ES TROIS DIMENSIONS DE E ESPACE

se déplace de façon que si Foii considère ses positions à deux instants suffisamment voisins, ces deux positions soient indiscernables. Je dis alors qu'il se déplace d'une manière continue. L'ensemble des po sitions successives du point formera alors une figure que je nomme une ligne.

A chaque valeur de t correspond alors un point de la ligne, à savoir le point où le mobile est passé à l'époque t.

Supposons alors une ligne matérielle. Elle est formée d'un ensemble de points matériels, dont chacun correspond à une valeur de t. Deux points qui correspondent à deux valeurs très voisines de t sont indiscernables. Supposons que cette ligne se déplace à son tour. Tous ses points décriront des lignes. L'ensemble de ses lignes sera dit former une surface. A chaque époque 1^ correspondra une position delà ligne mobile.

La surface, en se déplaçant à son tour, engendre un volume qui peut être la totalité de l'espace, dans certains cas. Plaçons-nous dans ce cas. A chaque époque ï) correspondra une position de la surface mobile. Dès lors, considérons un point quelconque P de l'espace. L'une des positions de la surface mobile passe par ce point. Supposons qu'elle y soit passée à l'époque »;.

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Considérons le point P, de la surface mobile qui est venu en P à l'époque f. Quand la ligne mobile a engendré la surlace, elle est passée par P^ à une certaine époque. Supposons que ce soit à l'époque u. Soit Pa le point qui engendre la ligne ; il est venu en Pi sur cette ligne à une certaine époque. Supposons que ce soit à l'époque t.

t, u, V se nommeront les coordonnées de P. Dire qu'un point P a trois coordonnées, c'est dire que l'espace a trois dimensions.

On peut, il est vrai, faire à cette définition, l'objection que voici : La ligne n'est pas aussi bien définie qu'elle le parait. M. Peano a trouvé des fonctions continues x et if de t, tel que le point de coordonnées X y peut, quand t a une valeur convenable, coïncider avec n'importe quel point à l'intérieur d'un certain carré. Mais on peut éviter l'objection en disant que le poir^t ne revient jamais à une position indiscernable d'une position déjà occupée.

On pourrait maintenant se poser sur cette proposition, (( l'espace a trois dimensions » les mêmes questions que nous nous sommes posées sur le postulatum d'Euclide : Cette proposition est elle démontrable, cette proposition est-elle vraie ou fausse, ou bien ne serait-elle qu'une convention commode.

Pour la première question, il faut remarquer

LES TROIS DlMENSIO>S DE L ESPACE

d'abord les conditions dans lesquelles elle est posée. La question analogue pour le postulatum d'EucIide était : Le postulatum peut-il être déduit logiquement des autres axiomes employés pour le début de la géométrie jusqu'à la théorie des parallèles. Mais pour l'axiome des trois dimensions, la question n'est plus la même, il se pose en effet dès le début. On peut poser la question autrement: Une géométrie à plus de trois dimensions serait-elle contradictoire ? Evidemment non. Supposons qu'on appelle point un système de quatre quantités, x y z t, rien n'empêche d'étudier les transformations qu'on peut faire subir à de pareils systèmes, on formera ainsi une géométrie à quatre dimensions, et en employant des conventions de langage appropriées, on aura des propositions tout à fait analogues à celles de la géométrie ordinaire, mais d'un caractère purement algébrique.

11 y a mieux, comme géométrie à quatre dimensions. Considérons une droite, il faut quatre quantités pour la déterminer ; elle est en effet définie quand on donne les points où elle rencontre deux plans fixes, choisis une fois pour toutes. Or ces deux points étant dans des plans donnés, ont chacun deux coordonnées seulement. Cela fait donc quatre nombres, quatre coordonnées pour définir la droite. On

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exprime souvent ce fait en disant que l'ensemble des droites forme une variété à quatre dimensions. On dit aussi, qu'en considérant la droite comme élément générateur de l'espace, celui-ci a quatre dimensions.

On peut ainsi considérer dans l'espace des ensembles de ligures ayant autant de dimensions qu'on voudra, et il convient, pour l'analogie, d'énoncer un peu différemment notre proposition primitive : nous ; dirons « l'ensemble des points de l'espace est une variété à trois dimensions ».

L'axiome n'est donc pas démontrable. Est-il vrai ou faux ? La première réponse à cette question, suggérée par ce qui précède, est qu'il n'est ni vrai ni faux. Il est vrai ou faux selon ce qu'on nomme point. Voici, je crois, comment M. Poincaré envisage la chose. Le groupe de tous les déplacements possibles contient des sous-groupes. Parmi ces sous-groupes, il y en a pour lesquels un point reste immobile. Donner l'ensemble des mouvenients qui ne déplacent pas un point, ou donner ce point, c'est la même chose ; mais c'est le groupe des mouvements qui est observé directement. Si au lieu de porter notre attenlion sur les mouvements laissant un point fixe, on l'eut porté sur ceux qui laissent une droite fixe, on aurait appelé pointée que nous nommons droite, et l'espace aurait eu quatre dimensions. Je ne sais si