THÉORÈME III

Si Ion a démontré que la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits, il en résulte le postulatum d'Euclide.

On démontre d'abord facilement que la somme des

angles d'un quadrilatère est égale à 4 droits en divisant le quadrilatère en deux triangles. En particulier, si 3 angles d'un quadrilatère sont droits, le 4'^ est droit, le quadrilatère se nomme un rectangle.

La démonstration va se décomposer en plusieurs parties.

lo Dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux. En effet, soit un rectangle ABCD (fig. 6). Menons la

SLR LA l»mi,()SOPIIlE ])LS MMIILMMIOl i;

diagonale AC, elle décompose le rectangle en deux triangles rectangles. Dans un triangle rectangle, la somme des angles aigus vaut un droit. L'angle DAC vaut donc un droit moins ACD, il est donc égal à l'angle ACB. Ces deux triangles rectangles ayant l'hypo thénuse commune et un angle aigu égal, sont égaux, donc AB = CD et AD = BC. ce qui démontre la proposition. 2o Si deux segments de droite consécutifs AB, BC sont égaux et si, des points ABC on abaisse des perpendiculaires AH BK CL sur une autre droite on aura HK=KL (fig. 7). En effet, par B menons MN de façon à former un rectangle HMNL, décomposé en deux rectangles HMBK, KBNL. On aura HK = MB, KL = BX, or on démontre facilement l'égalité des deux triangles rectangles ABM, BCN^ donc MB rz BN, doncHK^KL.

3" Considérons deux droites AX, BY (fig. 8), l'une perpendiculaire, l'autre oblique sur AB, de façon que ABY soit un angle aigu. Sur BY portons des longueurs égales à la suite les unes des autres, et projetons-les perpendiculairement sur

Fig. 7

SI II m: FUSTII.AIIM I) El Cr.lDE

BA. D'après le numéro 2» toules ces parties étant égales, leurs projections sont égales. Si donc on prend sur BY une longueur égale à n fois la longueur ct, soit BP, et si on mène PH perpendiculaire sur AB, BH sera n fois la projection de a ; on peut donc prendre n assez grand pour que BH surpasse AB, alors H n'étant pas entre A et B, Psera du côté opposé à A par rapport à AX, et BP coupera AX. Ceci démontre la proposition.

iM. Poincaré a indiqué une proposition équivalente au postulatum d'Euclide, et ne concernant que des longueurs, c'est la suivante :

Ou a trois points OHK tel que OH=:KO, et un hexagone ABCDEF tel que: 1" tous ses cotés soient égaux ; 2» les distances de ses sommets aux points H et K soient douze longueurs toutes égales entre elles; 3*^ les distances des mêmes sommets au point 0 soient toutes égales entre-elles. Alors ABCDEF étant six points équidistants de H et de K, situés dans

Fis. 8

8/i SI u F, A i'im,()S()i'iiii: i)i:s m vi im'im \ i km i;s

le plan mené par le milieu 0 de HK, perpendiculairement à cette dernière droite. Ce sont les six sommels d'un hexagone régulier de centre 0. Si l'on a OA— AB, le postulatum est vrai, car le triangle OAB est équilatéral, il a alors ses trois angles égaux, et

comme l'angle AOB est le ~^de 4 droits, ou deux

tiers de droits, la somme des trois angles vaudra deux droits. Donc d'après les théorèmes II et IIl, le postulatum sera vrai.

Examinons quelques tentatives pour démontrer l'axiome dEuclide. On peut chercher à démontrer directement la proposition, ou hien à démontrer le théorème relatif à la somme des angles d'un triangle.

La démonstration de Hertrandde Genève est directe. Voici en quoi elle consiste. L'aire infinie comprise dans un angle AOB si petit qu'il soit, est supérieure à l'aire infinie comprise entre deux parallèles quelconques.

Pour démontrer ce bizarre principe, remarquons qu'en ajoutant un angle à lui-même un nombre suffisant de fois, on finit par recouvrir le plan tout entier. Si l'angle est plus grand que la pième partie d'un angle droit, en l'ajoutant 4 p fois à luimême, tout le plan sera recouvert, puisque tout le

SLK \a: l'osTLi.AitM d'elcijdj: (S5

plan est recouvert par quatre angles droits. Au contraire prenons l'intervalle compris entre deux parallèles et juxtaposons-le à lui-même un nombre quelconque de fois, ïi fois par exemple. Au lieu de l'espace compris entre deux parallèles situées à la distance a, l'une de l'autre, nous aurons deux parallèles à la distance na, on n'arrivera donc pas à recouvrir tout le plan. Donc la portion de plan comprise dans un angle est plus grande que la portion de plan comprise entre deux parallèles quelconques.

