LA LOGIQUE

Les logiciens détinissent, d'une façon plus ou moins satisfaisante, le sens des mots : idée, terme, jugement, proposition, raisonnement, etc.

Or, il est impossible de tout définir, car pour définir un mot on emploie d'autre mots, et ceux-ci à leur tour devraient être définis. 11 y a cependant un moyen de sortir d'embarras : on expliquera le sens d'un mot en montrant l'objet désigné par ce mot.

Appliquons cette méthode, pour indiquer ce qu'on entend par jugement, proposition. Si, voyant un cheval, je pense : ce cheval est noir, cette pensée constitue un jugement. Ce qui caractérise un jugement, ce qui le distingue d'une autre espèce de pensée, c'est qu'il est forcément vrai ou fmix. Une proposition n'est autre qu un jugement exprimé soit par la parole, soit par l'écriture, soit de toute autre ma-

nière. Quand je dis, quand j'écris : ce clieval est noir, je formule une proposition.

Il faut distinguer différentes espèces de propositions. Je les nommerai faits absolus, faits relaUls et propositions générales, ou lois.

a Henri IV fut assassiné » est un fait absolu ; cette proposition est vraie ou fausse: il n'y a pas plusieurs cas possibles.

(( Ce cheval est noir » est un fait relatif; il peut être vrai dans certains cas, faux dans d'autres ; l'observation permettra, dans chaque cas particulier, de s'assurer si le fait est vrai ou faux.

(( Ce triangle a deux côtés égaux » est un fait du même genre. Si le triangle en question est tracé sur une feuille de papier, une petite expérience faite par exemple avec un compas, permettra de contrôler ce fait.

a Si un triangle a deux côtés égaux, il a deux angles égaux » est une proposition générale ou loi. Une telle proposition exprime, on le voit, une sorte de liaison entre deux faits. Si un premier fait A est vrai, un second fait B est vrai. Le fait A se nomme antécédent, ou hypothèse, B se nomme conséquent ou thèse. Au lieu de dire si le fait A est vrai, le fait B est vrai, on peut dire : Le fait A entraine le fait B. ou, le fait A implique le fait B. Nous nous servirons

d\i \erhe impliquer, qui est fort commode. Nous dirons A implique B : Gela a le même sens que : Si A est vrai, B est vrai, et a l'avantage d'être plus court.

Supposons que le fait A soit vrai, et que A implique B : alors B sera vrai aussi : Je dirai A est vrai, donc B est vrai. C'est là un raisonnement, le plus simple qu'on puisse faire. Avec le logicien anglais Peirce, je nommerai cette espèce de raisonnement une inférence.

Pour que l'inférence soit légitime, il faut : 1» que le fait A soit vrai ; 2» que la pi^-oposition générale « A implique B )) soit vraie : alors on pourra affirmer le fait B.

Par exemple la géométrie m'apprend que si un triangle a deux côtés égaux, il a deux angles égaux. J'ai sur le papier un triangle, et je m'assure, à l'aide d'un compas, qu'il a deux côtés égaux. Je puis dès lors affirmer, sans mesurer les angles, que ce triangle a deux angles égaux. C'est là une inférence.

Il y a une espèce de proposition générale d'une nature différente, et consistant à affirmer qu'il y a des cas où un fait est vrai ; Exemple : Il est possible de construire un triangle ayant un angle droit. Nous nommerons de pareilles propositions des possibilités. Au sujet de pareilles propositions, on peut faire une remarque qui est importante.

b SUK LA PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES

La proposition que je viens d'énoncer pourrait encore se mettre sous la forme suivante : u Le fait qu'une figure est un triangle, n'implique pas qu'elle n'ait aucun angle droit », d'où il résulte qu'une possibilité peut s'énoncer sous la forme « A n'implique pas B ».

Considérons deux faits A et B ; on peut considérer les combinaisons suivantes :

1° A est vrai, B est vrai.

2o A est vrai, B est faux.

3« A est faux, B est vrai.

40 A est faux. B est faux.

Dire que A implique B, c'est dire que le second de ces cas ne peut avoir lieu. Dire que A n'implique pas B, c'est dire que ce second cas peut avoir lieu.

Le petit tableau précédent peut être utile pour retourner les propositions. Supposons que A implique B, alors la fausseté de B impliquera celle de A ; c'està-dire que si B est faux, A est faux ; en effet, le cas no 2 du tableau ci-dessus étant impossible, il ne peut arriver que B soit faux et A vrai.

