LA PUISSANCE DU RAISONNEMENT

Or, essayezde faire uûsoriteaveclestroispropositiolis précédentes. Comme elles peuvent être rangées de six façons, l'essai ne sera pas long ; dans quelque ordre que vous les rangiez, Téchec est complet. Dans le raisonnement fait au chapitre P^ on s'y prend tout autrement. On se met en présence d'un objet composé de trois droites, dont les deux premières sont parallèles à la troisième. A ces objets, le l^»" principe permet d'adjoindre un plan perpendiculaire à la 3« droite. Finalement on a trois droites et un plan et on applique les principes à cet objet.

Le raisonnement n'est donc pas l'art de combiner les principes, mais l'art de combiner des objets et d'appliquer les principes à ces combinaisons.

On peut maintenant donner la raison de cette puissance du raisonnement, qui d'un petit nombre de principes fait jaillir des sciences si complexes . Certains de ces principes peuvent être appelés formateurs. Ils permettent, avec les objets déjà connus, de former de nouveaux objets, et parla combinaison de ces objets entre eux, toujours de nouveaux objets, et cela à l'infini.

Je vais insister là-dessus, car c'est le point le plus important de la philosophie des sciences. Il s'agit au fond d'expliquer pourquoi la science rationnell e est possible. Les autres questions que nous exami-

litj SLR LA PHILOSOPHIE DLS NLMHÉMATIQUES

nerons portent sur des sciences particulières. Cellelà porte sur la science en général, ou du moins sur la science rationnelle, la seule parfaite.

Le plus simple des principes formateurs consiste en la possibilité d'ajouter l'unité à un nombre quelconque, et par là de former un nouveau nombre. Les êtres appelés nombres sont ainsi formés à l'infini, et le principe d'induction complète permet de démontrer leurs propriétés. Mais il y a d'autres principes formateurs. Je vais examiner comment, dans une science, ces principes permettent de former indéfiniment de nouveaux objets et d'étendre ainsi à l'infini le champ de la science. Je prendrai successivement pour exemples l'analyse et la géométrie.

L'analyse étudie les fonctions. Indiquons, pour les lecteurs non familiers avec cette science ce que c'est qu'une fonction . On a une variable x, c'est-à-dire une quantité pouvant prendre différentes valeurs; si à chacune de ces valeurs on fait correspondre une valeur d'une autre quantité y, on dira que // est une fonction de .r. Ainsi le carré, le cube de x sont des fonctions de x. Toute formule qui contient x, de telle sorte qu'on puisse en calculer la valeur quand .T est connu, est une fonction de x.

Si donc on a plusieurs fonctions de x, leur somme,

LA PIISSAXCE DU H.\TSON>EME>T 4^

différence, produit, quotient, et généralement toutes les opérations arithmétiques qu'il est possible d'exécuter sur elles, fournissent aussi des fonctions de x. C'est bien là un principe formateur permettant de trouver indéfiniment de nouvelles fonctions. Pourtant la grande extension de l'analyse résulte plus particulièrement d'un autre mode de formation des fonctions dont je vais maintenant dire un mot. On considère, en analyse des suites infinies de nombres. On ne peut écrire sur le papier une suite infinie de nombres, il est donc indispensable d'indiquer ce qu'on entend par (( donner une pareille suite )). Or donner une pareille suite, c'est donner le moyen de calculer chaque nombre qu'elle contient, dès que l'on connaît son rang dans la suite.

Il peut arriver qu'en prenant dans la suite un nombre de termes de plus en plus grand, la somme de ces termes se rapproche de plus en plus d'un nombre fixe. Dans ce cas, on dira que la suite est une série convergente, et le nombre fixe se nommera la somme de la série.

Or on peut supposer que les termes d'une série, au lieu d'être des nombres fixes soient des fonctions. Alors la somme de la .série sera aussi une fonction. On a ainsi un nouveau mode de formation de nouvelles fonctions, un nouveau principe permettant la

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formation de nouveaux objets. Ce principe fournit des fonctions bien plus intéressantes que la simple répétition des opérations de l'arithmétique.

Envisageons maintenant la géométrie. Cette science étudie les figures, c'est-à-dire les ensembles de points. Après l'étude des figures faisant l'objet de la géométrie élémentaire, droite, plan, cercle, on peut former de nouveaux objets à laide des principes mêmes de la géométrie. Par deux points on peut toujours faire passer une droite : si donc nous envisageons un cercle et un point hors du plan du cercle, on peut faire passer une droite par ce point et par chaque point de la circonférence. L'ensemble des droites ainsi construites formera une surface nommée côûe à base circulaire. Nous avons donc formé un nouvel objet. Maintenant une droite et un plan se rencontrent toujours, sauf le cas d'exception où la droite est parallèle au plan. Si donc j'envisage un plan quelconque, il coupera les droites dont l'ensemble constitue le cône ci-dessus défini. On aura ainsi dans le plan, un ensemble de points formant une courbe, et qu'on nomme une section conique, ou simplement une conique. Cest encore là un objet nouveau à étudier. On voit par ces exemples simples comment les principes permettent de former de nouveaux objets et d'étendre ainsi la science. Mais

LA PllISSAXCE DU RVISO>>EME>T 4^

la géométrie analytique, inventée par Descartes, fournit un moyen bien plus puissant de définir des courbes et des surfaces. A un point on peut faire correspondre un groupe de deux ou trois nombres, selon qu'il s'agit de géométrie à deux ou à trois dimensions. Ce seront si l'on veut, les distances de ce point à trois plans rectangulaires. Toute relation entre ces nombres définira dans le plan une courbe, dans l'espace une surface. D'où un moyen nouveau de définir des courbes et des surfaces, aussi nombreuses qu'on voudra.

Le raisonnement, pourrait- on encore objecter, ne crée pas réellement des objets nouveaux, il peut seulement combiner de diverses façons des objets déjà connus. A cela on peut répondre que l'ensemble des pierres avec lesquelles un édifice doit être construit, ne constitue pas un édifice. Les principes d'une science, dit-on, contiennent la science tout entière. Gela est vrai, mais à la façon dont un bloc de marbre contient une statue, et personne ne soutiendra sérieusement que le sculpteur en faisant sortir la statue du bloc, n'en tire pas un objet nouveau.

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