Considérons maintenant, comme dans la fig. 8, deux droites AX BY, l'une perpendiculaire, l'autre oblique sur AB, et menons BZ perpendiculaire sur AB. L'angle compris entre BY et BZ renfermant une aire plus grande que l'aire comprise entre les deux droites AX et BZ, il est impossible que cet angle soit compris entre ces deux droites, donc BY' doit couper AX.

Cette démonstration ne vaut rien, et en voici la raison. On ne peut comparer les aires infinies, comme on compare les aires finies. Il est possible, suivant la manière dont on fait la comparaison, de montrer, soit qu'une aire A est plus grande que G, soit que l'aire C est plus grande que A.

Pour rendre ceci apparent par un exemple, je vais montrer que en s'y prenant convenablement, on peut

SIR i.\ l'iiii.osoi'iiii; i)i;s m \ i iii:ma rioi i>

recouvrir un angle droit avec l'espace compris enlre deux parallèles AX et BZ perpendiculaires à AB en n'utilisant que la partie située au dessus de AB. A cet effet nous pouvons considérer cet espace comme formé par des carrés empilés les uns sur les autres (fig. 9), Nous pouvons numéroter ces carrés ; celui qui touche AB aura le n- 1, le carré placé au-dessus du le' aura le n^ 2, etc. Un point quelconque de la région considérée, situé entre AB, AX et BZ, sera à l'intérieur de l'un de ces carrés. C'est ce qu'on exprime en disant : Les carrés remplissent toute la région.

Plaçons maintenant les carrés dans l'angle droit XAÏ de la façon indiquée dans la figure 10, Le nM touche les deux côtés de l'angle, Fig. 9 2 est à droite de 1, 3 au-des-

sus de 1,4 est à droite de 2, 5 à droite de 3, 6 au-dessus de 3, et ainsi de suite. On verra facilement qu'un point quelconque intérieur à l'angle droit sera intérieur à l'un des carrés ainsi placés. On a donc recouvert l'angle droit avec les carrés situés dans une région pourtant comprise dans cet angle et qu'on devait croire plus petite.

SI R LE POSTULAIT M D El CLIDE

Ce que nous dirons plus tard des ensembles infinis fournira des exemples de faits analogues.

Au lieu de démontrer direclement le postulatum, •on peut chercher une démonstration du théorème relatif à la somme des angles d'un triangle. On peut fonder une démonstration sur cet axiome : « Des triangles égaux, aussi nombreux qu'où voudra, étant placés dans un plan, extérieurement, les uns aux autres, on peut tous les enfermer dans un môme triangle. )) Ce principe est faux en géométrie non euclidienne puisque, nous l'avons dit, dans celte es))èce de géométrie, l'aire d'un triangle est limitée. Si donc on l'admet, on pourra en déduire le postulatum.

C'est la base d'une démonstration due à un M. Carton, et qui se trouve dans les comptes rendus de l'Académie des Sciences (vers 1867). Elle se trouve aussi dans la géométrie sans axiomes de Perronet Thomson. Celle que je vais donner ici en

Fig. 10

88 SI K \.\ l'iiM.osoi'iin. i)i;s m \ i iikm \ un» i-:

quel((ues mots est un peu difïérente et plus simple.

Reprenons la figure 2. Que le lecteur veuille bien marquer un point S au-dessus de cette figure, et joindre ce point aux points ADF .. K. Il obtiendra ainsi un pentagone SBALK. Comptons le nombre de triangles que renferme ce pentagone ; il y en a n égaux à ABC n — 1 égaux à BCD et n — l analogues à SBD, c'est-à-dire ayant un sommet en S. La somme des angles du triangle ABC sera deux droits moins une certaine quantité a, ou en abrégé, 2 — a. Celle des angles du triangle BCD sera 2 — h: alors la somme des angles des triangles égaux à ABC sera 2n — na, celle des angles des 7i — 1 triangles égaux à BCD sera 2n — ^ — (n — \)b, celle des angles des n — 1 triangles de sommet S sera 2n — 2 moins une certaine quantité k; 2n — 2 — k. La somme des angles de tous les angles de la figure sera6>? — 4 — na — (n — \)b — k.