Au lieu de dire : Si B est faux, A est faux, je dirai : Non B implique non A. (Non A désigne la négation de A.)

Nous appelons proposition directe, celle qui nous sert de point de départ, à savoir a A implique B ».

LES REGLES DU lUISONNEMEM'

Elle consiste, nous l'avons dit, à nier la possibilité du cas n° 2.

(( B implique A » est la réciproque ; elle consiste à nier la possibilité du cas n*' 3 ; elle peut aussi s'énoncer : « Non A implique non B ».

La contraire est : (( A implique non B » ou « B implique non A », elle consiste à nier la possibilité du cas n^ 1.

Il ne faut pas confondre la contraire avec la co7itradietmrc. La contradictoire de « A implique B » c'est : « A n'implique pas B ». Elle consiste à affirmer la possibilité du cas n" 2.

Ces définitions n'importent pas beaucoup, pour l'étude de ce qui suit. Montrons maintenant, par un exemple simple, emprunté aux premières propositions de la géoméirie dans l'espace, ce que c'est qu'une démonstration.

Je vais démontrer la proposition suivante :

Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles. J'admets les propositions suivantes, qui dans les cours de géométrie, sont démontrées antérieurement à celle que je considère,

L — On peut toujours mener des plans perpendiculaires à une droite.

IL — Si deux droites sont parallèles, tout plan

SI H LA PIIHJ^SOPIHK HKS M V TIIKMA TlOl ES

perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre.

m. — Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan, elles sont parallèles.

La proposition que je veux démontrer se compose d'une hypothèse « Si deux droites sont parallèles à une 3"^e )) et d'une thèse : « Elles sont parallèles entre elles ». J'imagine un cas où l'hypothèse- est vraie : Je considère trois droites D, D', D", telles que les deux dernières soient parallèles à la i^'^, et je vais faire voir qu'elles sont parallèles entre elles.

J'écris mes hypothèses.

[a] D est une droite. {d) D et D' sont parallèles.

[h) D' est une droite. {e) DetD' sont parallèles.

Je puis toujours considérer un plan P perpendiculaire à D, d'après la proposition générale I ci-dessus. Ceci permet d'adjoindre aux hypothèses la proposition (f) P est un plan perpendiculaire à D. Quand on adjoint ainsi une hypothèse nouvelle à celles déjà faites, elle se nomme hypothèse construclion.

Maintenant, la proposition générale n° II me permet de faire l'inférence suivante :

D est une droite. D' est une droite, D et D' sont

parallèles, P est perpendiculaire à D, donc P est perpendiculaire à D'.

J'ai ainsi ce nouveau fait :

(g) P est perpendiculaire à D'

La même proposition générale I[ permet de faire l'inférence suivante :

D est une droite, D" est une droite, D et D" sont parallèles, P est perpendiculaire à D, donc P est perpendiculaire à D ".

D'où ce nouveau fait :

{h) P est perpendiculaire à D"

La proposition générale n» III permet maintenant l'inférence suivante :

D' est une droite, D" est une droite ; le plan P est perpendiculaire à D', il l'est aussi à D", donc D' et D sont parallèles.

J'aboutis ainsi à la proposition :

{k) D' et D" sont parallèles.

Cest ce (juil fallait démontrer.

Ayant désigné tous les faits par des lettres, nous pouvons résumer ainsi la démonstration.

Hypothèses abcde.

Construction f [Faite en vertu de la proposition générale Ij.

lO SLR LA PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES

1° Inférence abdf ôonc g [En vertu de la proposition générale II].

2° Inférence acef donc h [En vertu de II].

3» — k^/i donc A; [En vertu de III].

De l'exemple précédent résultent les remarques suivantes, cfui constituent en quelque sorte, la véritable théorie de la démonstration.

Pour démontrer une proposition : A implique B, on s'imagine placé dans un cas où le fait A est vrai.

L'hypotlièse A peut être décomposée en plusieurs hypothèses partielles abcde.

Une ou plusieurs proj)osition générales exprimant des possibilités, permettent d'adjoindre à ces hypothèses, d'autres faits, tels que /, nommés hypothèses constructions .

