CHAPITRE II .SUR LE POSTULATUM D'EUGLIDE
Le postulatuni, ou axiome d'Euclide, est la proposition suivante : (( Par un point on ne peut mener à une droite qu'une seule parallèle » on peut encore, comme le fait du reste Euclide, l'énoncer ainsi ; « Si deux droites sont, l'une perpendiculaire, l'autre oblique sur une même troisième, ces deux droites se (( rencontrent ». La réduction de l'un des deux énoncés à l'autre est facile, nous ne nous y ariêterons pas.
On a longtemps cherché une démonstration de cette proposition, puis l'idée est venue qu'elle pouvait bien être indémontrable. Gauss paraît être le premier qui chercha à constituer une géométrie en niant l'axiome en question. Le géomètre Bolyai, qui fut sur ce sujet en correspondance avec Gauss, écrivit le premier ouvrage de géométrie non Euclidienne, fondée sur la négation du poslulalum, et intitulée « La science absolue de l'Espace » Plus tard un autre géomètre russe, Lobachefki, traita le même sujet (vers 1830).
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Riemann étudia les fondements de la géométrie, et montra qu'on pouvait nier non seulement l'axiome d'Euclide, mais encore cet axiome que la longueur d'une ligne droite est infinie.
La géométrie non Euclidienne présente des particularités bizarres. La surface d'un triangle ne peut pas dépasser une certaine limite : les points également distants d'une droite ne forment pas une droite, mais une courbe; il n'y a pas de figures semblables. Mais si l'on n'a jamais trouvé, parmi les conséquences de la négation de l'axiome, que des bizarreries et non des contradictions, on n'est pas pour cela fondé à croire qu'en poussant plus loin ces conséquences, on n'arriverait pas à des résultats contradictoires. Pour le montrer, il faut raisonner autrement.
Un géomètre italien, Beltrami, ayant étudié une certaine surface appelée par lui la pseudosphère, remarqua que la géométrie des figures tracées sur elle était identique à la géométrie plane non Euclidienne. De cette remarque résultait l'impossibilité de démontrer l'axiome d'Euclide par des considérations de géométrie plane. Ces considérations se raient valables pour la pseudo-sphère, et pour celleci l'axiome est faux.
Les travaux de Klein, de Cayley, de M. Poincaré, et de plusieurs autres géomètres démontrent su-
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rabondamment l'impossibilité d'une démonstration.
Dans ce qui suit je démontre d'abord que le tliéorènie « La somme des angles d'un triangle est égale à deux droits peut remplacer l'axiome. » Les deux premiers théorèmes sont tirés de l'ouvrage d'Houel sur la géométrie élémentaire. J'examine ensuite quelques curieuses tentatives de démonstration du postulatum, puis je passe à la question de savoir si le postulatum est démontrable, et s'il est vrai. Comme les propositions suivantes n'exigent, pour être comprises que le 1^^' livre de Géométrie élémentaire, je suis entré dans beaucoup de détails pour les démonstrations, afin d'être compris même des personnes peu familiarisées avec le raisonnement géométrique.
