Désignons par A,, le déterminant d'ordre g +7, Le

€ p+1 dp ASC Ap+1—q

p+9 p+1 QU Ap+2-q =.

Ap+i+g Ap+qg +++ Ap+i

les coefficients qui figurent dans les g premières lignes sont ceux des équations en /relatives au couple (p, q).

Si le nombre 4,, est plus grand que un, c’est que la solution principale satisfait à l'équation

Apxi+alo + Gpsqh Ford pril 0,

et alors le déterminant AÀ,, est nul. Réciproquement, si A,,— 0, toute solution des équations en / satisfait aussi à l’équation précédente, et, par suite, 4, est plus grand que un.

Si le nombre &w,, est plus grand que zéro, c’est que, dans la solution principale, 4 est nulle; il faut pour cela que le déterminant A,,,-, Soit nul. Réciproquement, si ce déterminant est nul, les équations admettent une solution où /, est nulle; la première au moins des

pe 5

3/, H. PADÉ.

inconnues dans la solution principale a la valeur zéro, et par suite w,, est plus grand que zéro.

Si le nombre x,, est plus grand que zéro, c’est que, pour la solution principale des équations en /, on a aussi

ol Gp 1e et Cp-gig — Os

et l’on voit qu’alors le déterminant A,,, est nul. Réciproquement, si ce déterminant est nul, toute solution des équations en / satisfait à l'équation précédente, et par suite x,, est plus grand que zéro.

I reste à examiner le nombre À,,. S'il est plus grand que zéro, on à /,—= 0 dans la solution principale, et, par suite, le déterminant A,,-, est nul; mais ici la réciproque n’est pas vraie; ce déterminant peut être nul sans que, dans la solution principale, £, soit nulle, sans que par conséquent À,, soit plus grand que zéro. Il n’en reste pas moins vrai que la fraction est encore anormale, puisqu'il y a une solution des équations en / où {, est nulle et que, par suite, le dénominateur de la fraction n’est pas de degré g; si, dans la solution principale, !, est différente de zéro, c’est que l’une des trois autres singularités se présente.

La fraction qui correspond au couple (p, g) conduit ainsi à la considération des quatre déterminants A,,4, An 4,9-1 Apg—19 Ap—1,45 POUF une fraction située dans la première file horizontale ou verticale du Tableau, deux seulement de ces symboles ont un sens; un seul a un sens si l'on considère la fraction qui est au sommet du Tableau. On s'assure immédiatement que ces symboles dénués de sens peuvent être considérés comme des quantités différentes de zéro quelconques, les singularités auxquelles ils correspondent ne pouvant alors sûrement se présenter. On peut donc, en toute généralité, dire que, si la fraction qui correspond au couple (p, g) est anormale, l’un au moins des quatre déterminants considérés est nul, et réciproquement, si l’un des quatre déterminants est nul, la fraction est anormale; donc :

La condition nécessaire et suffisante pour que la fraction qui corres-

pond au couple (p, q)soit normale est que chacun des déterminants Apg Ap-i,g-n À