AB
ment varie le rapport—, quand ah diminue. Pour cela, prenons surate deux segments cfe, ç/* consécutifs et égaux
de =. efy
rfeétantleplus rapproché du pointa; par les trois points rf,^, /élevons des perpendiculaires à ax, et projetons le point A sur ces trois perpendiculaires en D', E', F'.
Je dis que
AE'- AD'>AF'-AE'
En effet, les points A, E' étant de part et d'autre de D'rf, la droite AE' rencontre DVen un point D, et, comme de = e?/, elle rencontre aussi F/
en un point F tel que
DE' = E'F ou
AE - AD = AF - AE'
Mais AD > AD' et AF > AF, donc
AE'-AD'>AF--AE'
En partant de là et en raisonnant comme au n** 7, on démontre que
AB' le rapport -^augmente à mesure que ab diminue. Donc, si Ton fait
tendre ab vers zéro, ce rapport tend, lui aussi, vers une limite, qui est nécessairement inférieure ou au plus égale à la limite /(a A) du rapport —^' Par conséquent, -y <^f{ak).
AB
On démontrerait de la même manière que —r <y (6B). Ainsi
AB
/(aA)<^</(6B)
et
AB' ,, Ax^AB
Il résulte de là que/(aA) > i . De plus/(aA) augmente ou diminue en même temps que a A. Car, prenons sur a A une longueur ak^ <iak^ et par le point A, menons une perpendiculaire à Aa, qui rencontre Bi en un point B, ; nous aurons
/(«A.X^, /(aA)>^'-.
Par conséquent, pour établir que /(a A,) < /(a A), il suffit de montrer que A,B, finit par devenir moindre que AB'. En effet, si l'on prend AB<AA,, on aura, à plus forte raison, AB'< AA,, et alors le point B' tombera entre B et B,, d'où AB'> A,B,.
Nous allons maintenant chercher à déterminer la forme de la fonction /(Aa).
10. Prenons sur le prolongement de ak {fig. 7) un point A©, par ce
point menons une perpendiculaire à aA, et d'un point Bq de cette perpendiculaire abaissons Bo& perpendiculaire sur ao;; soit B le point où Bq fe rencontre la perpendiculaire A j menée par le point A à la droite Art. Partageons aX en n parties égales, et, par les points de division a,,
^2, . . ., menons des perpendiculaires à aA, qui rencontrent 6B en des points b^, ^2* • - -•
Abaissons ir et ia^ perpendiculaires sur a^b^, nous savons (7) que 6,^2 >**M donc
il en résulte qu'en appelant ^ et m les points où «2^2 ^st rencontré par le prolongement de iret par la perpendiculaire à a, 6, au point &,, on a (7)
ub^'> tu ou ûTi^, — a^uy^a^u — a^t.
Mais, comme aa^ = a^a^^ il est clair que a.j=^ab\ et, comme a, 6, >aé, le théorème du n® 7 nous apprend que
OU, en posant-^
donc
aj&,> iXa^b^ — ab.
En opérant de même surajfr,, «464, ..., on trouve que les ^/è, sont G. 3
(,8) liés parles relations
«8^3> 2Xa,^,-- aibi,
d'où l'on tire
«, 6, =^)Mb,
aibi>'kaibi-h('k^~- \)ab,
o^b^ > la^b^ -f. (X«-- i) (^a,b^ 4- lab),
a,b, > Xaj^j -4- (>.« i)(a,6, + X«, b, -h X««^»),
Si donc on pose
I XiZzi 2X^, — ^,, ^ ♦
ou
(2) ) ^j = Xa7, 4-(X« — i),
comme X^ - i > o, on voit que Or, puisque X> i, on peut poser
en désignant par a un nombre positif; et alors, en substituant dans les formules (1), on trouve
et, en général,
( '9) donc, puisque AB ou a^bf^ est plus grand que x^ab, on en conclut que
AB e«a-He-«a — ;> .
ab 2
Mais, en menant AB' perpendiculaire à Bè, nous avons vu dans le numéro précédent que
^/ 4x AB'
donc
AB ^, , AB e^a-He-»»
AB "^ ab 2
De plus, si nous abaissons B' I perpendiculaire sur AB, nous savons (8) que, dans les deux triangles ABB',AB'I, le rapport ^^ des hypoténuses est moindre que le rapport des côtés opposés à l'angle commun A
