CHAPITRE PREMIER

DE L'IMFINJ

Considérons une classe d'êtres, bien définie. Pour qu'u)ie classe soit Ijieri défiuie, il faut : 1° qu'on saciie reconnaître si un être donné appartient ou non à la classe; 2» qu'on sache reconnaître si deux êtres de la classe sont distincts ou non.

Par exemple pour définir la classe des polyèdrc-s réguliers convexes, il faudra : i° donner le moyen de reconnaître si un polyèdre appartient à cette classe ; 2° dire dans quel cas on regardera deux polyèdres de cette espèce comme identiques. On est libre de considérer comme identiques deux polyèdres réguliers semblables. Si on le fait, on peut énoncer cette proposition : La classe des polyèdres réguliers convexes ne contient que cinq objets.

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On a ainsi un exemple d'une classe contenant un certain nombre d'objets ; on dira qu'une pareille classe est finie.

Une classe peut ne contenir aucun objet ; telle est la classe des polyèdres réguliers dont les faces ont plus de cinq côtés.

Une classe qui contient des objets, mais qui n'en contient pas un nombre fini, est dite en contenir une infinité.

Par exemple il y a une infinité de polygones réguliers (deux polygones semblables étant considérés comme identiques).

Les classes contenant une infinité d'objets sont loin d'être rares en mathématiques et ne présentent rien de plus mystérieux que les autres. On peut parler de tous les polygones réguliers, bien qu'ils soient une infinité, aussi bien que de tous les polyèdres réguliers convexes dont le nombre est cinq.

Les classes finies donnent lieu à la théorie des nombres entiers, les classes infinies donnent lieu à la théorie des ensembles et de leurs puissances. Deux classes finies ont le même nombre si à chaque objet de l'une ont peut faire correspendre un objet de l'autre, des objets distincts correspondant à des objets distincts. Deux ensembles infinis ont même puissance et à chaque objet de l'un on peut faire

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correspondre un objet de l'autre. Il y a une classe infinie qui peut servir en quelque sorte de type, c'est la classe des nombres entiers.

On dira qu'un ensemble est de première puissance, s il a même puissance que l'ensemble des nombres entiers, c'est-à-dire si à chaque objet de l'ensemble on peut faire correspondre un entier, de telle façon qu'à deux objets différents correspondent deux entiers différents.

Je vais insister un peu sur cette théorie, pojr la faire servir à des questions de logique d'une nature assez singulière.

Un ensemble de première puissance est souvent nommé dénombrable. Cela tient à ce qu'on peut ranger ses éléments. On mettra le premier, celui qui correspond au nombre un, le second celui qui correspond au nombre deux, et ainsi de suite.

Les nombres rationnels, par exemple, c'est-à-dire toutes les fractions possibles, forment un ensemble dénombrable. Nous supposerons les fractions réduites à leur plus simple expression. De deux fractions nous mettons la première celle dont le numérateur ajouté au dénominateur fournit la plus petite somme. Si ces deux sommes sont égales, la première des deux fractions sera celle qui a le plus petit numérateur. Or il ny a qu'un nombre limité de fractions dont la

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somme du numérateur et du dénominateur a une valeur donnée. Eu mettant les premières, celles pour lesquelles cette somme est 2, puis celles pour lesquelles cette somme est 3, etc., on rangera ainsi toutes ces fractions dans un ordre déterminé, de façon qu'à chacune délies correspondra un nombre entier égal à son rang.

De même, l'ensemble formé de tous les groupes possibles de trois nombres entiers (a, b, c) est dénombrable. De deux groupes nous mettrons le premier celui pour lequel la somme a -}- ^ + c a la plus petite valeur, et si a + /? -fc a la même valeur pour les deux groupes, nous mettrons le premier celui pour lequel a est le plus petit, et si a est le même dans les deux groupes, nous mettrons le premier celui pour lequel h est le plus petit. Comme il ny a qu'un nombre limité de groupes pour lesquels a + 6 + (* a une valeur donnée, on voit qu'on pourra ranger tous ces groupes, et par suite faire correspond dreà chacun d'eux un nombre entier égal à son rang. Comme conséquence de ce qui précède, considérons ce théorème, dit dernier théorème de Fermât. (( Si n est un entier plus grand que deux, la somme de deux puissances /^iemes (je deux nombres entiers X et y, n'est pas une puissance 7î°^^ d'un autre nombre entier». On ne possède pas de dé-

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moustration de ce théorème. Peut-être est-il faux. Je vais démontrer que s'il est faux, on pourra vérifier cela par un nombre limité d'essais. En etîet, l'ensemble des valeurs (xyn) cest-à-dire des valeurs qu'on peut attribuer simultanément au groupe de nombres (xijn) est dénombrable, d'après ce qui précède. Si donc il existe une valeur de x, de y, de ?^, telles que la somme des puissances ?i"'e^ de x et de y soit une puissance ?i'"' exacte, ce triplet de valeurs occupera un certain rang p, alors après avoir essayé tous les triplets de valeurs jusqu'au rang p, on tombera sur ce système dénombres pour lequel le théorème de Format est en défaut.

