CHAPITRE 11 LA PU1SSA.NCE DU RAISONNEMENT

Nous avons vu clans le chapitre précédent, de quelle nature est le raisonnement mathématique. Ce raisonnement peut d'ailleurs aiïecterdes formes variées. Dans le calcul algébrique, par exemple, les propositions simples sont des égalités, qui s'écrivent au moyen des signes de l'algèbre. On fait encore ici des inférences : d'une égalité on conclut une autre, en vertu des règles du calcul algébrique. Ce sont donc ici ces règles qui servent de propositions générales autorisant le passage d'une égalité à une autre.

Dans certains autres cas, les constructions jouent un rôle prépondérant. Il en est ainsi par exemple, toutes les fois qu'où veut démoutrer l'existence d'une objet possédant certaines propriétés. On indique la construction qui fournit cet objet. Elle peut être fort longue, et il peut arriver qu'il n'y ait presque rien à dire pour démontrer ensuite que cet objet remplit les conditions voulues.

On rencontre souvent des raisonnements par l'ab-

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surde.Dans ces raisonnements, on suppose fausse la proposition à démontrer, et l'on déduit de là une conséquence absurde. Cette manière de procéder que l'on a souvent critiquée, présente parfois de grands avantages. 11 y a des cas du reste où il serait impossible de l'éviter. Dans la théorie des séries, on démontre que le nombre appelé e est irrationnel, en démontrant que s'il était égal à un entier ou à une fraction, on serait conduit à la conséquence suivante : Un nombre entier serait compris entre zéro et un. On ne pourrait guère procéder autrement.

On rencontre parfois aussi des afïirmations difficilement démontrables et qui se justifient par l'intuition. J'en donnerai un exemple. On a deux vecteurs AB et CD. Un vecteur est un segment de droite sur lequel on distingue une origine A, et une extrémité B. Cela posé, on dira que le vecteur CD est dextrorsum par rapport à AB, si un observateur couclié suivant AB. de façon que la direction AB le traverse des pieds à la tète, et regardant le vecteur CD, voit le point D à droite du point C. On peut alors énoncer cette proposition : Si CD est dextroi'sum pdiV rapport à AB, AB est dextrorsum par rapport à CD. L'intuition le montre facilement. Une démonstration ne serait pas impossible, mais présenterait une certaine complication.

SUll LA PIIILOSOl'HIE DES MATIIKMATIQI i:.>

L'intuition joue un grand rôle clans le début de la géométrie élémentaire. C'est elle qui fournit les axiomes, comme nous le verrons. Elle joue aussi un rôle considérable dans la science nommée : « Analysh sitûs ». Cette science étudie les propriétés des figures qui demeurent inaltérées par une déformation continue quelconque.

D'où vient la puissance du raisonnement ? Cette puissance a souvent été niée. Le célèbre philosophe anglais Stuart Mill a soutenu cette opinion que le syllogisme (regardé souvent comme la forme type du raisonnement) ne saurait rien nous apprendre). Considérons ce syllogisme : « Tout animal est mortel, or riiomme est un animal, donc l'homme est mortel ». Ou bien nous savons d'avance que l'homme est mortel, et dans ce cas, point n'est besoin du syllogisme pour le démontrer, ou bien nous ne le savons pas, et alors le syllogisme ne nous le démontre pas, car il pourrait arriver que tout animal fut mortel, excepté justement l'homme.

Entrons dans quelque détail. On peut distinguer les propositions analytiques, vraies par définition, des propositions synthétiques, démontrées par l'observation ou de toute autre manière. Les serins sont des oiseaux, les oiseaux ont des plumes. Voilà des proposilions analytiques. Le syllogisme : u Tous les

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oiseaux ont des plumes, or les serins sont des oiseaux, donc les serins ont des plumes, pourra être appelé syllogisme analytique. Il ne nous apprend rien, il offre une apparence ridicule. Plaçonsnous maintenant dans un autre cas. Un chimiste, je suppose, a découvert un nouveau composé d'hydrogène et de carbone, un nouvel hydrocarbure. Il fait ce raisonnement. Tous les hydrocarbures forment avec l'oxygène un mélange détonnant ; or le corps que j'ai découvert est un hydrocarbure, donc il forme avec l'oxygène un mélange détonnant. Son raisonnement cette fois n'est pas analytique, mais en revanche, il ne donne pas la certitude. Il est très probable que la conclusion est juste, car si les hydrocarbures détonnent avec l'oxygène, c'est pour une raison qui tient à leur composition chimique, et qui doit subsister pour tous ceux qu'on n'a pas encore réussi à préparer, pourtant cela n'est pas absolument sûr. Il semble donc que le syllogisme soit dans tous les cas impuissant. S'il est. analytique, il ne nous apprend que des choses déjà connues, s'il est synthétique, il ne nous donne pas la certitude.

Mais le syllogisme n'est pas le raisonnement. La question de savoir si le raisonnement nous apprend quelque chose reste donc entière. Condillac a soutenu que toutes les propositions mathématiques

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étaient analytiques, que si dans chacune d'elles on remplaçait les mots par leur définition, on obtiendrait des identités. Pour réfuter cette assertion, il suffît de faire l'expérience. D'ailleurs le fait que les sciences ont des axiomes, que l'on peut nier sans tomber dans la contradiction, prouve aussi la fausseté de l'opinion de Gondillac.

Sans aller jusque-là, on peut dire : Il n'y a dans les conséquences que ce qu'il y a dans les principes. Affirmer les conséquences, c'est en réalité une manière déguisée d'affirmer les principes, en sorte que le raisonnement ne nous apprend pas quelque chose de réellement nouveau.

Pour répondre à cela, je ferai dabord une remarque concernant la nature du raisonnement. Reprenons le raisonnement fait au chapitre premier. Nous avons admis trois propositions générales : 1» On peut toujours mener un plan perpendiculaire ta une droite ; 2' Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaires à l'autre ; 3" Si deux droites sont perpendiculaire à un même plan elles sont parallèles, Nous en avons déduit la 4" proposition suivante : deux droites parallèles à une 3^ sont parallèles entre elles ». Dans les traités de logique on considère les raisonnements comme des suites de syllogismes, nommées sorites.