CHAPITRE PREMIER LES AXIOMES

Il y a plusieurs manières de comprendre la façon d'étudier les principes fondamentaux de la géométrie. L'une, que je nommerai scientifique, l'autre, philosophique. La première est celle de M. Hilbert, l'autre, celle de M. Russel.

M. Hilbert pose des principes. De ces principes, qu'il montre indépendants et non contradictoires, on peut déduire la géométrie usuelle. En outre, M. Hilbert montre ce qui arrive si l'on rejette quelques-uns d'entre eux.

M. Russel se demande au contraire d'où viennent les principes de la géométrie. Sont-ils a priori, expérimentaux ou arbitraires. Peuvent-ils être démontrés en admettant, comme principe, la possibilité de l'expérience : c'est ce que croit faire M. Russel ;

54 Sth I.A IMIFLOSOI'lIli: l)i;S MATIIKM VTIQl I.

il ne me semble pas qui! y parvienne, et je ne crois pas qu'on puisse y parvenir.

Je vais examiner d'abord les principes de la géométrie au point de vue philosophique; le point de vue scientifique viendra ensuite.

Eu premier lieu, voyons la notion de point ; cette notion est très obscure; au surplus, cette notion n'est qu'une sorte de ficlion. Dans la réalité, on n'a que des corps très petits de dimensions inappréciables et non des points géométriques.

C'est ici le lieu de faire une remarque s'appliquant à toutes les sciences, c'est qu'une science ne prend pas ses axiomes exactement conformes à la réalité sensible. Nos sens, en effet, sont imprécis, il y a toujours un peu de flou dans les notions qu'ils nous donnent. Dès lors, ces notions se prêteraient mal au raisonnement ; on les remplace par d'autres qui sont, en quelque sorte, des cas limites. Au lieu d'un corps très petit, nous mettons un point, au lieu d'un corps mince et allongé, une ligne, au lieu d'un corps très plat, une surface.

Mais alors, dira-t-on, on n'aura plus des résultats conformes à la réalité sensible.

Il faut se rassurer : la précision de certaines expériences de physique montre que le flou de la réalité sensible peut, avec des précautions, être rendu ex-

traordinairement faillie. Nous reviendrons sur ce sujet à propos de la notion de distance.

Voici une manière très simple d'envisager l'espace qui va nous conduire à la notion de coordonnées d'un point, abstraction faite de toute mesure. Imaginons une série de surfaces telles qu'aucune d'elles ne coupe les autres: (nous dirons des surfaces parallèles) divisant l'espace en bandes. L'une de ces surfaces sera numérotée zéro, et d'un côté, nous numéroterons les surfaces + 1 -f 2 + 3 ... etc., de l'autre, — 1 — 2 — 3 ... etc.

La bande comprise entre deux surfaces pourra ellemême être subdivisée par 9 autres surfaces en dix bandes plus minces. Les neuf surfaces comprises entre un et deux par exemple, seront numérotées, 1,1, 1,2, 1,3... 1,9. L'intervalle entre deux de ces nouvelles surfaces sera lui-même divisé en 10 et ainsi de suite. On poussera les subdivisions assez loin pour que deux surfaces consécutives soient indiscernables aux sens.

On obtient ainsi une série de surfaces ayant pour numéros des nombres décimaux, positifs ou négatifs : ce sera la 1"= série.

Construisons deux autres séries pareilles, mais de telle sorte que toute surface de l'une des séries coupe toutes les surfaces d'une autre série: ainsi, les sur-

56 SUR T-\ PIin.OSOIMIIE DES M VI IIKM VTIQT ES

faces de la W série qui ne se coupent pas entre elles, coupent toutes les surfaces de la 2' et de la 3' série.

Le point d'intersection de trois surfaces (une de chaque série), aura ainsi trois numéros, les numéros des trois surfaces qui se coupent en ce point. Comme les surfaces sont assez rapprochées pour que les petites cases qu'elles déterminent puissent être considérées comme des points, on peut admettre que chaque point a ainsi 3 numéros, x, y, z, qui seront trois nombres positifs ou négatifs, et la connaissance de ces trois numéros détermine le point.

C'est ce qu'exprime cette phrase : l'espace est une multiplicité numérique à trois dimensions.

Ce qui précède n'est pas un raisonnement. C'est une sorte de construction faite en imagination. Il faut naturellement en admettre la possibilité. Nous avons fait en somme une sorte d'expérience mentale ; nous avons quadrillé Ves^?ice.

Ce point acquis, nos raisonnements peuvent porter sur les numéros qui représentent les points et nous allons pouvoir montrer d'une façon bien claire, en quoi consiste un système d'axiomes de géométrie.

