SUR LA GEOMETRIE FROJECTIVE

pour un autre, et que nous nommerons le plan absolu. Considérons une droite quelconque, qui coupe ce plan en A. Prenons sur cette droite deux points B et G quelconques, et servons-nous de ces trois points pour établir sur cette droite un numérotage, ainsi qu'il a été expliqué ci-dessus. Le rapport de deux segments, M Net RT situés sur cette droite sera, par définition, le rapport des éloignements, définis ci-dessus, et indépendant, comme on l'a déjà dit, des numéros de B et de G:

Si nous projetons la droite sur une autre, en prenant le sommet de projection dans le plan absolu, ABG se projetteront en abc que l'on numérotera comme ABG, et alors un point quelconque de la droite aura même numéro que sa projection. Le rapport de deux segments sera donc égal à celui de leurs projections.

On pourrait appeler droites pseudo-parallèles deux droites qui se coupent dans le plan absolu.

Or, à l'aide de ce principe : le rapport de deux segments est égal à celui de leurs projections, on peut établir toute la géométrie projective.

Voici une manière de procéder. On établit d'abord le théorème des transversales. Une méthode due à Poncelet, et trop peu connue, consiste à projeter les segments sur une droite parallèlement à la

transversale. La relation à démontrer entre les segments est remplacée par une relation entre leurs projections, et cette relation est une identité. Pour adapter cette méthode à notre théorie, il suffit de remplacer les projetantes parallèles à la transversale par des pseudo-parallèles.

Maintenant, le théorème du rapport anharmonique, fondement de la géométrie projective, se déduit du théorème des transversales. (Voir la géométrie élémentaire de MM. Nievenglowski et Gérard, tome I, page 242, Ex. 2.)

On peut aussi faire une géométrie analytique. Prenons trois axes OX, OY, OZ, et projetons un point quelconque sur OX, en menant un plan par ce point et par la droite suivant laquelle le plan YOZ rencontre le plan absolu. Ce plan coupera OX en un point qui aura un certain numéro, OX ayant été au préalable numéroté. En répétant cette construction pour OY et OZ, on voit que l'on obtiendra trois numéros pour chaque point de l'espace.

On établira comme d'habitude les formules donnant les coordonnées d'un point qui divise un segment dans un rapport donné, en remplaçant les parallèles par des pseudo-parallèles dans toutes les constructions, on démontrera ensuite qu'une équation du pr degré représente un plan, etc.

lo Sur la théorie des groupes et sur le raisonnement en général.

A propos de la géométrie et des principes de celte science, j'ai été amené à définir ce qu'on entend par transformation et par groupe de transformations. Cette notion de transformation et dégroupe acquiert dans les sciences matliématiques, aussi bien en analyse qu'en géométrie, une place de plus en plus grande.

J'ai présenté cette notion comme une opération faisant correspondre à chaque point un point, mais on peut envisager les choses d'une façon bien plus générale. Je vais le faire ici, tout en restant aussi élémentaire que possible.

Nous considérons un ensemble E. Les objets composant cet ensemble sont de nature quelconque. Il suffit pour que l'ensemble E soit défini que: !« Il y ait un moyen de reconnaître si un objet appartient ou non à l'ensemble ; 2^ Il y ait un moyen de reconnaître si deux objets de l'ensemble sont distincts ou non.

!,So SIK LA PHILOSOI'lIlIi: DES M \TIIK\r MIQUES

Supposons que pour donner un objet de l'ensemble, il faille donner n quantités (comme pour donner un point de l'espace il faut donner ses trois coordonnées). Nous dirons alors que l'ensemble considéré est à n dimensions; les ii quantités pourront être appelées les coordonnées ;de chaque objet.

C'est ainsi que l'ensemble des sphères est à quatre dimensions, car pour définir une sphère, il faut donner les trois coordonnées de son centre et de son rayon. Nous avons du reste expliqué ailleurs, avec quelques détails, cette notion sur le nombre de dimensions d'un ensemble.

Une transformation, ou correspondance, sera alors un moyen de faire correspondre à chaque objet, ou comme nous dirons, à chaque élément de l'ensemble, un autre objet ou élément soit du même ensemble soit d'un autre ensemble.

