. Pour démontrer les deux autres, divisons AB en n parties égales et prolon-

Fg.4.

geons la graduation jusqu'au point G, puis menons par les points de division des perpendiculaires à dc^ qui déterminent sur oc des seg-

ments

«l> ÛCj, «jj

a^ étant le premier à partir de a, oc, le second, etc.

Il est aisé de voir que ces segments vont en décroissant ('). Car soient DE, EF deux divisions consécutives de AB, DE étant la plus rapprochée du point A; et soient de, ç/'leurs projections sur ac. Abaissons DP et FQ perpendiculaires sur Ee; comme DE = EF, les triangles DEP, EFQ sont égaux : donc DP = FQ. D'ailleurs, l'angle DEe étant aigu, le point Q tombe sur le prolongement de eE, et le point P entre E et e; donc la droite DP prolongée pénètre à l'intérieur du quadrilatère ç/TQ, et, comme elle ne peut rencontrer ni ef, ni FQ, elle coupe

(1) Voir, dans l'Ouvrage de M. de Tilly cité plus haut, p. 187, un raisonnement analogue.

F/en un point R situé entre/et F. Il en résulte (6) que RP est moindre que FQ, par conséquent moindre que DP. Dès lors, si l'on plie la figure autour de Pc, le point R tombera sur PD entre P et D et, par conséquent, le point/ tombera sur ec? entre eet d, de sorte que <?/< éd.

Ainsi

J'en conclus d'abord

Ensuite, s'il arrive que BC soit un multiple exact de — > par exemple,