La géométrie, telle qu'on l'expose dans tous les ouvrages élémentaires, emploie dès le début la notion de corps solide invariable. On définit, en effet,

deux figures égales, en disant que deux pareilles figures sont superposables. Or, pour superposer deux figures, il faut transporter l'une d'elles. Qu'est ce que transporter une figure. Si l'on dit: « c'est déplacer tous ses points de façon que la distance de deux d'entre eux reste constamment égale à ellemême pendant le mouvement », on fait un cercle vicieux. On définit en effet l'égalité en présupposant la notion d'égalité.

Il s'agit donc d'examiner de plus près cette notion de solide invariable, de voir quelle part de rationnel, quelle part d'expérimental se trouve en elle.

Au lieu de définir le corps solide invariable, il revient au même de définir le déplacement laissant le solide invariable, le déplacement sans déformation. Lorsque cela aura été fait, nous pourrons dire : deux figures sont égales, lorsqu'on peut amener l'une à coïncider avec l'autre par un déplacement sans déformation.

Je me servirai, dans ce qui suit, de la représentation du point par trois coordonnées (x, y, z). J'ai dit plus haut que cette représentation n'impliquait ni la notion de mesure de la distance, ni les notions de droite ou de plan. Elle renferme seulement un très haut degré d'arbitraire, les trois séries de sur-

58 sru L\ piiiLosoi'iiii: i)i:s \m iiikm \ i ioies

faces dont nous avons parlé pouvant avoir des formes bien diverses.

Une correspondance ou transformation est un moyen de faire correspondre à cliarfuc point P un autre point Q. Pour définir une correspondance, il suffit de se donner un moyen de calculer les coordonnées du point Q, connaissant celles du point P.

Si à chaque point P correspond un seul point Q et à cliaque point Q un seul point P, la correspondance ou transformation sera appelée bi-univoque.

Q peut être appelé soit le transformé de P, soit le correspondant de P.

On peut imaginer bien des modes de correspondance et en fait, en géométrie, on en étudie un très grand nombre.

Considérons deux transformations A et B. L'une fait correspo;idre au point P un point Q, et la seconde fait correspondre au point Q le point R.

On nommera produit de ces deux transformations, celle qui au point P fait correspondre le point R.

La transformation inverse de la transformetion A est celle qui au point Q fait correspondre le point P.

Ondit qu'un ensemble de transforma lions constitue un groupe, si le produit de deux transformations de l'ensemble, et la transformation inverse d'une Irans-

forniatioa de l'ensemble foat encore partie de ce même ensemble.

Un groupe peut posséder des iiivariauls. Soient deux points A et B qui. par une transformation du groupe sont changés en deux autres A' et B'. On appellera invariant du groupe toute grandeur dépendant des deux points A et B (fonction des coordonnées de ces deux points) qui garde la même valeur, quand on remplace ces points par leurs correspondants. J'ai mis deux points pour lixer les idées, on pourrait supposer des invariants dépendant de 3 points, ou davantage.

Cela posé, on peutconsidérer le déplacement d'un corps comme une transformation, qui, à chaque point en fait correspondre un autre, la position qu'il prend après le déplacement. Les déplacements forment un groupe possédant les propriétés suivantes :

1' Deux points ont un invariant. En d'antres termes, il y a une certaine grandeur 'la distance des deux points) qui ne change pas quand on fait subir un même déplacement à ces deux points.

2^ Un point quelconque peut être transformé en un point quelconque, par un déplacement convenablement choisi. Il y a une infinité de déplacements laissant un point fixe, cest-à-dire changeant ce point en lui-même, il y en a une infinité laissant

6o SI U LA PHILOSOPHIE DES AL\E11ÉM \TIQL ES

deux points fixes. Au contraire, il n'y en a pas laissant 3 points fixes sauf dans des cas particuliers (Quand les 3 points sont en ligne droite).

Ces axiomes, d'après M. Sophus Lie, sont les principes nécessaires à la géométrie métrique.

Ces axiomes ne suffiraient pas pour établir la géométrie usuelle, telle qu'elle est exposée dans les traités, mais ils permettent, en étudiant les difïéreuts groupes de transformations possédant les propriétés indiquées, d'obtenir les différentes espèces de géométrie possibles.

Helmliolz, qui, bien avant Lie, étudia les mêmes questions, énonce 4 axiomes. Je les reproduis ici en les modifiant dans la forme :

1° Axiome des 3 dimensions. Un point est déterminé par 3 variables continues. (Il lest par ?i variables si l'espace à ?i dimensions).

