DU COM'IM

Réciproquement, une fraction binaire illimitée représente un point dont elle est le numéro. Mettons en effet d'une part tous les points dont celte fraction binaire peut dépasser les numéros, quand on y met suffisamment de chiffres, et d'autre i)art tous les points dont cette fraction binaire ne dépasse jamais les numéros. On voit sans peine que les points de li'e espèce précèdent toujours les points de 2<^ espèce. 11 y a donc, d'après ce que nous avons admis, un point séparateur et c'est ce point qui a pour numéro la fraction binaire donnée.

On voit que la division en deux parties égales suffit pour graduer un segment de droite. On pourrait faire l'application de ceci aux arcs de cercle qu'on ne sait pas diviser autrement qu'en deux parties égales.

Nous ferons l'application de ce mode de division d'une droite à l'établissement des principes de la géométrie projective. Pour le moment, bornons-nous à constater qu'elle conduit à la notion de nombre irrationnel considéré comme une fraction binaire illimitée.

Nous avons appris à donner des numéros à tous les points d'une ligne limitée. On étendra sans peine le numérotage à une droite illimitée. On pourra passer ensuite aux ensembles à plusieurs dimen-

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sions. Dans un eûsemble à deux dimensions un point possède deux numéros, dans un ensemble à 3 dimensions, il possède 3 numéros. Je n'insiste pas sur les ensembles à plusieurs dimensions, car j'en reparlerai dans le chapitre sur les trois dimensions de l'espace.

Je vais continuer ce chapitre par quelques considérations sur un paradoxe célèbre, nommé paradoxe de Zenon. On sait que les philosophes Eléates niaient le mouvement. L'idée de mouvement, prétendaientils, est contradictoire. Achille poursuit une tortue, dont il est séparé par un stade ; bien quil aille dix fois plus vite qu'elle, il ne l'atteindra jamais. Quand il parcourt ce stade, en effet, la tortue en parcourt

YfT, pendant qu'il parcourt ce dixième de stade, la

tortue en parcourt un centième, etc.

Le paradoxe est grossier. Achille parcourt le stade en un certain temps, prenons ce temps pour unité ; pour parcourir le dixième de stade qui suit, il ne lui faut qu'un dixième d'unité, pour parcourir le centième il ne lui faut qu'un centième de l'unité de temps, etc. Le temps total employé par Achille pour atteindre la tortue sera alors la fraction décimale illimitée, 1,11111 ... et d'après la théorie des fractions périodiques, enseignée en arithmétique

Dl CONTIM

cela fait 1 + — ou -— . Oa n'a du reste qu'à diviser y y

10 par 9 pour le vérifier.

L'erreur provient de ce qu'on confond le temps employé à parler de la course d'Achille avec le temps qu'il met à la faire. Vous dites, Achille par-

court d'abord -777 puis -i-TT-, puis --r— T. etc. Si vous 10 100 1000

vouliez continuer indéfiniment cette momenclature, il vous faudrait un temps infini, mais ce temps n'a rien de commun avec celui que met Achille pour atteindre la tortue.

On peut faire uq paradoxe du même genre, mais beaucoup moins grossier, en employant la courbe appelée spirale logarithmique. Une droite OVl tourne autour de 0, pendant ce temps uu mobile M parcourt cette droite de façon que si l'angle que fait OM avec une droite fixe OX croit en progression arithmétique, la longueur OM croisse en progression géométrique, la courbe décrite par le point M est uue spirale logarithmique. Si l'on fait tourner OM en sens inverse, la longueur OM décroît au lieu de croître, et le point M décrit des spires de plus en plus rapprochées de 0.

On peut démontrer que toutes ces spires sont des figures semblables. Supposons par exemple que la longueur de chaque spire soit dix fois plus petite

1 '^o SI u i.\ umi.osoi'iin: i)i;s m \ i iii;m \tioi i.

que celle de la spire précédente. Considérons un mo bile parcourant la spirale de façon à se rappi'oclier du point 0. Une première spire étant parcourue en une seconde, la suivante le sera eu 0,1 de seconde, la suivante en 0,01, etc. Le temps employé à parcou-

ri r toutes les spires sera, 1,111, ou -— . bien qu'il y

ait une infinité de spires. Cela semble extrêmement étrange. On a peine à croire qu'il n'y ait pas là quelque contradiction. Cependant il y en a aucune.

Du reste, le continu fournit des propositions encore plus étranges. En voici une empruntée à l'ouvrage de M. Borel, sur les ensembles. Considérons un segment dedroite AB,égalà l'unitéde longueur. Pour abréger

jedirailepoint^r^ par exemple, pour indiquer le point o

dont la distance au point A est égal à -. Ce nombre sera

le numéro du point. Il est clair que les points ayant des numéros co m m en su râbles sont infiniment rapprochés ; il semble donc bien que si autour de chaque point à numéro commensurable on enlève un petit segment, il ne doit rien rester sur la droite, cependant il n'en est rien. Si autour de chaque point à numéro commensurable égal à une fraction irré-

a ductible-r, on enlève un petit segment de part et

Dl COMIM

d'autre égal à y:^, il reste encore des points sur la

droite, et il en reste même un ensemble non dénombra ble.

Cette proposition dont je ne donne pas ici la démonstration, dépasse à coup sûr en étrangeté, tous les paradoxes des Eléates. Elle montre que le continu mathématique est quelque chose d'extrêmement singulier, beaucoup moins simple qu'il ne semble au premier abord.

Dans la pratique de la science, dans les théorèmes susceptibles d'application concrète, cette étrangeté du continu disparaît. Considérons le point ayant pour abcisse la racine carrée de un demi. C'est un point à numéro incommensurable. On démontre que ce sera un des points qui resteront dans l'ensemble ci-dessus. Considérons au contraire un point dont le numéro est la valeur approchée de cette racine carrée à un Irillionième près. C'est un point à numéro commensurable, et c'est un de ceux qui ne restent pas dans l'ensemble. Mais dans la pratique, ces deux points ne se distinguent pas l'un de l'autre, tellement ils sont voisins. Dans toutes les applications pratiques de la science, on pourra les prendre l'un pour l'autre.