Donc : si le théorème de Fermât est faux, on peut s'en assurer après un nombre limité d'essais. Mais ces essais sont si nombreux que la vie d'un homme, et même celle du globe ne suffiraient peut-être pas pour arriver autriplet (x, y, n) pour lequel le théorème est en défaut, après avoir parcouru tous les précédents.

J'envisage maintenant l'hypothèse où le théorème de Fermât serait démontrable. Sa démonstration fait alors partie d'un ensemble dont les éléments sont toutes les démonstrations possibles. Je dis que cet ensemble est dénombrable.

Considérons en effet, tout ce qu'on peut écrire, en

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écrivant seulement n lettres. Comme il y a 26 lettres dans l'alphabet français, si on écrit n lettres on écrit un arrangement de ces 26 lettres n à n, la même lettre pouvant être répétée. Le nombre de ces arrangements est égal, comme on le démontre en analyse combinatoire, à 26 élevé à la puissance n. On peut cataloguer tous ces arrangements. Il n'y a qu'à les ranger par ordre alphabétique. Prenons d'abord les arrangements deux à deux, puis trois à trois, puis quatre à quatre,... puis n à n..., en les rangeant chaque fois : dans cette suite ainsi rangée, un arrangement quelconque n à n, occupera un rang, quelque grand que soit n. Parmi ces arrangements, quelques-uns, la plus grande partie, ne formeront pas même des mots. Bifïons-les. Biffons aussi ceux qui forment des mots dont l'assemblage ne présente aucun sens. D'autres arrangements formeront des phrases ayant un sens, mais n'étant pas des démonstrations. Il est certain que l'Eneïde, ainsi que toutes ses traductions, dans toutes les langues employant notre alphabet, tous les poëmes, romans, œuvres littéraires de toute espèce, se trouveront parmi nos arrangements. Biffant tout ce qui n'est pas une démonstration complète et rigoureuse, on aura l'ensemble de toutes les démonstrations possibles, rangées dans un ordre

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déterminé. Celles qui conliennent le moins de lettres seront les premières, et celles qui en contiennent le même nombre seront rangées par ordre alphabétique, comme les mots dans un dictionnaire. Chaque démonstration ayant un rang déterminé, celle du théorème de Fermât, si elle existe, occupera un certain rang-. En examinant toutes les démons trations dans l'ordre où elles sont rangées, on arriverait forcément, après un nombre limité de recherches, à celle du théorème en question.

On peut donc parvenir à toute démonstration par un nombre fini d'essais. Il est hors de doute cependant que cette méthode est impraticable. Supposons qu'une démonstration contienne 1.000 mots, et que le dictionnaire français contienne 10.000 mots. Le nombre d'arrangements avec répétition de 10.000 mots 1.000 à l.OOD, c'est 10.000 élevé k la puissance 1.000, ou 10 élevé à la puissance 4.000. c'est un nombre de 4,001 chiffres, l'unité suivie de 4.000 zéros. 11 est impossible d'avoir une idée d'un pareil nombre. Supposons une sphère d'un rayon si grand que la lumière, parcourant à la seconde 300,000 kilomètres mette 1 milliard de siècles à la parcourir, et cherchons le nombre de petits corps de la grosseur des globules de notre sang, que peut contenir cette sphère. Le nombre de globules ainsi trouvé sera

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tellenieut petit comparativement à celui qui nous occupe, que nous ne pouvons nous faire aucune idée de cette petitesse.

J*ai supposé que le théorème de Fermât était démontrable. On regarde généralement comme évident que toute proposition relative aux nombres, ne saurait être vraie sans être démontrable. Cependant cela ne me paraît pas certain, et je cherclie en vain une raison qui rende la chose vraisemblable. M. Hilbert, dans une communication a sur les problèmes futurs des mathématiques )), faite en 1900 au Congrès des mathématiciens (comptes rendus du congrès, page 69), parle de cette possibilité de résoudre tout problème mathématique. Nous entendons, dit-il, toujours résonner cet appel : Voilà le problème, cherches-en la solution. Tu peux la trouver par le pur raisonnement. Jamais, en effet, mathématicien ne sera réduit à dire « Ignorabimus ».

Le mot démontrable et le mot vrai, pourtant, ne semblent pas avoir exactement le même sens, quand il s'agit de démonstrations mathématiques. La proposition suivante nommée théorème de d'Alembert : « Toute équation algébrique a des racines )). N'est pas vraie quand par racines on entend des nombres entiers ou fractionnaires ou irrationnels. Pourtant, si l'on entend par racines des objets auxquels sappli-