2° Le groupe de transformations appelées mouvements est tel que 2 points possèdent un invariant. (Le sens de ceci a été expliqué ci-dessus).

3" Par une de ces transformations on peut amener un point à coïncider avec un autre quelconque.

4« Si deux points restent fixes, il y a encore des mouvements possibles. Tous ces mouvements font

LES AXIOMES Gl

décrire à chaque point une ligne déterminée qui est fermée.

Sophie Lie a prouvé que ce dernier point, dit axiome de monodromie, était superflu.

Nous ne nous préoccuperons nullement ici de chercher quels sont les axiomes nécessaires et suffisants, ce que nous voulons faire remarquer, c'estla nature de ces axiomes.

Un point équivaut pour nous au groupe des trois nombres positifs ou négatifs qui sont ses coordonnées. Ceci nous fixe sur le sens de ce qu'on nommera une transformation ou une correspondance entre deux points. Faire correspondre un point P' à un point P c'est donner un moyen de calculer les coordonnées de P' connaissant celles de P.

Nous considérons les groupes de transformations tels que deux points aient un invariant. Cet invariant est nommé la distance des 2 points, pour le groupe considéré.

Dès lors, on voit bien qu'il y aura autant de géométries possibles que de groupes de transformations de l'espèce considérée.

Seulement nous ne considérerons pas comme distinct deux groupes transformables l'un dans l'autre, comme je l'expliquerai plus tard, à propos du postulatum d'Euclide (Groupes isomorphes).

63 SrU LA PIIILOSOnilE DES MVIIIÉMVTIQIJES

Il y a, dans la nature, des corps que nous nommons solides. Tel est un bloc d'acier maintenu à température constante. Soit A un point de ce bloc. Quand le bloc est déplacé, le point prend une nouvelle position A', on peut dire que le point A est transformé en A'.

La distance de deux points (au sens expérimental du mot) est la même après le déplacement du corps, c'est donc un invariant. Les déplacements naturels des corps solides forment ainsi un groupe ayant les propriétés énoncées ci-dessus. Mais il y a d'autres groupes de transformations les possédant aussi.

Le groupe des déplacements d'un eorps solide naturel possède d'autres propriétés équivalentes au Postulatum d'Euclide, dont nous parlerons plus tard. D'autres groupes au contraire, ne possèdent pas ces propriétés. L'expérience seule peut décider quel est, parmi tous les groupes possibles, satisfaisant aux conditions de Soplius Lie, celui que suivent les corps naturels. Et comme il n'y a pas de corps absolument indéformables, cette question de la détermination du groupe ne peut être résolue qu'approximativement.

D'après ce qui précède, les axiomes, ou du moins ceux qui concernent la distance, ne seraient pas à priori. Si l'on fait abstraction de l'existence dans l'es-

pace de corps à peu près solides, il y a une sorte d'indétermination dans les axiomes à admettre. Grâce aux corps solides on peut se fixer, du moins à peu près, par l'expérience.

Nous reviendrons sur ce sujet à propos du postulatum d'Euclide. Bornons-nous à constater ici que notre conclusion est en opposiLton avec la façon de voir de M. Russell.

Je vais examiner maintenant la géométrie au point de vue logique. J'ai cité plus haut M. Hilbert. Il est l'auteur d'un mémoire où est posé un système d'axiomes pour la géométrie. Plusieurs notions indéfinissables y sont requises. On a trois espèces d'objets : des points, des droites, des plans. (Ce sont des objets dont on ne spécifie pas la nature). L'auteur énonce à leur sujet des principes ; il démontre que ces principes ne sont ni dépendants, ni contradictoires.

Le nombre des siimholes non définis dont il faut se servir pour traiter la géométrie, est bien inférieur à celui qu'emploie M. Hilbert.

Dans une communication présentée au congrès des mathématiciens en 1900, M. Padoa indique deux manières de procéder. Je ne parlerai ici que de la seconde, plus simple que la première.

Pour être mieux compris dans la suite, je reviens

SUR i.v i>iiii.()S()i>iiii; i)i;s m \ riii;\i vrioi es

sur le sens des mots: a Symbole non défini » employé par M. Padoa. Comme nous l'avons vu, à propos de la notion de rang, on peut raisonner sur des objets et des relations entre ces objets, sans spécifier la nature de ces objets et de ces relations. Il suffit que l'on connaisse un certain nombre des pro priétés de ces relations, et ce seront les principes ou axiomes à l'aide desquels on raisonnera.

