AB
et
donc
6c hh^ BH BC
ab^^ ab = ^ AB ~ AB*
Autrement. Soiip un entier tel que
^AB<BH<^^ti AB.
On voit, comme plus haut, que
bh < ^^ti ab, n
Ensuite, bc étant moindre que 2&A, on peut supposer n assez grand pour que
et alors
bc<,2bh ab,
bc < -^ ab ab
OU
ab ^ n ^ AB
bc a/? BC
— 7 < -^ < Tn • C. Q. F. D.
Passons à la troisième partie du théorème.
Posons Aa = p©» et désignons par
Pit Ht» H»»
les ordonnées des différents points de division, Pi étant la plus voisine de Aa, ^2 la suivante, etc.
Il est aisé de voir que la différence entre deux ordonnées consécutives va en croissant à mesure qu'on s'éloigne de Aa. Car, soient D^, Eej F/ trois ordonnées consécutives, Drf étant la plus voisine de A a;
abaissons DP et FQ perpendiculaires sur Ee; nous avons déjà dit que le point P tombe entre E et c, et le point Q sur le prolongement de eE. Donc
EP =Ee — Pe, EQ=:Qe — Ee;
mais EP = EQ, donc
Ee — Pe=:Qe — Ee.
Or (6) Pe < Drf et Qc < F/, donc
Ainsi
J'en conclus d'abord
B6-Aa=((3„-p„,)4-...4-(P,-P,)-+-((3,-l3o)
Ensuite, en supposant que BG soit un multiple exact de — 9 par exemple : BC = — AB,
Donc
Cc-'B b m BC B6 — Àâ-^ n "" AB'
d'où
Ce — Aa AC B6 — Aa-^ AB"
En raisonnant comme plus haut» on verrait que cette relation subsiste dans le cas où BC n'est pas un multiple exact de
8. Dans le cas particulier où le côté Aa se réduit à un point, le quadrilatère AC ca devient un triangle ; mais le théorème que nous venons de démontrer est toujours vrai.
Donc» dans un triangle ACc {^g> 5) rectangle en c, si d'un point B
de l* hypoténuse on abaisse Bé perpendiculaire sur Ac, on a
\c ^ AC Ce
\b ^ AB ^Bb
Par exemple, si AC = nAB, n étant un nombre entier quelconque, on aura
COnBb;
par conséquent, étant donné un angle aigu xAy^ on pourra trouver sur l'un des côtés un point C dont la distance à l'autre côté surpasse
Fig. 5.
A/ Jcv
n'importe quelle longueur donnée. C'est Aristote qui a le premier formulé cette proposition.
Au contraire, Lobatschewsky a démontré que Ton peut assigner une longueur que la projection de AC ne puisse pas dépasser, quelque grand que soit AC.
En effet, d'un point B de Ay abaissons Bb perpendiculaire sur Ax, désignons par co le déficit du triangle ABi, et prenons sur Ax une longueur A^=2A&; si la perpendiculaire à A^ au point d rencontre Ay en un point D, le déficit du triangle AD^ sera plus grand que
De même, en faisant Ae= 2Arf= 4Aft, si la perpendiculaire à Ax au point e rencontre Ay en un point E, le déficit du triangle AE^ sera plus grand que 4<«>- Et ainsi de suite.
Ceci posé, soient A' le complément de l'angle A et /i un entier tel que
(i) La première partie de ce théorème se trouve dans l'Ouvrage de M. de Tilly, déjà cité, p. 187.
Si nous prenons kh = 2''A6, il est impossible que la perpendiculaire à kx au point h rencontre ky^ car, en appelant H le point de rencontre, le déficit du triangle ÂHA serait plus grand que 2''()i), et par suite plus grand que A', ce qui est impossible.
Il faut en conclure que tous les points de ky se projettent sur kx entre A et A. c. q. f. d.
9. Soient ax et ky (Jig* 6) deux demi-droites perpendiculaires à une même droite Aa; si, d^un point B de Ay, on abaisse Bi perpendiculaire
Fig. 6.
JL
