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sou différent de zéro.

SUR LA REPRÉSENTATION APPROCHÉE D'UNE FONCTION, ETC. 3 De cette proposition se conclut immédiatement cette autre :

Pour que le Tableau soit uniquement compose de fractions normales, ul faut et il suffit que tous les déterminants

A pq) (bg == 0 2,0 re)

soient différents de zéro.

32. Un même déterminant se retrouve dans l’étude des singularités de quatre couples différents; ainsi A,, sera à considérer pour les quatre couples

(P,9) (p+tqg+i), (p,g+1), (p+1,q).

Supposons nul ce déterminant À,, et voyons quels caractères présentent les quatre fractions correspondant à ces quatre couples.

Nous écrirons ainsi les équations en / qui correspondent à chacun d'eux :

QG) Gh <a +.….ta;.l, = D Pal oo Dee g.

QE) ga +tal +... a;-;lou —=0, TPE PH g EE (TL) er a ul+.. + ag lu, = pi, … p+q+i,; OVMM a a; sh. art (0) DER 20. D'ASGE,

Soit m,,/m,,...,m, la solution principale du système (1); elle donne lieu au système d’identités

(A) a Mot di iM +... E Gi-gMa= 0, I—p+HI, ..., p+q+HI,

dont la dernière est une conséquence de l'hypothèse A,, = 0.

Si, dans le groupe (I), on substitue aux inconnues les valeurs o, Mor Ms .., My On obtient les identités (A); on les obtient encore en substituant, dans le groupe (IT), aux inconnues les valeurs 7, M, .., M, 0, et encore, sauf la première, en substituant, dans le groupe (IV), aux inconnues, 7n,, m,, ...,m,3 On conclut de là que les fractions qui correspondent aux quatre couples sont égales.

33. C’est là évidemment un cas particulier du théorème du n° 26: lors même qu’on a reconnu que pour les couples (p, g), (p +1,q +1)

36 H. PADÉ.

les fractions sont les mêmes, on peut affirmer, en raison du théorème du n° 24, que cette même fraction correspond aussi aux couples (p,q +1) et (p+1,g). Mais il est possible d'aller plus loin et d’obtenir à nouveau le théorème du n° 26. De ce que o, m,, m,, ..., m, est la solution principale du système IT, on conclut en effet

O p+1,q+1 — Op,q + !,

et, par suite, Xp+1,g+1 — Xpqs RES er

et enfin, en appliquant la proposition du n° 14,

Vp+1,941 = Ypg — Le Cette égalité montre que, si Ÿ,, est au moins égal à trois, Lartesl plus grand que un, et, par suite, la même fraction qui figure dans les cases (p,g)et(p+1,g—+1)se retrouve dans la case (p + 2,q +2); si Ÿ,, est au moins égal à quatre, la fraction se retrouve en outre dans la case (p + 3, q +3), et ainsi de suite. Si donc, revenant aux nota-

: 7 / NU tions déjà employées (n° 17), on a une fraction p Pour laquelle

comme alors Deer Le

la fraction figurera dans les cases (m, 0), (mr gti), (o+2,p Po), (oem, ont),

et, par la proposition du n° 24, la démonstration du théorème s'achève aisément. Cette méthode est, comme on voit, peut-être un peu plus simple que celle-là même que nous avons employée; elle ne fait pas connaitre aussi complètement la variation des singularités.

34. Des différentes propositions qui précèdent, on conclut aisément que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une même fraction corresponde aux couples (p,q) et (p+1,q +1) est que le déterminant A,, Soit nul.

Pour qu'une même fraction figure dans toutes les cases d’un carré donné, a priori, et ayant pour cases aux sommets les cases

(m,o), (G+mn',o), (m,o+m'), (m+m',o+m'),

il faut et il suffit, en vertu du théorème du n° 24, qu'elle figure dans toutes les cases en diagonale

(m,9), (mG+1,o+i), (G+2,p9+a), RCE Elo):

et, pour cela, il faut et il suffit que tous les déterminants

RS he soient nuls.

De cette proposition résulte la possibilité de former une fonction y telle que les fractions rationnelles approchées aient, dans le Tableau correspondant, telle disposition donnée, @ priori, que l’on voudra, dès qu'elle satisfait au théorème général du n° 26; nous ne discuterons pas davantage ici cette question.

35. Le déterminant À,, appartient à une classe de déterminants qui se rencontrent fréquemment : ce sont des déterminants où toutes les files d'éléments parallèles à l’une des diagonales sont formées chacune d'éléments égaux. M. Kronecker ('), en quelques pages où l’on trouvera aussi les points les plus importants de la Bibliographie (?) relative à ces déterminants, a montré à quelle question générale se rattachent toutes celles où de semblables déterminants ont été rencontrés.

(1) Auszug aus einem Briefe des Herrn Kronecker an E. Schering (Gôtt. Nachrichten, p- 271-279; 1881).

(2) Jacort, Journal de Crelle, 1. 15; 1835; t. 80; 1845. — CavLey, Journal de Liouville, t. XI: 1846. — JoacniMsTuaAL, Journal de Crelle, t. 48: 1854.

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