Ces objets et ces relations sont ce que nous nommons des symboles non définis,

Or, M. Padoa montre que les seuls symboles non définis nécessaires pour l'étude de la géométrie, sont ceux qu'on désigne par le mot « Point » et par les mots (( est superposable à ».

En d'autres termes, on peut envisager la géométrie de la manière suivante :

Nous considérons des objets, dont nous ne spécifions pas la nature, et que nous nommons des points. Entre deux systèmes de points pourra exister une certaine relation, dont nous ne spécifions pas la nature. Lorsqu'elle existe, nous dirons que le second système est superposable au premier.

En partant de ces deux notions supposées connues de point et de superposabilité, M. Padoa donne les principales définitions de la géométrie élémentaire.

Je n'indiquerai pas ici toutes les définitions de

M. Padoa je me borne aux plus importantes, surlesquelles je ferai ensuite quelques remarques.

Dans ce qui suit, les lettres désignent des points, et le signe = séparant deux systèmes de points, veut dire que ces deux systèmes sont superposables.

1^ Définition de la ligne droite. On dit qu'un point. X est sur la droite ah, s'il n'y a aucun point // tel que a.r = aij, bx = by.

â'^ Définition du plan. On dit que x est dans le plan abc, s'il n'y a aucun point //, tel qu'on ait à la io\s:ax = a y, bx = bij, ex — cy.

J'indique encore les définitions suivantes, conduisant à la notion de segment de droite.

3» X est le centre de ab, si l^ il est sur la droite ab, 2^^ on a : av = xb.

40 X est situé sur la sphère de centre a passant par h, si l'on a : a.^ = ah.

50 La sphère qui a pour pôles a et b est la sphère ayant pour centre le centre de ah, et passant par o.

60 c^/ n'entrelace pas ab, veut dire que la sphère de pôles ah et la sphère de pôles cd n'ont aucun point commun, abcd étant en ligne droite.

7° c est un point du segment ah, signifie que, ou

bien c coïncide avec le centre x de ah^ ou bien ex n'entrelace pas ah.

M. Padoa définit encore les perpendiculaires et les parallèles en ne se servant que de ses symboles. Si h est le centre de ax, a? est le symétrique de a par rapport à h. cd sera dite parallèle à ab si le symétrique de a par rapport au centre de bc est un point de la droite cd.

Après avoir posé ces définitions, pour pouvoir raisonner, il faudrait énoncer un certain nombre de principes. M. Padoa s'en dispense à l'aide d'une remarque.

Supposons qu'on ait établi la géométrie d'une certaine façon en admettant d'autres symboles non définis que ceux que nous avons fait usage et en admettant un système de postulats ou principes. Nous pourrons changer de système de symboles non définis sans changer de postulats. Eu effet, au moyen du nouveau système de symboles non définis, nous pourrons définir les anciens symboles, et alors le système de postulats énoncé avec les anciens symboles conservera son sens, sans qu'on soit obligé d'en changer un mot.

On peut donc adopter, avec le système de définitions de M. Padoa, tout système de postulats adopté dans un autre mode d'exposition de la géométrie.

Si l'on présentait la géométrie aux débutants, de cette façon purement logique, ils seraient bientôt rebutés et cela pour deux raisons :

lo La géométrie leur apparaîtrait comme un jeu difficile consistant à combiner des propositions et sans aucune relation avec le monde réel.

2o Ils ne verraient pas pourquoi on admet tel axiome plutôt que tel autre.

Pour cette raison, un bon traité de géométrie ne doit pas exposer cette science d'une façon purement abstraite ; il faut faire appel à l'intuition.

Cet appel à l'intuition ne diminue en rien la rigueur des démonstrations. L'intuition ne fait que fournirdes axiomes, des principes.

La notion vague que nous avons du continu, (notion que l'on a cherché à préciser) rend évi dentés certaines propositions qui, sans cela, paraitraient bien peu naturelles.

Je prendrai, par exemple, la notion de ligne droite. D'après M. Padoa la ligne droite se définit ainsi :

« Un point M est dit en ligne droite avec A et B, s'il n'existe aucun point M' distinct de M, tel qu'on ait à la fois AM = kW, BM = BM' ». Admettons cette définition. Elle est bien différente de l'idée que nous nous faisons d'une ligne droite. Si M est en

fxS SI K T,\ l'irTr.osDpiiii: dks ai atifkmatiqi es

ligne droite avec A et B, il ne résulte pas de notre définition que A soit en ligne droite avec M et B. Plus généralement, si trois points CDE sont en ligne droite avec A et B, notre définition ne permet pas de démontrer que E est en ligne droite avec C et D.