On fait ensuite une série d'inférences, en n'admettant jamais une proposition, que si elle est dans les hypothèses primitives, ou dans les conclusions des inférences antérieurement faites. De plus, chaque inférence doit èive justifiée par une proposition générale. Enfin, la conclusion de la dernière inférence est la thèse à démontrer.

Je vais insister sur ce point important, et qui semble au premier abord paradoxal. La démonstration est une sorte de mécanisme, ne supposant pas la connaissance des objets dont on parle. Dans la dé-

raonstralion précédente on a des objets qu'on appelle des droites, d'autres qu'on appelle des plans. Peu importe au fond la nature de ces objets. Entre deux droites il peut y avoir une certaine relation qu'on exprime en disant qu'elles sont parallèles. Entre une droite et un plan on peut avoir une certaine relation, que l'on exprime en disant que la droite est perpendiculaire au plan. La nature de ces relations importe peu. Ce qui importe, c'est que ces relations soient telles que les axiomes 1, II, III soient vrais.

Cela étant, la démonstration précédente est parfaitement valable. Il peut arriver, qu'en changeant le sens des mots, les principes restent vrais. Alors les démonstrations fondées sur ces principes restent vraies aussi, et les conséquences restent vraies avec le nouveau sens des mots.

Pour donner un exemple, la géométrie dite projective reste vraie quand on change le mot point dans le mot plan et inversement ; à la place des mots (( droite joignant deux points », on doit mettre « droite d'intersection de deux plans » et inversement. A la place de (( plan passant par trois points » on doit mettre {{point de rencontre de trois plans » et inversement. Chaque proposition en donne ainsi une autre qui en est en quelque sorte la traduction. C'est ce qu'on nomme le principe de Dualité.

siii Lv PHii.osopiiiF i)i:s MA I iii;\i ATioi rs

Imaginez deux personnes dont l'une nomme point ce que l'autre appelle plan, (cl vice versa), el supposez que ces deux personnes étudient ensemble la géométrie projeclive. Elles croiront se comprendre parfaitement, tandis qu'en réalité, quand l'une énoncera une proposition, l'autre entendra la proposition qui lui correspond par le principe de Dualité, et qui en est, comme il vient d'être expliqué, la traduction. Cette proposition est souvent appelée corrélative de la première. Après cet exemple, revenons aux règles générales de la démonstration.

Il faut distinguer une démonstration d'une simple inférence. Une confusion de langage très souvent commise, rend obcurs la plupart des traités de logique. On démontre une proposition générale en se servant d'autres propositions générales. Nous avons démontré la proposition « Si deux droites sont parallèles à une troisième, elles sont parallèlesentre elles ». en nous servant des propositions générales (I) (II) (III). Nous pouvons dire que des propositions I, II, m, nous avons déduit notre proposition. Déduire c'est passer de propositions générales, à une autre proposition générale : Inférer c'est passer d'un fait à un fait, en vertu d'une proposition générale.

Dans le langage courant, et dans la plupart des traités on emploie le mot déduire dans le sens que

nous lui donnons ici, et quelquefois aussi dans le sens d'inférer. La confusion produite amène celte conséquence assez singulière. On arrive à tenir le même langage que si la déduction permettait de passer non de la loi à la loi, ni du fait au fait, mais de la loi au fait, et on lui oppose une autre espèce de raisonnement, ou plutôt une autre manière de découvrir la vérité, en usage dans les sciences physiques, nommée induction, et permettant de passer du fait à la loi.

Une autre confusion est produite par le sens très flou que l'on attache aux mots propositions générales, propositions particulières. Prenons ces deux propositions, « tout homme est mortel, » (( quelques hommes sont hlonds ». La première, selon la logique d'Arislote, est générale, ou plutôt universelle, la seconde est pariiculière. Pour nous, la première est générale, la seconde également, mais cette dernière est une possibilité. La première peut s'énoncer ainsi : « Si quelque être est homme, il est mortel )), la seconde : « quelque être est un homme on ne peut pas affirmer qu'il n'est pas blond » ou encore, « Un tel est un homme implique un tel est mortel )) « Un tel est un homme n implique pas un tel n'est pas blond )).