D'autre part calculons autrement la somme de tous ces angles. Il y a d'abord la somme S des angles du pentagone. En C, E, etc.. c'est-à dire aux sommets situés sur AL, A et L exceptés, la somme des angles réunis vaut 2 droits. Il y a n — 1 de ces sommets cela fait2n — 2 droits. Aux sommets DF... c"est-à dire aux sommets non situés sur AL, les points B et K exceptés la somme des angles réunis vaut 4 droits ; il y a

SUR LE POSTLLATIM d'eLCLIDK 89

n—2 sommets de cette espèce. Cela fait n— 8 droits. En tout on a pour la somme des angles de la figure. 6^ — 10 + S.

En égalant les deux valeurs de la somme des angles, on trouve que S est égal à 6 droits moins (na-\- (n — '!)b-{-k). On pourrait prendre?? assez grand pour que S soit négatif, ce qui est absurde. Il faut donc que a b et k soient nuls, c'est-à-dire que la somme des angles d'un triangle soit égale à deux droits.

Le défaut de cette démonstration est bien peu apparent. Le voici : On admet qu'il est possible de trouver un point S, tel qu'en le joignant aux sommets B, D..., K, etc., les lignes ainsi menées ne rencontrent pas la ligne brisée B, D... K. Or ceci n'est pas vrai dans la géométrie non euclidienne.

Une autre démonstration est fondée sur ce qu'on nomme l'homogénéité. Quand dans un triangle on connaît un côté et les deux angles adjacents, le triangle est déterminé, on peut le construire. Le 3^ angle est donc connu, on doit pouvoir le calculer. Or si l'on change l'unité de longueur, le nombre qui mesure le côté change, et les angles ne changent pas. La formule donnant le 3' angle ne doit donc pas changer quand on change le nombre qui mesure le côté. Le 3* angle ne dépend donc que des deux autres angles. Soient A, B, C, les trois angles, A et B

()0 SLR LA piiiLOsopun: i)i:s mxiiiimmiqm:

étant connus, C est déterminé. Supposons que l'angle \ soit droit. B étant connu, on pourra calculer l'angle C. Du sommet A menons AH perpendiculaire à BC, notre triangle rectangle en A sera décomposé en deux triangles rectangles, AHB, AHC, et l'angle A en deux angles m et n. L'angle B est commun aux deux triangles rectangles AHB ABC, dont l'un a pour second angle aigu l'angle m et l'autre angle C. C et m se calculeront donc de la même façon, et l'on aura C — m : De même B = n. Mais m + n vaut un angle droit, donc B + C = 1 droit. Ainsi la somme des angles aigus d'un triangle rectangle vaut un droit. On en conclut facilement le théorème relatif à la somme des angles d'un triangle quelconque, par sa décomposition en deux triangles rectangles.

Le défaut de cette démonstration apparaît clairement, si on cherche à faire le même raisonnement pour les triangles sphériques. Le théorème n'est pas vrai dans ce cas ; c'est donc que le raisonnement n'est pas applicable. Cela tient à ce que la formule qui donne un angle connaissant les deux autres et un côté contient en outre le rayon de la sphère. Si elle ne doit pas changer lorsqu'on change d'unité, cela prouve qu'elle ne contient que le rapport du côté nu rayon.

Or rien ne prouve que dans la géométrie plane il

SUll LE J>OSTl I,A I L M 1) El CLTDE 9I

n'y ait pas quelque longueur jouant le rôle du rayon de la sphère. C'est effectivement ce qui a lieu pour la géomélrie non euclidienne ; il y a une certaine grandeur appelée quelquefois courbure de l'espace, et dont la mesure dépend de l'unité de longueur.

Nous venons d'examiner plusieurs tentatives de démonstration ; aucune d'elles n'est satisfaisante. u On ne peut pas démontrer le postulatum d'Euclide. » On peut se demander comment on est arrivé à mettre hors de doute une aussi singulière proposition.