Nous allons donner maintenant la même définition de la droite, mais en faisant appel à l'intuition. Puis nous transformerons notre définition en une autre plus conforme à l'idée qu'on a d'une droite.

Dans notre nouvelle façon d'envisager les choses, il n'y a plus de symboles non définis. Ce qu'on ne peut définir, on le montre.

Ayant à ma disposition un ou plusieurs solides matériels, en bois ou en acier, sur lesquels je puis faire des marques, je montre à l'aide de ces instruments, comment on peut vérifier l'égalité de deux distances par superposition. Ma proposition: « Deux distances sont égales » a un sens, puisque je sais la vérifier.

Une sphère est maintenant facile à définir. C'est 'ensemble des points également distants d'un point appelé centre,

On peut aussi définir l'inégalité des distances, car soient deux distances AB et CD (ou deux couples de 4 points). Envisageant deux sphères de rayons AB et CD, on peut les supposer déplacées jusqu'à deve-

nir concentriques, alors si les distances ne sont pas égales, les deux sphères ne coïncideront pas et l'intuition nous apprend que l'une d'elles sera inté rieure à l'autre. C'est celle-là qui aura le plus petit rayon .

On peut alors démontrer la proposition essentielle suivante : Si AB < CD et si CD < EF, on aura AB < EF.

En effet, plaçons concentriquement 3 sphères de rayons AB, CD, EF. Soient S, T, U, ces 3 sphères. Puisque AB < CD, tout point P de l'intérieur de S esta l'intérieur de T. Puisque CD < EF, tout point intérieur à T est intérieur à U. Le point P qui fait partie de l'intérieur de T sera donc aussi intérieur à U, donc tout point intérieur à S est intérieur à U, doncAB<EF.

Soient A et B deux points et une sphère S de rayon plus .petit que AB, ayant pour centre A. Une sphère de rayon très petit ayant B pour centre, sera extérieure à S ; en la faisant grandir, elle finira par pénétrer dans S. Il est naturel d'admettre qu'il y a une certaine grandeur du rayon de cette seconde sphère pour laquelle elle touche S en un seul point M. On dira alors que AMB sont en ligne droite.

M est dans ce cas entre A et B. Mais on aurait pu

SIR LA piiii.os()pmE Di:s m\tiii:matiiiqi es

supposer le rayon de la sphère S plus grand que AB. Dans ce cas, la seconde sphère toucherait intérieurement la première, et M ne serait pas entre AetB.

Nous arrivons donc à la définition suivante: M est dit situé en ligne droite avec A et B, si les sphères de centre A et B et de rayon AM et BM n'ont pas d'autre point commun que M.

C'est la définition de M. Padoa, car s'il y avait un point M' autre que M tel que AM' — AM, BM' = BM, ce point serait commun aux deux sphères, elles auraient ainsi un point commun autre que M.

Nous admettons maintenant qu'un solide ayant deux points fixes, peut encore se déplacer. Considérons l'ensemble de nos deux sphères qui se touchent en M. En faisant tourner ce corps de façon que les centres A et B restent fixes, M ne bouge pas, car s'il venait en M' on aurait AM' = AM, BM' = BM, et par suite il y aurait un autre point que M commun aux deux sphères.

Béciproquement, supposons qu'un point M ne bouge pas quand le solide contenant les points ABM tourne autour de AB ; nous pouvons admettre qu'il n'y a pas un point M' tel que AM' = AM, BM' zir BM, et que, sans cela, on pourrait amener M en M'.

Dès lors, on pourra définir la droite : On dit de M

est en ligue droite avec A et B, lorsque M ne bouge pas quand le corps AMB se déplace, A et B restant fixes.

Dès lors, les axiomes énoncés plus haut deviennent évidents. Si GDE sont eu ligne droite avec A et B, le mouvement dans lequel A, B sont fixes ne déplace pas G, D, E. C'est donc le mouvement dans lequel CD sont fixes, donc le mouvement dans lequel CD sont fixes ne déplace pas E, donc E est en ligne droite avec C D.

On voit bien que dans tout ceci, nous avons admis certaines choses sans les démontrer. Mais ces choses se voient par l'intuition.

L'intuition nous prouve que deux sphères qui ne sont pas entièrement intérieures l'une à l'autre, ni entièrement extérieures se coupent. Les axiomes de cette espèce peuvent être appelés axiomes de continuité.

Au lieu de définir le plan comme le fait M. Padoa. on peut le définir comme le lieu des points équidistantsde deux points fixes et l'on démontre facilement qu'une droite ayant deux points dans un plan y est située tout entière. (De Tilly. Mémoires de la société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux. Tome III, 1878).