D'autres fois on prend les mots «général, particu-

SIK LV l'IISTLOOPHIE DES MATHEMATIQUES

lier » dans un sens relatif, quand on dit qu'une proposition est plus ou moins générale qu'une autre. Ainsi : u Tout homme est mortel )) est une proposition moins générale que celle-ci : « Tout animal est mortel. » Soit une catégorie A d'objets, et une seconde catégorie B, tel que tout objet de la catégorie A appartienne à la catégorie B, sans que la réciproque soit vraie. On dira que la classe A est contenue dans la classe B. Dès lors une propriété des objets A sera moins générale qu'une propriété des objets B. Ainsi la catégorie des hommes est comprise dans celle des animaux. Dans le raisonnement suivant, appelé syllogisme, et sur lequel nous reviendrons : (( Tout animal est mortel, or l'homme est un animal, donc l'homme est mortel. » On passe d'une proposition (( Tout animal est mortel, » à une autre moins générale (( tout homme est mortel ». C'est dans ce sens que l'on peut dire: a On conclut du général au particulier », et comme la plupart des anciens logiciens ont pris comme type ce raisonnement ou quelqu'autre semblable, ils ont cru pouvoir affirmer que dans la déduction on passait toujours du général au particulier.

La fausseté de cette affirmation va ressortir des exemples suivants : 1° En partant de trois propositions générales I, II et III, nous avons démontré la

LES REGLES DU IlVTSO>>EME>T

proposition (( Deux droites parallèles à une ^^ sont parallèles entre elles ». Les propositions!, Il, III, con cernent des droites et des plans, la proposition démontrée ne concerne que des droites. La démonstration a eu en quelque sorte pour effet d'éliminer l'idée de plan entre les propositions I, II, III. Peut on dire que ces dernières ont une généralité supérieure à celle de la proposition démontrée. Non certes : elles ne concernent pas les mêmes objets, il n'y pas de comparaison possible.

On ne peut pas dire que l'on passe du même au même. Il faudrait pouvoir mesurer le degré de généralité d'une proposition : or cela ne peut se faire quand les propositions ne concernent pas les mêmes objets.

L'exemple suivant fera ressortir d'une façon frappante la fausseté de l'affirmation que je conteste

Admettons cette proposition a Dans tous triangle rectangle la somme des angles vaut deux droits )) Je vais démontrer que la proposition est encore vraie pour un triangle quelconque.

Soit un triangle ABC: du sommet A abaissons AD, perpendiculaire sur BG. Il y aurait deux cas à distinguer selon que D tombe entre B et C, ou non. Je ne considérerai que le premier cas, le second cas se

SI K i.v l'iiiLosoi'im: ])i:s maiiikma i iqi es

traiterait aussi facilement. Le théorème énoncé est vrai pour les deux triangles ADB et ADC. c'est-à dire que l'on a :

angle B + angle BAD + angle ADB = 2 droits. €t angle C + angle DAC -h angle ADC = 2

Fig. 1

€n ajoutant et observantqueADB et ADC sont droits : angle B + angle BAD + angle DAC+ angle C-i- 2 —k" mais la somme des angles BAD et DAC, c'est l'angle

A du triangle :

donc B + A + C + 2 = 4

ou B + A4-C = 2.

La proposition est démontrée. Pour abréger, je

n'ai pas détaillé les iiiférences ui indiqué les propositions qui les autorisaient, le lecteur y suppléera facilement, s'il le désire. Ce qu'il suffît de remarquer, c'est que l'on est passé d'une proposition concernant les seuls triangles rectangles à une autre plus générale concernant les triangles quelconques. On ?( généralisé tout en employant la déduction.

Propositions générales composées. Nous avons vu dans ce qui précède des propositions générales ayant leurs hypothèses formées de plusieurs faits, c'est-àdire pouvant s'énoncer ainsi :

, Si les faits ABCD sont vrais, le fait E est vrai, ou encore : les faits ABCD impliquent E.

Le fait complexe ABCD, composé des quatre faits simples A, B, C, D, ayant lieu simultanément, a été nommé par difïérenls logiciens, le produit de ces faits. En voici la raison. En arithmétique, pour qu'un produit de plusieurs facteurs soit nul, il faut e^ il suffît que l'un des facteurs le soit. Or, ici si l'on exprime par A = o l'impossibilité du fait A, pour que le fait complexe ABCD ne puisse avoir lieu, il suffira que l'un des faits simples ABCD ne puisse avoir lieu, on aura donc la même propriété qu'en arithmétique.