D'abord, qù'entend-on en disant qu'une proposition est démontrable? La question n'est pas embarassante pour nous, nous avons indiqué, dans la première partie de ce travail, les règles de la démonstration. Démontrer une proposition, c'est la déduire d'axiomes ou principes admis, en suivant ces règles. Mais si l'on n'avait pas défini la démonstration, la question n'aurait pas de sens. D'après les idées de Décartes, une chose est démontrée dès qu'elle nous paraît évidente. Si donc le postulatum paraît à quelqu'un évident par lui même, il est pour lui démontré, point n'est besoin d'y rien ajouter. Si quelqu'un trouve évidente une proposition, personne ne peut sérieusement le contredire et si quelque candidat au baccalauréat est interrogé sur la

93 SUR LA PIIILOSOPIIIE DES M ATHÉM ATJOL ES

démonstration d'un théorème et déclare que le théo rème est évident, un examinateur cartésien devrait avoir quelque scrupule à lui marquer une mauvaise note. L'évidence, en etïet, est purement personnelle, telle chose qui paraît évidente à l'un, est obscure pour l'autre.

Descartes me paraît avoir fait une confusion. Une démonstration bien faite produit en nous le sentiment de l'évidence, mais ce n'est pas l'évidence qui constitue la démonstration.

Nous rejetons donc la théorie de Descartes et nous adoptons une série de règles de logique, celles que nous avons exposées. Toute démonstration conforme à ces règles, est dite juste. Pour démontrer, il faut des propositions primitives appelées principes. Les principes de la géométrie suffisants pour démontrer toutes les propositions qui, dans les traités, précèdent le postulatum d'Ëuclide, permettent-ils de dé montrer celui-ci. Telle est la question à laquelle on peut répondre par la négative.

Bien des lecteurs connaissent la transformation géométrique nommée inversion. Un point fixe 0 étant donné, à chaque point M on fait correspondre un point M', situé sur la droite OM et tel que le produit des distances de 0 aux deux points correspondants soit une quantité constante appelée puis-

SUU LE POSTULVTUM D El CLIDE

sance d'inversion. Le point 0 est appelé le pôle d'inversion. A l'aide de cette transformation, à chaque figure on fait correspondre une autre figure. A un plan, à une droite, correspond une splière, un cercle passant par le point 0, et vice versa, et à des sphères ou cercles ne passant pas par 0, correspondent d'autres sphères ou cercles. Deux lignes se coupent sous le même angle que leurs inverses (on nomme angle de deux lignes qui se coupent, l'angle des tangentes en leur point d'intersection).

Telles sont, rapidement énumérées, les propriétés de l'inversion. J'y ajouterai la suivante : si l'on a quatre points sur un même cercle et leurs quatre

, , . CA DA , . inverses, la fraction ;Trr : ttt^ a la même valeur pour

ces quatre points et leurs quatre inverses. Cette fraction sera appelée le rapport anharmonique des quatre points.

Il n'est pas possible de trouver une inversion transformant chaque point M en un point très voisin de M, si, en effet, le point M est très éloigné de 0, le point correspondant est très près de 0. Au contraire, en faisant deux inv.ersions successives avec deux pôles très voisins et deux puissances peu différentes, on transforme une figure en une autre peu différente de la première. Une telle transformation

M n iii:m VTioi ES

peut êlre appelée infinitésiniale. Uii groupe de transformnlionsest dit engendré par des transformations infinitésiniales, si chaque transformation du groupe résulte de transformations inlinitésimales du groupe faites successivement. Un groupe contenant toutes les inversions ne possédera pas cette propriété, mais un groupe contenant toutes les transformations formées dun nombre pair d'inversions, la possédera.

Le groupe des déplacements possède cette propriété. Un déplacement quelconque peut être considéré comme résultant de plusieurs déplacements très petits. Le groupe de transformations contenant tous les déplacements et toutes les symétries, c'està-dire de toutes les transformations changeant un segment en un autre de même longueur, ne possède pas la propriété en question, car on ne peut pas trouver de symétrie changeant les points d'une ligure en d'autres très voisins des premiers.

