THÉORÈME PREMIER

La somme des angles d'un triangle ne peut dépasser deux angles droits.

Supposons que Ton puisse construire un triangle ABC dont la somme des trois angles surpasse deux droits. Je vais montrer que cela conduit à une conséquence absurde. L'impossibilité de notre supposition sera alors démontrée.

Considérons (Fig. 2) une série de triangles, tous

SUK LE POSTt LVTIM D El CLIDE

égaux à ABC, à savoir ABC, CDE, EFG... IJKL, rangés sur une même ligne droite. Les bases égales entre elles AC, CE, E(i, sont situées sur la même droite AL. Je nommerai a le côté BG, b le côté CA, c le côté AB. Je supposerai qu'il y a n triangles en sorte que AL est égal à 7ixl.

J'ai d'autres triangles, BCD, DEF,... qu'on forme en joignant les sommets BDF, etc.. K. Ces triangles

Fis. 2

sont aussi tous égaux entre eux : démontrons par exemple l'égalité des triangles BCD et DEF. Le côté BC est égal au côté DE, car chacun d'eux est égal à n : le côté CD est égal à EF car chacun d'eux est égal au côté AB ou à c. L'angle BCD vaut deux droits moins la somme des angles BCA et DCE, qui sont justement tes angles en C et en A du triangle ABC. L'angle DEF a la même valeur, deux droits moins la somme de deux angles égaux aussi aux mêmes angles du triangle iVBC. Donc nos deux triangles sont égaux comme ayant un angle égal compris entre cô-

76 SLR l.A l'IIILISOPHlE DES M MllÉMAïIQUES

tés égaux chacun à chacun, et par suite BD=DP\ On voit de même que tous les côtés de la ligne brisée BDF... K sont égaux. (J'appelle cette ligne ligne brisée, on ne peut démontrer que c'est une ligne droite sans admettre le postulatum d'Euclide). Si je nomme k la longueur BD, cette ligne brisée sera (n-'i) k, car elle n'a que n-i côtés.

Les deux triangles ABC, DEF ont deux côtés égaux; mais l'angle compris n'est pas le même, en effet l'angle DEF est, comme on a vu, égal à deux droits moins la somme des angles en C et en A du triangle ABC ; l'angle B du triangle est plus grand, puisque la somme des angles de ce triangle est supposée surpasser deux droits. On sait que si deux triangles ont un angle inégal compris entre côtés ëgaux,les troisièmes côtés sont inégaux, le plus petit correspondant au plus grand angle. On en conclut que b est plus grand que k; ou que b-k est une quan tité positive. Nommons h cette quantité.

La ligne AL est pîus courte que la ligne brisée <iyant mêmes extrémités, ABDF. . KL, c'est-à-dire : nb < (n-1) k-\- c -\-a.

ou (n-i) h < a -f 6 -|- c, puisque h est égal à b-k.

Or cette inégalité est absurde, car on peut prendre n assez grand pour que le premier membre soit aussi

SUR LE l'OSTl LVTLM D EICLIDE

grand qu'on veut. Il ne peut donc être inférieur au périmètre du triangle ABC.

Notre hypothèse est donc absurde.