Le produit logique s'exprime dans le langage ordinaire par la conjonction et.

lô siK LA pniLosoi'iiii: i)i:s m atiikm vtiqi es

Lorsque la tlièse estun produit logique, oapeut toujours décomposer la proposition en plusieurs autres.

Ainsi la proposition u ABCD impliquent E et F » est en réalité double « ABCD impliquent E, ABCD impliquent F. » La conjonction et dans la thèse, n'a d'autre raison d'être que l'abréviation, elle est au contraire essentielle dans l'hypothèse.

La conjonction ou joue un rôle analogue, mais un peu différent, nous allons montrerqu'elle n'est pas indispensable.

Envisageons d'abord la conjonction ou dans l'hypothèse : soit la proposition ; Si A ou B est vrai, G est vrai. Elle peut s'énoncer en deux fois. Si A est vrai C est vrai, si B est vrai C est vrai. La proposition énoncée est donc en réalité double, et la conjonction ou ne sert que pour abréger. Envisageons maintenant la conjonction ou dans la thèse. Soit la proposition : a Si A est vrai, B ou C est vrai ». Cette proposition peut s'énoncer ainsi : « Si A est vrai et si B est faux, C est vrai » ou encore : u Si A est vrai et si C est faux, B est vrai. Oa peut donc supprimer la conjonction ou dans la thèse, en ajoutant quelque chose dans l'hypothèse.

Quelques logiciens représentent la conjonction ou par le signe +; A -f- B signifie A ou B, c'est une somme logique.

D'après ce qui précède la proposition : A implique B + G

peut s'écrire A et non B impliquent C ou bien A et non C impliquent B

On pourrait énoncer cette règle sous la forme d'une règle d'algèbre mais c'est pour nous inutile.

Objets auxquels les propositions s'appliquent, — Quand on dit « A implique B », il faut entendre que si A est vrai de certains objets, B est vrai des mêmes objets. Exemple : « Si deux droites sont' parallèles à une troisième, ces deux droites sont parallèles entre elles )). Dans l'hypolhèse et dans la thèse, il est question des mêmes droites. Gela est indiqué ordinairement par un pronom démonstratif. « Ges deux droites », on peut aussi nommer chaque objet par un nom spécial a nom propre » ou par un numéro, Exemple : (( Si deux droites D', D" sont parallèles à une droite D, D' et D" sont parallèles entre elles», ou encore, si une première et une seconde droite sont parallèles à une troisième, la première et la seconde sont parallèles entre elles.

Les propositions simples, que j'ai nommées faits, peuvent être de natures très diverses. Quelquefois, selon la manière dont on envisage les choses, un fait peut être considéré comme une loi, et la distinction

SUR i.v PiiiLo.soi>nii: dks mathkm a tioi es

semble u'être pas absolue. Par exemple : Soit D une droite perpendiculaire à un plan P, c'est-à-dire à toutes les droites de ce plan, D est une droite perpendiculaire au plan P, est un fait. On peut aussi énoncer la proposition : si une droite D' est dans le plan P, cette droite est perpendiculaire à D. Cette confusion a lieu toutes les fois qu'un individu A est dans une certaine relation « avec tous les individus d'une classe K. alors on peut dire : A est dans la relation a avec tout individu de la classe K, c'est là un fait : ou bien : si l'individu x appartient à la classe K, A est dans la relation « avec x, c'est une proposition générale.

Il suffit de signaler cette confusion possible. Dans un raisonnement, cela ne peut conduire à aucune erreur, car on a le droit d'envisager la proposition des deux façons.

Cela nous conduit à parler des classes d'objets, telles qu'on les considère dans les sciences. Pour qu'une classe d'objets soit définie, il faut qu'il y ait un moyen de reconnaître si un objet déterminé appartient à la classe, et aussi que l'identité de deux objets soit bien définie. J'explique ce dernier point: On lit dans les traités de géométrie : a II n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes ». Il faut sous-entendre que deux polyèdres semblables sont considé-

rés comme identiques. Autre exemple : En arithmétique, on considère les nombres comme des individus ; vous pouvez avoir un tas de 13 pommes, une durée de 13 secondes, c'est toujours le même nombre 13, Cette proposition « 13 est un nombre premier » est considérée comme un fait, bien qu'on puisse la considérer aussi comme une proposition générale « si une collection comprend 13 objets, on ne peut en former plusieurs collections contenant toutes le même nombre d'objets ».

