THÉORÈME II

S'il existe un triangle dont la somme des angles vaut deux angles droits, la somme des angles de n'importe quel triangle vaut aussi deux angles droits.

La démonstration se compose de plusieurs parties.

lo Supposons qu'il existe un triangle ABC, dont la somme des angles vaut deux droits. On pourra construire un autre triangle, aussi grand qu'on voudra, ayant les mêmes angles. (Figure 3.)

Prolongeons BC, d'une quantité CD égale à BC, et construisons un triangle ECD égal au triangle ilBC ; La somme des angles réunis en C sur la figure est égale à deux droits, comme la somme des angles du triangle, on en conclut que l'angle ACE est égal au 3e angle A du triangle, et le triangle ACE est alors égal au triangle ABC comme ayant avec lui un angle égal compris entre côtés égaux, l'angle ACE égal à l'angle A du triangle ABC, le côté AC commun, le

SIR l.\ IMIII.OSOPIIIK DIS M A rUI.M ATIQM,

côlé CE égal au colé AB (puisque le triangle ECD est égal au triangle ABC).

Le triangle ACE étant égal au triangle ABC, AE est égal à BC. Construisons encore un triangle FAE égal au triangle ABC. La somme des angjLes en A vaudra deux droits, car ce sera la somme des angles du triangle ABC ; et de même pour la somme des angles

en E, donc BAF et DEF seront des lignes droites. Le triangle FBD sera alors double du triangle ABC, et on voit bien qu'il aura les mêmes angles, les angles F et D étant par construction égaux aux angles A et C du triangle primitif. On pourrait ensuite avoir un triangle quadruple, etc.

2o Le triangle ABC étant toujours tel que la somme de ses angles vaille deux droits tout triangle ayant un angle égal à l'un des angles du triangle ABC possédera la même propriété.

K m: l'OSTlLAJlM DELCLIDE

Soit enetïet ie triangle PS K tel que l'angle PSR soit égal à l'angle A. Nous pouvons construire un triangle GSH ayantses sommets G et H sur SP et SR, aussi loin qu'on voudra sur ces droites, puisque GSH est aussi grand qu'on veut, et ce triangle GSH a mêmes angles que le triangle ABC (figure 4).

Joignons PH. GSH est divisé ainsi en deux Iriangles. La somme des angles de ces deux trian gles est celle des angles du triangle GSH, plus la somme des angles réunis en P qui vaut 2 droits, cela lait 4 droits.

Si donc la somme des angles de l'un des triangles était plus petit que 2 droits, l'autre serait plus grande, ce qui est impossible.

La somme des angles du Iriangie GSP vaut donc 2 droits, et comme la droite PR décompose aussi ce triangle eu deux, on voit de la même façon que précédemment, que si l'un de ces deux triangles avait une somme d'angles inlérieure à deux droits, l'autre aurait une somme supérieure, ce qui est impossible.

siii i,v i>mi.(»s()Piiii: in.s ma iiikm \ rioi ks

donc la somme des angles du triangle PSR est égale à deux droits.

3» Supposons encore que le triangle ABC ait pour somme de ses angles deux droits, et considérons un triangle quelconque GHK. La somme de ses angles ne pouvant surpasser celle du triangle ABC, il est nécessaire qu'il y ait un des angles du l^i- triangle G par exemple plus petit qu'un des angles A par exem pie, du second. Nous pourrons alors faire un angle HGL égal à l'angle AGL sera extérieur à l'angle HGK, puisque l'angle HGK est inférieur à l'angle A. Nous pouvons prendre L de façon que LH coupe GK en M (fig.o).

L'angle HGL étant égal à A, la somme des angles du triangle Fig. 3 HGL est égale à deux droits,

d'après ce qu'on vient de démontrer. GM divise le triangle HGL en deux autres et d'après un raisonnement déjà fait, si l'un d'eux avait la somme de ces angles inférieure à 2 droits, l'autre aurait la somme de ses angles plus grande que deux droits, ce qui est impossible.

Donc la somme des angles du triangle GHM vaut deux droits et comme les triangles GHM, GHK ont un

SUR LE POSTl LATL.M D EUCLIDE

angle commun, la somme des angles du triangle GHK vaut deux droits, d'après le n° 2.

Le théorème est ainsi complètement démontré.