Ces préliminaires, peut être un peu longs, seront utiles pour bien comprendre les considérations qui vont suivre. Nous allons considérer toutes les transformations n'altérant pas les angles, changeant en elle-même une sphère donnée. Il y a une infinité de pareilles transformations, car si l'on considère une

SI K m: posiM fATtM D'l:rcMi)i: 9'>

inversion ayant pour pôle un point quelconque et pour puissance d'inversion la puissance de ce point par rapport à la sphère, elle possède la double propriété exigée. Ces transformations changent un cercle coupant à angle droit la sphère donnée en un autre cercle possédant la même propriété.

Mais le groupe de ces transformations ne possède pasceltepropriétéd'etreengendrépardes transformations infinitésimales. Ilcontient un sous-groupe qui la possède. J'appellerai ce sous-groupe le groupe G. Nommons la sphère donnée Vabsolu. Nous ne considérerons que les points intérieurs à cette sphère. Nous ne nommerons points que les points de cet intérieur. L'espace sera l'intérieur de cette sphère, le reste ne comptant pas.

Le sens du mot angle sera conservé. Nous nommons plan et droite une sphère et un cercle coupant l'absolu à angle droit. Deux points A et B étant donnés, il y a une seule droite passant par ces deux points, c est-à-dire un seul cercle coupant l absolu à angle droit. Soient P et Q les deux points où il coupe l'absolu, le logarithme du rapport îTnharmonique ABPQ sera nommé distance des deux points. (Si l'on met le logarithme au lieu du rapport lui-même, c'est pour conserver la vérité de cette proposition : (( Si B est sur le segment AC, on a AB -f BG = AG. »

<)() SI K i.\ i>iiii,()s<)i'iiii: DKs M n iiKMA iioi i:s

On nomme déplacement toute transformation du groupe G. Ces transformations conservent les angles, elles changent les droites en droites, les plans en plans, la distance AB en une distance égale, avec les nouveaux sens que nous avons attribués à ces mots.

On peut alors constater qu'ayec les nouveaux sens attribués aux mots, toutes les propositions de la géométrie élémentaire qui précèdent le postulatum d'Euclide sont encore vraies. Au contraire, le postulatum est faux. 11 nest donc pas une conséquence des propositions suffisantes pour établir le commencement de la géométrie, c'est l'assertion que nous avions émise et qui se trouve ainsi justifiée (1).

Le postulatum est donc indémontrable. On peut le faire voir par d'autres considérations analogues aux précédentes.

Je citerai, en particulier, la géométrie non euclidienne de Klein et de Caijlei/. Dans cette géométrie, on considère encore une sphère appelée Vahsolu et l'on appelle encore espace les points intérieurs à la sphère. Les mots droites et plans conservent leur sens, mais si une droite AB rencontre l'absolu en PetQ, on nommera distance AB le logarithme du

(1) Voir, pour plus de détails sur ceci, la noie ajoutée à la nouvelle édition de mes Leçonssur les méthodes de la géométrie moderne (Librairie Ilermanni.

SLR LE POSTILAII M DELCLIDE

rapport anharmonique des quatre points A B P Q. On nommera déplacements les transformations d'un groupe K engendré par des transformations infinitésimales, changeant les droites en droites (transformations projectives) et conservant l'absolu. Ce groupe K possède les mêmes propriétés que le groupe G, et la géométrie de Klein et Ccujleif peut ainsi servir à montrer que l'axiome d'Euclide n'est pas démontrable.

Il existe une transformation qui change, comme nous allons l'expliquer, le groupe G dans le groupe K.

Soit 0 le centre, soit R le rayon de la sphère appelée l'absolu. Soit m un point intérieur à l'absolu, faisons-lui correspondre un point M situé sur la droite Om et tel que l'on ait la distance OM égale à deux fois le carré du rayon multiplié par om et divisé par le carré de om augmenté du carré du rayon. Cette transformation assez compliquée change en droites les cercles coupant l'absolu à angle droit. M. Darboux l'a étudiée complètement dans sa théorie des surfaces (Tome III, page 492). Si m et m' sont deux points^transformés l'un de l'autre par une transformation du groupe G, la transformation que nous venons de définir les changera en deux points M et M' transformés l'un de l'autre par une transforma-

f)8 SI K \.\ l'iliLosoiMiii: i)i:s m \ i hkm \ tiom:,s

tion du groupe K. Oii exprime cela en disant que la transformation qu'on vient de définir change le groupe G dans le groupe K. Deux groupes ainsi changés l'un dans lautre par une transformation sont dits isomorphes .