Nous envisageons d'abord les transformations faisant correspondre à chaque élément d'un certain ensemble E, un élément du même ensemble. Il suffira, pour définir une pareille transformation, de donner des formules permettant de calculer les coordonnées de l'élément correspondant à un élément donné, connaissant les coordonnées de celui-ci. La géométrie fournit un grand nombre d'exemples de

transformations. Citons les transformations de contact de M. Lie.

Voici ce que M; Lie nomme élément de contact. C'est l'ensemble d'un point et d'un plan passant par ce point. L'ensemble de tous les éléments de contact est à ciuq dimensions. Pour le montrer à un lecteur peu familier avec la géométrie analytique, supposons trois axes rectangulaires. Un point sera défini quand on donne trois quantités, ses trois coordonnées. Un plan passant par ce point sera défini quand on donne en plus les deux points où il coupe deux des axes, et par conséquent les distances de ces points au point de concours des axes. Cela fait bien en tout cinq quantités.

On dit qu'un élément de contact appartient à une surface, s'il est formé d'un point de la surface et du plan tangent en ce point; qu'il appartient à une ligne, s'il est formé d'un point de la ligne et d'un plan passant par la tangente en ce point. L'élément est dit appartenir à un point A, s'il est formé du point A et d'un plan quelconque passant par A. Les transformations de contact de Lie font correspondre à chaque élément de contact un autre élément, de façon qu'à tous les éléments appartenant à une même multiplicité (surface, ligne ou point) correspondent tous les éléments appartenant à une même multiplicité.

Définissons maintenant le produit de deux transformations. Si une transformation T change un point A dans uu point B, et une seconde S change le point B dans le point G, la transformation qui change A en G et qui équivaut par conséquent à T et S faites successivement se nommera le produit de T par S, et se désignera par TS.

Il faut observer que le produit de T par S n'est pas égal à celui de S par T : on n'a pas en général TS=ST.

Mais le produit de T par SU, est égal au produit de TS par U, en sorte que T(SU) = (TS)U. On le voit facilement de la façon suivante: si T change l'élément A en B, si S change B en G, taudis que la transformation U change G en D, alors SU change B en D, ï (SU) change donc A en B puis B en D, c'est-à-dire change A en D. TS change A en C(TS)U change donc A en G, puis G en D, c'est-à-dire A en D. Donc T(SU) et (TS)U ont bien le même effet, changer A en D .

La transformation inverse de la transformation S qui change A en B, est par définition celle qui change B en A. On la désigne par S-^ Le produit d'une transformation par son inverse change A en B puis B en A, c'est-à-dire change chaque élément A en luimême. G'est donc la transformation identique, qui

ne change rien. On la désigne par le nombre 1, parce qu'en multipliant quelque chose par un, on ne le change pas.

^ Un groupe de transformations est un ensemble de transformations tel que le produit de deux quelconques d'entre elles, et l'inverse de chacune d'elles, fasse encore partie de l'ensemble.

Toutes les transformations conservant quelque chose, forment un groupe. Prenons par exemple en géométrie les transformations conservant les lignes droites cest-à-dire transformant une première droite en une seconde droite. Il est clair que le produit de deux pareilles transformations cliangeant une première droite en une seconde et celle-ci en une troisième fait aussi partie du groupe.

Venons à la notion, dont nous avons déjà parlé à propos du postulatum, de groupes isomorphes, et déstructure d'un groupe.

Soit G un groupe, S une transformation de ce groupe, H une transformation ne faisant pas partie du groupe, et pouvant même changer les éléments de l'ensemble E dans ceux d'un autre ensemble.

Supposons que S change A en B, que H change A en a, B en b. La transformation S' qui changea enb, sera nommée la transformée de S par H. C'est la transformation H-^SH ; en effet H~^ change a en A,

334 SLI\ LA PlIlLOSOPilIE DES MATHÉMATIQUES

S change A en B, H change B en h ; le produit considéré change donc a en b.

A chaque transformation S, correspond ainsi une transformation S', au produit de deux transformations correspondra le produit des deux transformations correspondantes, car si deux transformations changent, la première A en B, la deuxième B en C, le produit change A en C. Si H change A, B, C en a, b, c, les transformations correspondantes changeront la première a en b, la deuxième b en c, et leur produit changera a en c. Ce produit correspondra donc bien au produit primitif.