D'après cela, pour que une classe K soit définie, il faut que les deux propositions : ((x est un objet de la classe K ». u Les individus x et // qui sont de la classe K, sont identiques » aient un sens, c'est-à-dire qu il y ait un moyen de savoir si elles sont vraies ou fausses.

Une classe K est dite comprise dans une autre K', si la proposition : « l'objet x appartient à la classe K » implique : « L'objet .t appartient à la classe K' ».

Il peut y avoir des classes de classes . Par exemple : Une droite peut être considérée comme une classe de points. Toutes les droites passant par un point donné forment une classe de droites : C'est donc là une classe de classes.

Une classe peut renfermer un nombre limité d'objets, ou un nombre illimité. Ainsi il n'y a que cinq

SI U LA l>IIII,OSOI'llli: DES M VTllKMATIOL ES

polyèdres réguliers convexes, tandis que la classe des nombres premiers est illimitée.

C'est ici le lieu de distinguer les deux sens du verbe être, indiqués par M. Peano, dans sa logique mathématique. Le verbre èlre peut signifier ou bien qu'un individu appartient à une classe, ou bien qu'une classe est comprise dans une autre, a Tout homme est morlel », ici le verbe est est pris dans le second sens. « La classe des hommes est contenue dans la classe des êtres mortels ». Ici la proposition est générale, elle peut s'énoncer: si quelque être est homme il est mortel ; c'est pourquoi je nommerai ce sens du verbe être : sens général. M. Peano le désigne parla lettre 3.

L'autre sens sera le sens individuel, a Paul est un homme ». L'individu Paul est contenu dans la classe des hommes.

Ces deux sens sont bien distincts. Le sens général est transitif, et non le sens individuel. Je vais expliquer d'abord la signification du mot transitif. Une relation y. est dite transitive si les deux faits AaB, BaC impliquent AaC. Exemple le signe = : si A = B et si B = C alors on peut conclure A = C. Le signe > (plus grand que). Si A est plus grand que B et si B est plus grand que C, alors A est plus grand que C. Le signe du parallélisme: Si A est pa-

rallèle à B et si B est parallèle à C, alors A est parallèle à C.

Or, le verbe « est », pris dans le sens général, est transitif. Si la classe A est contenue clans la classe B, et si la classe B est contenue dans la classe C, alors la classe A est contenue dans C.

Dans le sens individuel, le verioe « est » n'est pas transitif. Voici l'exemple choisi par M. Peano pour le montrer. Considérons cette proposition : La classe des nombres premiers est illimitée. Ici, le verbe «esï » est pris dans un sens individuel, car on ne peut pas tourner la phrase ainsi: (( Si un nombre est premier il est illimité ». Il faut la tourner ainsi. « L'individu constitué par a le groupe des nombres premiers » appartient à la classe des (( groupes formés d'un nombre illimité de nombres ». C'est le groupe qui est un individu.

Or, si le verbe a est » était ici transitif, on pourrait faire le raisonnement suivant :

5 est un nombre premier, or, les nombres premiers sont en nombre illimité, donc 5 est un nombre illimité; ce qui est absurde.

M. Peano représente le verbe être pris dans le second sens par la lettre .- initiale du mot l'a-«.

On voit par cet exemple combien il est risqué de faire des types de raisonnement du genre de celui ci

•)J\ sin L\ FinT.OSOIMIli; dks m \ TIIKMATIQ! ks

« A esl B, or B est C, donc A est C » ; beaucoup de gens, à regarder simplement, diraient: ce type est toujours valable. Or, il n'en est rien.

Le type de raisonnement tout A est B, or tout B est C, donc tout A est G est toujours valable. Ici, le mot tout indique que le verbe « est » a le sens général. Cette validité peut être démontrée. Nous supposons vraies les popositions générales.

lo Si l'individu x est A il est B ;

2o Si ^ estBil est C.

Et nous voulons démontrer que : Si x est A il est C.

Supposons vraie 1 hypothèse de la proposition à démontrer, c'est-à-dire que « x est un A » alors la proposition I nous permet d'inférer que « x est un B. ))

Puisque x est un B, la proposition II nous permet d'inférer que (( x est un G ». Ge qu'il fallait démontrer.

