CHAPITRE II DU CONTINU

M. Poincaré distingue le continu grossier ou vulgaire du continu tel qu'il est conçu par les mathématiciens. Des objets sont dits former un continu, si deux objets indistinguables séparément d'un 3®, peuvent néanmoins être distingués l'un de l'autre. Tel est la définition du continu vulgaire.

Je m'occuperai ici seulement du continu mathématique, et d'abord du continu dit linéaire ou à une seule dimension. Je vais énoncer les propriétés des points d'un segment de droite. Nous avons défini précédemment le mot « entre » et le mot « précède » et indiqué certaines propriétés des relations qu'ils expriment.

L'ensemble des points d'un segment AB possède les propriétés suivantes :

1° II y a un point A et un seul n'ayant aucun précédent, un point B et un seul n'ayant pas de suivant.

2o De deux points du segment, il y en a toujours un qui précède l'autre.

30 Entre deux points, il y en a toujours d'autres.

DU COMIM

4° Supposons l'ensemble des points d'une droite divisé en deux ensembles partiels, tels que tout poiat du 1" ensemble précède tout point du second. Alors il existe toujours un point séparant ces deux ensembles, c'est-à-dire tel que tous les points du 1"^ ensemble le précèdent, et qu'il précède au contraire tous les points du 2' ensemble.

Voici maintenant comment, à chaque point du segment on pourra faire correspondre un nombre.

Au point A je ferai correspondre le nombre zéro, au point B le nombre un. Je prendrai entre A et B un point que je nommerai son milieu et auquel je

ferai correspondre le nombre — soit D ce point. Entre

A et D je prendrai un point, que je nommerai le mi-

lieu de AD et auquel correspondra le nombre -r

entre D et B je prendrai un autre point que je nommerai son milieu, et auquel je ferai correspondre le

nombre—. 11 est clair que ce numérotage pourra

être prolongé aussi loin qu'on voudra, et fournira ainsi des points dont les numéros seront des fractions ayant pour dénominateurs 2, 4, 8..., c'est-àdire une puissance de deux.

Il sera convenable d'exprimer ces numéros à l'aide

SI K i.\ l'iiii.osoi'im: i)i:s \i \nri:M \ i loi ns

de la numération l)inaire; dans celle numération, il n'y a que deux chiffres 0 et 1 ; deux s'écrit 10, 3 s'é-

crit 11. 4 s'écrit 100, o s'écrit 101. - s'écrilO,l, — s'é-

crit 0.01,— s'écrit 0,11, etc. Ces sortes de fractions se-

ront nommées des fractions binaires.

Pour éviter l'arbitraire qu'il y a dans le choix du milieu de deux points, on peut supposer que l'on a une règle, une construction, qui de chaque couple de points permet d'en déduire un autre, toujours situé entre eux, et qu'on nommera leur milieu. Il convient que celte règle possède la propriété suivante : Si les numéros de deux points déterminés par cette règle sont a et h, et les numéros de deux autres c et d et si a -}- 6 = c + (/, le milieu des deux premiers points coïncide avec le milieu des deux autres.

Considérons un point P du segment AB, qui n'est pas atteint par le numérotage précédent. Il sera toujours compris entre deux numéros « et ^ dont la différence est aussi petite qu'on voudra, a est une fiaction binaire ayant autant de chiffres qu'on veut, et en définitive on verra qu'on peut donner au point P un numéro représenté par une fraction binaire illimitée.