DE L INFINI

quent toutes les règles du calcul, sans savoir ce que sont ces objets, on peut arriver à cette conclusion que la proposition n'est pas contradictoire. (Voir les leçons d'algèbre supérieure de M. Tannery, rédigées par MM. Boret et Drack, dans lesquelles on se place à ce point de vue.) Mais de ce qu'un système de propositions ne renferme pas de contradictions, il n'en résulte pas qu'il y ait des objets satisfaisant à ce système de propositions, et ne satisfaisant pas à une propriété autre que celles qu on peut déduire de ces propositions.

Cette question revient à la suivante: Si on peut construire une science, en admettant un certain nombre de symboles non définis, et certains axiomes de façon à ne pas avoir de contradictions, existet-il des objets représentables par ces symboles, de sorte que le système d'axiomes admis et ceux-là seulement soit vrai de ces objets. Le non-contradictoire est-il identique au possible. Cela paraît bien vraisemblable dans le cas où ces objets sont des nombres ou des groupes de nombres, mais je ne vois pas que ce soit certain.

Je vais maintenant montrer qu'il existe des ensembles non dénombrables.

Par exemple l'ensemble de tous les nombres possibles tant fractionnaires qu'irrationnels, compris entre 0 et 1 n'est pas dénombrable.

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Un nombre quelconque compris entre 0 et 1 est représenté par une fraction décimale limitée ou illimitée. Pour définir une fraction décimale illimitée, il suffit de donner un moyen de calculer le /i"^® chilïre. Toutefois, il ne faut pas qu'à partir d'un certain rang, tous les chiffres soient des 9. Le nombre 0.99999... par exemple, serait égal à 1, comme le montre la théorie des fractions décimales périodiques.

Cela posé, considérons un ensemble dénombrable dont les éléments sont tous des nombres compris entre 0 et 1. Je dis que cet ensemble ne contient pas tous les nombres compris entre zéro et un. En effet, formons un nombre de la façon suivante : Nous mettons d'abord un zéro, puis une virgule, puis des chiffres choisis de telle sorte que le ?i'^^^ chifïre de notre nombre ne soit ni un 9, ni le n^^ chiffre du ^i^ne nombre de l'ensemble dénombrable donné. Le nombre ainsi constitué ne sera pas dans notre ensemble. S'il y était, il occuperait un certain rang, le ?i™^ par exemple ; puisqu'il serait le ti"^^, son n^^ chifïre serait identique au iv^'"^ chifïre du ?iiiie nombre de l'ensemble, ce qui est contraire à la façon dont notre nombre a été construit.

Considérons, d'une façon plus générale, une suite infinie de nombres. Donner une pareille suite, c'est