Deux groupes isomorphes ont des propriétés qui se correspondent, car la transformation fait correspondre à chaque propriété du 1°' groupe une propriété du second. On peut dire en un certain sens que deux groupes isomorphes ont les mêmes propriétés.

Le fait que le postulatum d'Euclide est indémontrable peut se traduire par cette proposition : Le groupe des déplacements (en géométrie ordinaire) nest pas isomorphe au groupe G ou au groupe K.

Le postulatum étant indémontrable, on se demandera sil est vrai. En précisant bien la question, nous aurons sans peine la réponse. Une proposition générale est une proposition delà forme « si A est vraie, B est vraie» ou ail n'arrive jamais que A se vérifie, et queB ne se vérifie pas ». La proposition n'aurait pas de sens, si la vérification de A, ou celle de B, était impossible.

Au lieu du postulatum lui-même, prenons la proposition de M. Poincaré, équivalente au postulatum et ne concernant que des distances.

L'hypothèse A est la suivante : « On a 9 points :

SLll LE POSTILATIM D EUCLIDE 99

ABCDEFHKO, oq a OK = 011, tous les côtés de riiexagone ABCDEF sont égaux entre eux, et ses six sommets sont tous à la même distance de H et de K de sorte que les douze distances des six sommets à H et à K sont égales entre elles. En outre les six distances des six sommets de l'hexagone au point 0 sont égales entre elles. »

La thèse B est la suivante : (( La distance du point 0 à l'un des sommets de l'hexagone, est égale au côté de celui-ci ».

Il faut vérifier A, et vérifier B. Cela ne se peut que si l'on a quelque instrument pour vérifier légalité de deux distances. Ce sont ces instruments qu'on nomme des solides, et pour faire la comparaison on doit déplacer ces solides.

Or, on peut appeler solides des corps se déplaçant de façon que le groupe de leurs déplacements soit isomorphe au groupe G. Nous aurons alors des solides non euclidiens ; c'est le nom que nous donnons à ces corps. La distance ainsi mesurée sera dite distance non euclidienne.

Alors la proposition A se vérifiant, la proposition B se vérifiera ou ne se vérifiera pas suivant que les distances dont il est question dans l'énoncé des propositions A et B sont des dislances euclidiennes, ou non euclidiennes.

SLH LA PHILOSOPHIE DES M VTHIvM A TIQUES

On pourrait donc dire : Le postulatuni n'est ni vrai ni faux, cela dépend de ce qu'on nomme f//vtance.

Mais il y a dans la nature des corps que nous nommons solides, et c'est à l'aide de ces corps que, dans la pratique, nous mesurons la distance. Seulement ces corps ne sont qu'à peu près solides. Si l'on se sert de ces corps pour mesurer les distances, le pos tulatum se vérifie avec toute l'approximation que

permet l'observation.

On peut donc dire. Les solides naturels sont approximativement euclidiens ; comme ils ne sont qu'approximativement solides, ce serait dénué de sens de dire qu'ils sont exactement euclidiens, ou qu'ils ne le sont (pas. Nous appellerons distance la distance mesurée avec un solide euclidien. Alors le postulatuni sera vrai par définition, et en même temps cette distance coïncidera, avec toute l'approximation que l'imperfection de nos instruments et de nos sens peut permettre, avec la distance mesurée avec les solides naturels.

NOTE SUR l'axiome d'aRCHIMÈDE

L'axiome d'Archimède est celui-ci. Soient deux grandeurs A et B de même espèce. En ajoutant B à

SI K LE POSTLI.ATIM D EICLIDE

elle-même, un nombre suffisant de fois, on finit par dépasser la grandeur A.

M. Hilbert a fait une géométrie dans laquelle cet axiome n'est pas admis. Je ne développerai pas ici cette géométrie. Elle présente des particularités singulières, mais son exposition serait beaucoup plus difficile que celle de la géométrie non euclidienne. En elïet, dans la géométrie nonarchimé dienne, les grandeurs ne correspondent plus à des nombres, mais à des fonctions.

Je me bornerai donc à signaler cette géométrie.

TROISIEME PAinil]