Dès lors, le groupe G se transformera en un groupe G', on dit que les groupes G et G' sont isomorphes, ou quils on! même texture.

Si on transforme tous les éléments de l'ensemble £ par une transformation H, on obtient un second ensemble E'. A deux éléments de E qui sont dans une certaine relation R, correspondront deux éléments de E'. Nous dirons que ces deux éléments sont dans la relation r transformée de R. Cela voudra dire simplement que ces deux éléments sont les transformés de deux autres qui sont dans la relation R.

A toute propriété du premier ensemble, corres-

pondra ainsi une propriété du second, à tout raisonnement concernant le premier ensemble on pourra, par une sorte de traduction, ou de substitution de mots, faire correspondre un raisonnement concernant le second. Nous dirons encore que ces raisonnements ont même forme, ou même texture.

On peut imaginer des transformations bien diverses. Supposons qu'à un point et une époque, on fasse correspondre un point et une autre époque. Je précise ; un point est déterminé par 3 coordonnées, X, y, z, et le temps par une seule quantité t, chaque époque correspondant à chaque valeur de t. Soient 4 autres variables X, Y, Z, T, qui sont des fonctions dex, y, z, t. Ces 4 autres nouvelles variables définiront un autre point et une autre époque. A un point en repos correspondra un point en mouvement. Malgré cela deux groupes transformés l'un de l'autre Êpar une telle transformation auront même texture.

L'idée générale que l'on peut dégager de là est celle-ci. On peut interpréter l'univers de bien des façons, mais si deux manières d'interpréter les phénomènes sont différentes, elles auront néanmoins même texture, dans le sens donné plus haut à ce mot. Il y a beaucoup d'arbitraire dans la façon dont nous interprétons les choses, pour les adapter à no-

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tre esprit, mais la texture de l'interprétation est unique.

2o Sur les notions premières

LimpossibiliLé de tout définir est une chose parfaitement cerlaine. Il y a donc des choses dont on ne peut donner la définition. .Malgré cette évidence, beaucoup de personnes s'ingénient à définir les idées les plus simples, et comme elles emploient pour cela des mots plus compliqués, les personnes qui les lisent trouvent avec raison que cette philosophie est une chose bien obscure, bien peu intelligible.

Prenons la notion de nombre : un nombre déterminé, par exemple le nombre sept. Que signifie cette proposition : il y a sept billes dans un sac. L'écolier auquel cette question serait posée ne serait pas embarrassé pour répondre. Il vous montreraitcomment on compte les billes. Le philosophe, lui, n'a jamais pu en sortir. Pour moi, je crois que l'écolier a raison. Comprendre le sens d une proposition, de la nature de celles que j'ai nommées jaits relatifs, c'est savoir faire l'observation ou l'expérience nécessaires pour constater sa vérité ou sa fausseté. L'écolier sait faire l'expérience, donc il comprend le sens de la proposition.

Prenons la notion d'addition. L'écolier sait bience que c'est qu'ajouter une bille à une collection de billes placées dans un sac. L'opération à faire pour ajouter l'unité à une collection peut d'ailleurs changer selon la nature de la collection. Ajouter un wagon à un train est une opération assez compliquée nécessitant un effort physique assez considérable.

La notion de nombre a ceci de particulier qu'elle s'introduit dans le raisonnement même, en sorte que certaines règles de logique n'auraient pas de sens si l'on ne savait pas compter. Par exemple, je veux démontrer le théorème de Pascal. « Si un hexagone est inscrit dans une section conique, les points de rencontre des côtés opposés sont en ligne droite. » Je suppose donc un hexagone, ABCDEF. La phrase que l'on prononce habituellement est celle-ci : Soit un hexagone ABCDEF. Ceci suppose que je sais compter jusqu'à six, et constater que A, B, C, D, E, F est une collection de six lettres. Les exemples analogues sont extrêmement abondants.

3° Sur la définition des sciences et leur classification.

Ne m'étant occupé que des sciences rationnelles, je n'ai rien dit dans le courant du volume sur la classification des sciences. D'ailleurs un tableau synoptique des différentes espèces de science avec des