IV. — La distribution des fractions

17. Nous sommes maintenant en mesure de rechercher quelle disposition prennent dans le Tableau les différentes fractions de l’ensemble (E). Cette recherche aura pour point de départ le théorème suivant :

Des qu'une fraction rationnelle irréductible diff£re de la fonction y d'un

2! H. PADÉ.

infiniment petit dont l'ordre est supérieur à la somme des degrés de ses termes, elle fait partie de l'ensemble (E).

Soient, en effet, : cette fraction irréductible et 72 +1 l’ordre de l'approximation qu’elle fournit, et qui, par hypothèse, est supérieur à la somme des degrés de ses termes, »2 pouvant d’ailleurs être infini. Supposons qu'il y ait deux nombres p et g qui soient au moins égaux respectivement à chacun de ces degrés et tels, en outre, que la limite

inférieure de l’ordre de l’approximation fournie par la fraction & de l’ensemble (E) qui correspond au couple (p, 4), c'est-à-dire ete dépasse pas » +1; on à alors, d'une part,

et, d'autre part, Il Il ; L = mA | o + (tm),

À P ue ” ue U et l’on déduit de là l'identité des fractions vs

L'hypothèse de l’énoncé assure l’existence des nombres p et gq. Soient, en effet, &, + les degrés des polynômes IL, ®; l'hypothèse s’exprime par l'inégalité

D DENT; nous poserons D+o+m—m,

m' étant ainsi un nombre de la suiteo, 1,2, .... Les nombres pet q doivent satisfaire aux trois inégalités

PE, 7 ep; PF EI = 0e mMm Et.

Si l’on désigne par p’, g' deux nombres de la suite o, 1, 2, ... et que l’on pose