AA

noL

-he-""

Par conséquent, d'où enfin, en remarquant que BBo < ABo < AAo -h A^B^,

nOL I gt — /lût

En partant de la relation

ab 2

on trouverait de la même manière

(4) V-^ÂÂ7J-^(^^«)>-^—

Reste à trouver une limite supérieure de /(aA).

Pour cela, prenons sur AB une longueur AC = ab et abaissons O perpendiculaire à ab\ en appelante/ le point de rencontre de Ce avec Uibi, toutes les longueurs a,c, seront moindres que AC, par suite moindres que ab.

Menons CjÇ' et CMP» perpendiculaires à a,c<, dans les deux triangles rectangles c^c^s^, cc^w qui ont un angle aigu commun, comme CjCa > cc^ (7), le théorème du n° 8 nous apprend que

d'où, en posant

on déduit e,i^< a,c,«P^, ou ou encore

a, i> -h fjLj «1 iv < ( I -+- /Xj ) a» Cl .

Or a,i' et a^w sont moindres que aô, donc (7)

d'oii

«jC, -+-/jL,ac<X(aii'-}-fjLiaiiv) < X(i -H fjL,)a,c,.

En opérant de même sur a,C3,û!4C|, ..., on trouve que les^/c^ sont liés par les relations

«jCi <[ Xac,

^î ^î < Vi «1 ^i -H X «1 Cj — a, ac,

«jCa <Xfx,a2C, -h XrtjC, — fjL,a,c,,

d'où

«iCi <; Xac,

«jC, < XajCj 4- (X* — i)|ji, ac,

^sej<Xa,Ci -h(X* — i)fx,(aiC| -h lii^ac),

a^c^ <Xa8C5 -+-(X* — i)fJt3(a,c, -h Xfx,aiCi -H X*fjL,/jLjac),

Kn comparant ces relations aux formules (2) qui définissent les a\, et en observant que X^ — i > o et (jl/ > i , on voit que

finalement

<*. K-l f^j • . . [Ait— 1 J^n y

ac

OU

AC CCn-i g»« + g-^*« ÛTC ce, 2

Or ce, >aa, = Aa^,, donc

CC| Aâ(/|| AAq

et, à plus forte raison,

Çg/t-i ^ ABq AqBq

cci AAo AAq

Par conséquent

AC ^ / ^ AqBq X c^«-Hg--'« , ac \ AAo / 3 ^

mais /(a A) < — 5 donc Enfin

(6) /(aa.)<-^- ^

En réunissant les relations (3), (4)» (5), (6) et en posant conformément à l'usage

en j? z= ,

on a

/(a«,)<cha< f 14- ■]fip)/(^«i)-

Or, comme y*(ir)> T, à chaque valeur de x correspond un nombre positif f:f(x) tel que

D'autre part, en laissant fixe la longueur AA©, on peut déterminer AqB^, de telle sorte que, en désignant par (o un nombre positif choisi arbitrairement, on ait