LES RKGLES DU R V1S0>M:MEM

suivant. La proposition est vraie pour P, car c'est en démontrant qu'elle est vraie pour P, que le procédé permet ensuite de démontrer qu elle est vraie pour M ; étant vraie pour M elle est vraie pour Q. La classe K' ne peut donc contenir M sans contenir P et Q, donc elle contient tous les nombres.

On peut démontrer toutes les propriétés des nombres à l'aide des sept principes énoncés ci-dessus. Le procédé à employer pour démontrer chaque propriété est l'application du principe d'induction complète. On démontre la propriété pour le nombre 1, et on démontre que si elle est vraie pour a elle est vra/e pour a H- 1, Je ne développerai pas cette manière extrêmement simple de présenter l'arithmétique.

La notion de nombre cardinal est différente de la notion de nombre ordinal, dont il vient d'être question. Voici comment on peut présenter cette notion :

Considérons une classe K' de nombres, définie par les principes suivants :

lo La classe K' contient le premier nombre.

2o La classe K' contient le nombre a.

30 Si la classe K' contient le nombre 6 et si ^ n'est égal ni à ^ ni à a, elle contient le précédent et le suivant de b.

32 SrU LA l'IMÏ.OSOPIIIK DKS Af ATllKM ATlOl ES

4° La classe K' contient le suivant de 1, elle contient le précédent de a, et tion son suivant.

Dans ces conditions, on dira que la classe K' contient a objets.

Je me bornerai à celte définition. Je ne discuterai pas les quelques difficultés qu'on peut lui opposer, telle que celle-ci : Il faut démontrer que le nombre d'objets d'une collection ne dépend pas de l'ordre dans lequel on les numérote. Ce principe se démontre en appliquant l'induction complète.

Ces théories semblent étrangères à la logique ; ce sont les principes de Tarithmétique. Si je les place ici, c'est pour donner au lecteur un exemple de ce qu'on peut nommer une notion première. La notion de nombre est indéfinissable ; celle de précédent ou suivant, également ; mais ces notions dont le sens reste forcément dans Tombre-, satisfont aux sept principes numérotés ci-dessus. En un sens, ces sept principes défumsent la notion, ou pour être plus exact, ces principes permettent de raisonner sur la notion non définie.

Les mathématiques emploientd'autres idées; nombre fractionnaire, nombre irrationnel, nombre positif ou négatif, quantité imaginaire. Mais ce ne sont pas là des notions nouvelles, ce sont de simples expressions abréviatives, ou simplement commodes.

Ainsi :

2 3 17 Dire que ^ + — = --^, c'est dire que multiplier

un nombre quelconque (divisible par trois et par 4) par 2, le diviser par 3, y ajouter le résultat obtenu en multipliant ce nombre par 3 et le divisant par 4, fournit le même résultat que si on le multiplie par 17 et qu'on divise le produit par 12, c'est-à-dire que A désignant un nombre choisi de façon à rendre possible toutes les divisions indiquées :

et c'est là une égalité entre entiers. Ainsi une égalité entre nombres fractionnaires se ramènera toujours à une égalité entre entiers.

Dire que la diagonale d'un carré est, à son côté dans le rapport l/2, c'est-à dire que si l'on prend une

fraction — du côté, c'est-à-dire m fois la n'''^