NOTION DE NOMBRE ORDINAL

Nous n'exposerons pas ici les principes de l'arithmétique, nous voulons seulement montrer comment des considérations analogues aux précédentes, nous permettent de définir les nombres entiers. Outre les quatre principes précédents, nous admettons ceux qui suivent :

50 II existe dans la classe K un seul objet A tel qu'il n'y ait pas dans la classe K un objet B pour lequel BprA. L'objet A sera nommé a le premier ».

60 Etant donné un objet quelconque M de la classe K, il en existe toujours un autre N tel que MprN, et tel qu'il n'y ait pas d'objets entre M et N, et de même

LES REGLES DU RAISO>NEAIE>T o^()

si M n'est pas (( le premier », il existe un objet P tel que PprM, et tel qu'il n'y ait pas d'objet entre P et M.

Nous dirons que P est le précédent de M, et N le suivant de M.

7° Si une classe K' est contenue dans la classe K, et si elle ne peut contenir un objet sans contenir en même temps son précédent et son suivant, elle est identique à la classe K.

Ces sept propositions étant admises, l'objet nommé (( le premier » a un suivant, que l'on nomme (( le second )) (prop. 6).

Le second a un suivant que l'on nomme « le troisième )) : le troisième n'est pas identique au premier, car si A, B et G désignent le premier, le second et le troisième, on a : AprB et BprC, donc AprC (prop. 4) et puisque AprC, A n'est pas identique à C (prop. 1).

Le troisième a un suivant que l'on nomme « le quatrième ; ce dernier n'est pas identique à l'un des précédents ; on le démontrera comme ci-dessus.

En continuant ainsi, on définit chaque nombre comme étant le suivant d'un autre déjà défini. Le fait que par ce procédé on définit tous les nombres, résulte du 7^ principe. En effet, soit K' la classe des objets qu'on peut définir par ce procédé. Soit M un objet de la classe K', P son précédent, Q son suivant.

3o SI Jl l.\ PHILOSOPHIE DES M ATHÉMATIQLES

Puisque M est défini par le procédé, c'est que P l'est aussi, car le procédé consiste à définir chaque nombre après avoir défini son précédent. D'autre part, M étant défini, rien n'empêche de définir Q par le même procédé. Donc P et Q font partie de la classe K'. Donc (principe 7) la classe K' est identique à la classe K, et le procédé permet de définir tous les nombres.

On définira de même \ addition : soit« un nombre, a -\- 1 est par définition le suivant de a, a -\- 2 est le suivant de rt -h 1, a + 3 est le suivant de a + 2, etc. et comme ci-dessus, le principe 7 permet de démontrer que ce procédé suffît pour définir a -]- b, h étant un nombre quelconque.

Le principe 7 permet de démontrer la proposition suivante, nommée principe d'induction complète.

Si une proposition est vraie pour le premier nombre, si étant vraie pour un nombre elle est vraie pour son suivant, elle est vraie pour tous les nombres .

En effet, la proposition étant vraie pour le premier est vraie pour le second, étant vraie pour celui-ci elle est vraie pour son suivant, le troisième ; soit K' la classe des nombres pour laquelle la répétition de ce procédé permet de démontrer la proposition, M un nombre de la classe K' P son précédent, Q son