Le raisonnement précédent est ce que l'on nomme un syllogisme en barbara ; il se compose de trois propositions universelles affirmatives. Tout B est G est la majeure, tout A est B est la mineure, et tout A est G est la conclusion. A est le petit terme (sujet de la conclusion). G est le grand terme (attribut de

la conclusion) B est le moyen terme, qui se trouve éliminé dans la conclusion.

Je n'entrerai pas ici dans le détail de la théorie du syllogisme, je me bornerai à quelques réflexions sur la nature du raisonnement.

On regarde souvent le syllogisme comme le type du raisonnement le plus simple. On admet que toute démonstration peut être réduite en syllogismes et que la réduction ne peut être poussée plus loin. Le seul fait que la légitimité du syllogisme peut être démontrée prouve que cela est inexact. Noire syllogisme a été réduit à deux inférences. Mais il y a plus ; il paraît bien impossible de réduire un raisonnement à un série de syllogismes de l'une des formes indiquées dans les traités de logique. Car il faudrait pour cela que toute aflirmation puisse se réduire à celle-ci « l'objet x est situé dans la classe K. »

Au premier abord, cela paraît possible, et les logiciens semblent l'admettre, en disant qu'il n'y a qu'un seul verbe, le verbe être.

Effectivement, au lieu de dire: l'objet a? est dans la relation a avec A, on peut dire : l'objet x appartient à la classe des objets qui sont dans la relation « avec A, mais si l'on a ainsi mis la proposition sous la forme demandée : « l'objet x appartient à une cer-

taine classe», la difficulté n'est que reculée, car il faut maintenant définir la classe considérée.

Les relations entre les objets peuvent être de natures si multiples qu'il serait impossible d'énumérer toutes les espèces de relations pouvant exister. C'est du reste là l'objet de chaque science et non celle de la logique. Nous allons seulement donner un exemple particulier qui conduit à une importante notion.

Supposons définie une classe d'objets dont nous ne spécifions pas la nature. Nous la nommons la classe K.

Supposons définie une certaine relation, dont nom ne spécifions pas non plus la nature. Nous écrirons AprB pour dire que l'objet A est dans cette relation avec l'objet B (pr est l'initiale du mot précède).

Nous supposons que cette relation possède les propriétés suivantes :

1° La proposition AprA n'est jamais vraie.

2° Si la proposition AprB est vraie, la proposition

Bj^rA est fausse.

3° Si A n'est pas identique à B et si la proposition A7>rB est fausse, la proposition Bp?"A es! vraie (A B C désignant toujours des objets de la classe K).

4*^ Si A;}rB et si BprC alors AprC. En d'autres termes a pr)) est une relation transitive.

Toutes ces propositions seront vraies si ABC désignent des grandeurs et si pr signifie « plus petit que)). Elles seront vraies encore si ABC désignent des points sur une droite horizontale, et si pr signifie « est à gauche de )). Elles seront vraies encore si ABC sont des dates d'événements et si « pr » signifie (( est antérieur à )). Elles seront vraies également si ABC désignent des grades dans une hiérarchie, et si ((pr )) signifie u est un grade moins élevé que ». Et l'on voit par ces exemples que la relation (( pr)) satisfaisant aux trois propositions générales 1, 2, 3, 4, définit la notion d'ordre, ou de rang.

Considérons deux objets de la classe K. Soient A et B ces objets, non identiques. D'après la proposition 3, ou bien AprB, ou bien BprA. Supposons, pour fixer les idées, que AprB. Si un objet D est tel que AprD et que DprB, nous dirons que cet objet est entre A et B, ou qu'il appartient à Yintervalle AB. Les mots entre et intervalle se trouvent ainsi définis.

On peut démontrer la proposition suivante : si D est entre M et N, et si M et N sont entre B et C, alors D est entre B et C.

On suppose :

lo Que D est entre M et N, c'est-à dire MprD et Dp/N ;

28 SLU I.V PlIII^OSOIMUE DKS M VTIFKMVTIQLES

2" Que M est entre B et C, c'est à-dire BprM, et MprC ;

3" Que N est entre B et G, c'est-à-dire BprN et NprC.

On veut démontrer que 1) est entre B et C, c'est-àdire BprD eiJ)prC.

Des deux faits BprM et Mp/D, on infère BprD.

Des deux faits DprN et NprC, on infère BprC.

On a donc prouvé que BprD et que J)prC, c'est-àdire que D est entre B et C, ce qu'il fallait prouver.